巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校 723102)

數(shù)列是高中數(shù)學重點知識之一，是與大學數(shù)學知識銜接的內(nèi)容之一，在研究和學習過程中，從知識的生成、生發(fā)、遷移、重組、融合和創(chuàng)新上培養(yǎng)學生思維能力和綜合素養(yǎng).依據(jù)新課程標準，數(shù)列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數(shù)的內(nèi)容，作為一類特殊的函數(shù)，具有遞推規(guī)律的數(shù)學模型，是研究其他類型函數(shù)的基本工具.

1 精準領(lǐng)會新課程標準要求

1.1 新舊課程標準教學要求區(qū)別

新課標增加了通過數(shù)學中的實例了解數(shù)列的概念；要求通過生活中的實例理解等差(比)數(shù)列的概念，強調(diào)了數(shù)學與生活的聯(lián)系，突顯了數(shù)列的應用性，引導學生感悟數(shù)學應用價值；增加了“理解等差(比)數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系”，對等差(比)數(shù)列提出了更高的要求；新課標強調(diào)數(shù)學歸納法的應用范圍限于“數(shù)列”中的一些簡單命題.

1.2 兩了解、四理解和兩體會

了解：數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式)；數(shù)列是一種特殊函數(shù)；數(shù)學歸納法的原理.

理解：等差數(shù)列的概念和通項公式的意義；等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系；等比數(shù)列的概念和通項公式的意義；等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.

體會：等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系；等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

重點：提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)．

2 高考考情統(tǒng)計分析

基本問題高考卷基本問題高考卷等差(比)數(shù)列判定2021年乙卷理(1)、2021年甲卷文(2)2019年新課標Ⅱ理(1)、2018年新課標Ⅰ(2)2017年新課標Ⅲ文(2)數(shù)列與不等式2021年乙卷文(2)2021年新高考Ⅱ(2)2019年新課標Ⅰ文(2)求通項公式2021年乙卷理(2)、2021年乙卷文(1)2021年甲卷文(2)、2021年新高考Ⅲ(1)2020年新課標Ⅲ文理(1)、2019年新課標Ⅰ文(1)2019年新課標Ⅱ文(1)、2019年新課標Ⅱ理(2)2018年新課標Ⅰ文(3)、2018年新課標Ⅱ理(1)2018年新課標Ⅲ文(1)、2017年新課標Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ文(1)求前n項和2021年新高考Ⅰ(2)2020年新課標Ⅰ理(2)2020年新課標Ⅲ文理(2)2019年新課標Ⅱ文(2)2018年新課標Ⅲ文(2)2017年新課標ⅡⅢ文(2)數(shù)列中奇偶項問題2021年新高考Ⅰ結(jié)構(gòu)不良問題2021年甲卷理

由統(tǒng)計可以看出，

(1)十八個題中，有十五道題涉及求數(shù)列通項公式，占比83.3%，求數(shù)列基本量計算比重較大.

(2)求數(shù)列前n項和有十二道題，占比67%，考查頻率較高，并且一般情況下通項公式處于第一問，求和處于第二問位置.

(3)考查等差(比)數(shù)列的判定或證明，有五道題.

(4)近幾年數(shù)列與不等式以及函數(shù)綜合應用問題也比較多，數(shù)列中奇偶項問題即交叉遞推關(guān)系源自于分段函數(shù)，結(jié)合數(shù)列特征，看似復雜，其實不難.

(5)從2021年開始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題，表現(xiàn)出更多的開放性和靈活性.

3 幾個基本問題以及經(jīng)典試題分析

3.1 等差(比)數(shù)列的判定

則Sn=a1n2.

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2na1-a1,

當n=1時,滿足an=2na1-a1，

故{an}的通項公式an=2na1-a1.

所以{an}是以a1為首項，2a1為公差的等差數(shù)列.

3.2 求等差(比)數(shù)列的通項公式

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

(2)求{an}的通項公式．

(1)證法1 因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn，

于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1(n≥2).

又因為bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1，

用數(shù)學歸納法證明略.

(2)由(1)可得，

顯然對于n=1不成立,

3.3 求數(shù)列的前n項和

例3(2017年新課標Ⅲ文)設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通項公式；

解析(1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n，則當n≥2時，a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

評注本題考查了利用遞推公式求通項公式,裂項法求和的簡單應用,比較基礎(chǔ).

總結(jié)提升數(shù)列求和方法有：(1)求和公式法；(2)倒序相加法；(3)分組求和法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法；(6)并項相加法求和，例如{(-1)n-1·an}求和，需要對n進行奇偶分類討論，又例如例4；(7)待定系數(shù)法.

3.4 數(shù)列中奇偶項問題

(1)記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)求{an}的前20項和.

解析(1)可知b1=2,b2=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，

故a2k+2=a2k+3.

即bn+1=bn+3.

所以{bn}為以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.

故bn=3n-1(n∈N*).

(2)方法1設{an}的前20項和為S20=a1+a2+a3+…+a20,

因為a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1，

所以S20=2(a2+a4+…+a20)-10=2(b1+b2+b3+…+b20)-10=300.

方法2 由(1)知a2n=3n-1.

則a2n-1=3n-2(n∈N*).

所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=300.

即S20=300.

評注對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解，或者直接求通項公式，并項求和.此類問題的本質(zhì)還是等差(比)數(shù)列問題.

關(guān)聯(lián)試題1 (2019年天津卷文科18題)設{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

關(guān)聯(lián)試題2 (2020年天津卷19題)已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3)．

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

3.5 數(shù)列與不等式

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

評注本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算能力，其中證明不等式時采用作差法、作商法或者放縮法等，要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡得更為簡潔.

3.6 結(jié)構(gòu)不良問題

例6(2021年全國甲卷理)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

③a2=3a1．

評注這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法、等差中項法或者函數(shù)法.

4 蘊含思想方法分析

數(shù)列在高中數(shù)學中蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法，運用這些思想方法提出問題、分析問題和解決問題，可以強化學生對知識的理解，提高解題能力.

4.1 函數(shù)與方程思想

等差(比)數(shù)列基本量計算，即a1，n，d(q)，an和Sn,運用“知一求二”，即建立方程求解；然而數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集上的函數(shù)，通過函數(shù)形式和函數(shù)思想，解決數(shù)列問題，主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，求值、解(證明)不等式、討論參數(shù)范圍問題；二是通過建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化至討論函數(shù)性質(zhì)問題.

4.2 分類討論思想

數(shù)列中離不開分類討論思想，可以考查學生思維的嚴謹性和條理性.關(guān)鍵一是明確引起分類的原因；二是明確確定分類的標準或方法；三是注意分類結(jié)論的整合，有分有合、先分后合是分類討論的本質(zhì)屬性.比如數(shù)列奇偶問題.

4.3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

從復雜到簡單，從未知到已知，是解題思維必經(jīng)之路.等價轉(zhuǎn)化就會顯得尤為重要，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化類型通過換元、構(gòu)造或者待定系數(shù)法等把復雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化至熟悉的等差(比)數(shù)列，比如2021年乙卷理科19題，2019年新課標Ⅱ卷理科19題，2018年新課標Ⅰ卷文科17題.

4.4 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)三個方面，一是以形助數(shù)，即借助直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系；二是以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性闡述形的屬性；三是數(shù)形互助，即直觀與形的相互轉(zhuǎn)化，最終達到解決問題的目的.研究數(shù)列通項及其求和公式的函數(shù)特征，函數(shù)圖象，或者建立方程以及方程曲線，以此借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題.比如2018年全國Ⅱ卷理科17題.

除了以上數(shù)學思想還會用到類比思想，比如等差(比)數(shù)列與指對函數(shù)性質(zhì)類比；建模思想解決實際問題，如2019年全國Ⅱ卷理科21壓軸題；特殊與一般思想完成數(shù)學歸納法的推理與證明，如2020年新課標Ⅲ卷理科17題等.

5 教學建議

雖然近幾年數(shù)列在全國卷中難度不大，但是也要引起重視，因為浙江、北京卷等高考數(shù)列壓軸題居多，不排除難度增加的可能，畢竟導數(shù)和解析幾何壓軸已經(jīng)很多年了，2021年數(shù)列題明顯一見清新，考查靈活，難度自然有所提升.數(shù)列基本量運算和等差(比)數(shù)列性質(zhì)在選擇填空考查比較多，對于解答題備考需要注意：一是依據(jù)新課程標準要求對數(shù)列進行專題復習；二是回歸教材，注重數(shù)列中六類基本問題的生成和原理，特別是求通項公式和求和，并加強運算能力；三是加強思想和方法的理解，特別是講題講方法、講思想；四是加強用函數(shù)觀點思考數(shù)列問題；五是加強基本知識和方法的總結(jié)，方法靈活多變，但是萬變不離其宗，比如2021年乙卷；六是利用規(guī)律解決較為抽象復雜的數(shù)列問題.