李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學(xué) 551100)

1 試題呈現(xiàn)

題目已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為( ).

2 試題解答

解析不妨設(shè)C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，如圖1所示.

視角1特值法(條件附值推結(jié)果).

令a=1，則|PF2|=1，|PF1|=3.

圖1

在△F1PF2中，由余弦定理，得

點(diǎn)評對部分條件附值，有利于降低試題在運(yùn)算過程中的難度，提高解題效率.

視角2 特值法(結(jié)果附值，驗(yàn)證是否滿足條件).

在△F1PF2中，由余弦定理,得

點(diǎn)評對目標(biāo)附值，通過逆向思維，驗(yàn)證是否滿足條件，排除選項(xiàng)，這是在解答選擇題時常用的一種方法，它也有利于降低試題在運(yùn)算過程中的難度，提高解題效率.

視角3 排除法(點(diǎn)與圓的位置關(guān)系).

因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，

因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓的外部.

所以排除B，C，D，故選A.

視角4排除法(大角對大邊，大邊對大角).

由|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，

得|PF2|最小.

若|F1F2|最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內(nèi)角和小于180°，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾.

故|PF1|最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以排除B，C，D，故選A.

點(diǎn)評利用大角對大邊，大邊對大角，得出a，c的關(guān)系，從而得出離心率的范圍，排除其他選項(xiàng).

視角5面積法(已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和海倫公式).

由|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，

得|PF2|最小.

若|F1F2|最大，由∠F1PF2=60°，則△PF1F2的內(nèi)角和小于180°，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾.

故|PF1|最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.

點(diǎn)評利用等面積法計算出離心率的值，再利用大角對大邊，大邊對大角排除干擾答案.

視角6面積法(雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式和海倫公式).

點(diǎn)評利用等面積法計算出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關(guān)系，最后利用離心率公式求解.

視角7面積法(已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式).

點(diǎn)評利用等面積法計算出a，b的關(guān)系，然后利用離心率公式求解.

視角8面積法(雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式和雙曲線的焦半徑公式).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0),

由雙曲線的右焦半徑公式,得

|PF2|=ex0-a.

則4a2-3b2=c2.

點(diǎn)評利用等面積法計算出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，利用焦半徑公式計算出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后將其代入雙曲線的方程中，解出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關(guān)系，最后利用離心率公式求解.

視角9余弦定理.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.

點(diǎn)評直接利用余弦定理解出a，c的關(guān)系，再后利用離心率公式求解.

視角10正弦定理.

因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2)

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

在ΔF1PF2中，由正弦定理,得

點(diǎn)評多次利用正弦定理解出a，c的關(guān)系，再利用離心率公式求解.

視角11正弦定理→雙曲線的離心率公式.

因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2).

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

由雙曲線的離心率公式

點(diǎn)評利用正弦定理解出三角形的三個內(nèi)角的正弦值，再利用離心率公式求解.

視角12正弦定理→雙曲線的焦半徑公式.

因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因?yàn)椤螰1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2).

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

又因?yàn)閟in2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

設(shè)直線PF2的傾斜角為θ，

則cosθ=cos(∠PF1F2+60°)

=cos∠PF1F2·cos60°-sin∠PF1F2·sin60°

由雙曲線的焦半徑公式

又a2+b2=c2，

故選A.

點(diǎn)評利用正弦定理解出焦半徑所在直線的傾斜角的余弦值，代入焦半徑公式中得出a，b，c的關(guān)系，再配合a2+b2=c2，解出離心率.

不管解答哪一類試題都要掌握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，探究其變式.久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等定會有大幅度的提升.