彭曉蕾，張青峰，王 睿，向昊黎，唐溶薈，張 銳

西北農(nóng)林科技大學 資源環(huán)境學院，陜西 楊凌 712100

0 引 言

黃土高原是世界上最大的黃土沉積區(qū)，包含日月山以東、太行山以西，長城以南、秦嶺以北的廣闊地區(qū)，平均海拔為1500～2000 m，面積約為62.14萬km2[1]。這一極具特色的地形地貌區(qū)，經(jīng)流水長期強烈侵蝕，逐漸形成千溝萬壑、支離破碎的特殊自然景觀，豐富多樣的自然景觀不僅具有極高的地學研究意義，也蘊含著相當豐富的美學價值。

分形常常被定義為一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀，具有自相似性、自仿射性和標度不變性。分形幾何作為一門新興的橫斷學科，自建立以來，很快受到各個學科領域的廣泛關注。孫靜等利用陰香木超微觀構造圖案設計分形美學圖案，將豐富的構圖關系融入陰香木超微觀美學圖案中[2]，韋曉丹等將香樟樹不同微觀構造得到的分形圖案設計為多種風格和用途的裝飾圖案[3]，王旭婷等利用二值化及邊界提取榆木微觀構造圖像后，獲得榆木分形圖像的紋理特征[4]；El-DARWISH I I介紹了分形在建筑中的演變以及當今建筑中分形設計面臨的挑戰(zhàn)[5]；蔡燕燕等通過改變參數(shù)探索Mandelbrot集的絲綢圖案設計[6]。分形在各個領域賦予了圖形創(chuàng)作新的形式，但在地形地貌方面尚少被人們發(fā)掘利用。為此，將分形與黃土高原自然景觀所表現(xiàn)出的自相似性結合，進而探索開發(fā)黃土高原的自然美學價值，將地學美融入生產(chǎn)生活中，對于豐富地貌美學研究、拓展美學設計具有十分重要的意義。

1 材料與方法

1.1 實驗材料

根據(jù)黃土高原地區(qū)綜合治理規(guī)劃大綱，黃土高原可劃分為6個大的地貌類型區(qū)：黃土高塬溝壑區(qū)、黃土丘陵溝壑區(qū)、土石山區(qū)、河谷平原區(qū)、沙地和沙漠區(qū)、農(nóng)灌區(qū)[7]。本文分別從這6個地貌類型區(qū)中選取甘肅省永靖縣、山西省臨縣、河南省嵩縣、陜西省藍田縣、內蒙古自治區(qū)杭錦旗、寧夏回族自治區(qū)鹽池縣為研究對象（圖1），并收集了6個縣的數(shù)字高程模型（DEM），數(shù)據(jù)來源于地理空間數(shù)據(jù)云平臺SRTMDEM 90 m原始高程數(shù)據(jù)（圖2）。

圖2 6個研究區(qū)的DEM數(shù)據(jù)及其窗口裁剪情況Fig.2 DEM data of 6 study areas and their window clipping

在ArcGIS軟件中，利用原始數(shù)字高程模型（DEM）數(shù)據(jù)對高程等值線、坡度、山脊線、山谷線、水系5種地貌因子進行數(shù)據(jù)提取。然后，以面積最大矩形窗口為原則，如圖2中各個研究區(qū)的白色框線所示，對原始DEM數(shù)據(jù)和地貌因子數(shù)據(jù)進行裁剪并導出jpg格式文件。圖2a為河谷平原區(qū)中的陜西藍田縣，地形復雜各異，水系鑲嵌其中，圖像中水系分形特征明顯，窗口大小為26.912×40.533 km2；圖2b為黃土高塬溝壑區(qū)中的甘肅永靖縣，該區(qū)域內水土流失嚴重，主要由塬、坡、溝組成，相對高差大，比降大，匯流線長[8]，紋理清晰，窗口大小為28.533×29.196 km2；圖2c為農(nóng)灌區(qū)中的寧夏鹽池縣，位于黃土高原西北部，主要包括平原及周圍山地，該區(qū)域中部高，東西兩側較低，高程分布具有一定對稱性和規(guī)律性，窗口大小為47.541×48.664 km2；圖2d為沙地和沙漠區(qū)中的內蒙古杭錦旗，風沙地貌顯著，圖像紋理較少，高程變化規(guī)律性較強且地面較為平緩，窗口大小為84.825×84.601 km2；圖2e為黃土丘陵溝壑區(qū)中的山西臨縣，該區(qū)域內地貌類型主要為黃土梁和黃土溝，地表支離破碎，溝谷縱橫，細節(jié)豐富，分形美感較高，窗口大小為38.148×34.137 km2；圖2f為土石山區(qū)中的河南嵩縣，地形破碎復雜[9]，圖像紋理無顯著規(guī)律，區(qū)域范圍內相對高差較大，窗口大小為34.621×36.113 km2。

1.2 實驗方法

將實驗區(qū)jpg格式的原始素材導入Ultra Fractal軟件，選擇Kaleidoscope、Twist、Ripples等標準化分形變換并修改所對應的參數(shù)，然后加載Newton分形公式進行非線性迭代，通過軟件預覽窗口觀察分形圖案并導出最終的結果圖案。

標準化分形變換是通過分形圖案整體的變形和扭曲來獲得不同的分形形狀。本文使用的Kaleidoscope變換將原圖案的徑向切片進行旋轉對稱，Twist變換為原圖案增加一個小范圍的螺旋形變形，Ripples變換為原圖案增加波紋效果。還可以通過調整變換中心坐標的實部（Re）和虛部（Im）獲得不同形狀的分形圖案。標準化分形變換可以疊加使用，多重變換疊加的效果是在前一個變換的基礎上進行的新變換，而不是對原圖案分別進行單獨變換后再疊加。

分形公式用于創(chuàng)建分形的基本形狀和樣式。本文采用Newton分形公式，該公式是通過牛頓法求解多項式方程而生成的。設f(z)是關于復數(shù)z的非線性函數(shù)，且f'(z)≠0 。牛頓迭代法是將f(z)=0逐次線性化的一種近似方法，迭代公式為：

對于給定的初值點z0，產(chǎn)生的序列{zn}將出現(xiàn)收斂和發(fā)散兩種情況，可以通過改變方程f(z)=0來繪制分形圖形[10]。

2 結果與分析

2.1 基于DEM數(shù)據(jù)的分形圖案設計

在Newton公式集合下，使用Kaleidoscope變換對6個來自不同地貌區(qū)的原始DEM圖像進行兩次變換設計，得到黃土高塬溝壑區(qū)（圖3A）、黃土丘陵溝壑區(qū)（圖3B）、土石山區(qū)（圖3C）、河谷平原區(qū)（圖3D）、沙地和沙漠區(qū)（圖3E）、農(nóng)灌區(qū)（圖3F）6個不同的分形圖案，設計中使用的參數(shù)見表1。

圖3 6種不同地貌設計出的分形圖案Fig.3 Fractal patterns designed from 6 different landforms

表1 6種不同地貌分形圖案的設計參數(shù)Tab.1 Design parameters of 6 different topographic fractal patterns

分形圖案的自相似性與中國傳統(tǒng)對稱美學中以點面為核心、色彩和諧統(tǒng)一、兩側圖案對稱一致等特征有著極高的相似性，能夠被廣泛地應用到各類作品當中。通過在不同地貌區(qū)疊加相同分形函數(shù)集合來實現(xiàn)不同樣式的對稱模擬，不同地貌類型區(qū)的DEM圖像的紋理、灰度均不同，因此即使是同一種分形函數(shù)集合操作也使得設計出的圖案千差萬別，并且每種圖案都有其獨特的美感。

由圖3可以看出，以上6種不同地貌類型區(qū)的DEM數(shù)據(jù)分形圖案在構成、紋理、灰度等方面均呈現(xiàn)出不同的風格，且具有極強的對稱性。在DEM數(shù)據(jù)中，高程以灰度的形式反映，灰度越大，高程越大，因此高程偏小的地區(qū)在圖像中明度較低，如甘肅永靖縣的分形圖案（圖3A），亮度整體偏暗但紋理清晰，傳遞出有條不紊、簡潔干練之感；高程分布較為均勻地區(qū)生成的圖案具有較低的對比度，圖像的灰度變化較小，如內蒙古自治區(qū)杭錦旗生成的圖案（圖3E），其整體均勻和諧，宛如荷葉的葉脈，極具朦朧端莊的傳統(tǒng)美；高差較大的地區(qū)，即坡度變化大的地區(qū)具有更加豐富的紋理特征，以位于土石山區(qū)的河南嵩縣為例，其坡度從0°～46.9°均有分布，并且集中分布于10°～25°之間，因此由它生成的圖案（圖3C）紋理豐富且對比明顯，具有較強的立體感，加之其明暗交替出現(xiàn)形成了極富動感的形態(tài)。在山脊山谷發(fā)育明顯的地區(qū)，其圖案輪廓細致分明，位于黃土丘陵溝壑區(qū)的山西臨縣其境內山脈連綿延長，因此生成的圖案（圖3B）輪廓明晰，層次分明，具有更高的美感度。

2.2 基于地貌因子數(shù)據(jù)的分形圖案設計

為進一步說明不同地貌類型區(qū)地形特征的美學價值，以藍田縣為例對其等值線、水系、坡度、山脊線、山谷線等不同地貌因子在Newton公式集合下，使用Kaleidoscope變換進行了分形圖案設計。所得分形結果如圖4所示。

圖4 不同地貌因子設計出的分形圖案Fig.4 Designed fractal patterns under different terrain factors

DEM制圖與地貌因子制圖之間的差異主要體現(xiàn)在圖像灰度變化上。由于地面的高低起伏是連續(xù)的，因此圖像中用于表示高程的灰度值的變化也是連續(xù)的。而等值線、山脊線、山谷線等地貌因子經(jīng)過軟件計算，它們之間的變化是間斷的，那么相應圖像灰度值的變化也不連續(xù)，在圖像上更多表現(xiàn)的是線條樣式圖案。另外，雖然地貌因子數(shù)據(jù)設計時使用的分形公式和變換都相同，最終得到的圖案也有較相似的樣式，但是在灰度、紋理、輪廓等方面仍有較大差別，且各具特色。其中，將不同間距等值線設計出的圖案對比可以發(fā)現(xiàn)：等值線間距越小，圖案的線條越密、灰度值越小、局部紋理越豐富多樣。不同閾值水系數(shù)據(jù)設計出的圖案也有相似的規(guī)律。

2.3 不同變換集合的疊加圖案設計

黃土高塬溝壑區(qū)作為黃土高原生態(tài)分區(qū)中分布面積最廣的區(qū)域，塬面廣闊平坦、溝壑縱橫深切，極具黃土高原的自然景觀特色，且地形支離破碎具有良好的天然分形特征。本文以黃土高塬溝壑區(qū)甘肅永靖縣DEM數(shù)據(jù)為例，在Newton公式集合下，采用不同分形變換進行疊加來構造分形圖案，說明通過不同分形公式疊加變換得到的圖案在結構和內容上的差別（圖5、表2）。

表2 黃土高塬溝壑區(qū)甘肅永靖縣DEM數(shù)據(jù)的分形圖案設計相關參數(shù)Tab.2 Related parameters of fractal pattern design for DEM data in Yongjing County, Gansu Province

圖5 不同公式變換下黃土高塬溝壑區(qū)甘肅省永靖縣DEM數(shù)據(jù)的分形圖案Fig.5 Fractal patterns of DEM data in Yongjing County, Gansu Province under the transformation of different formulas

圖案A1有規(guī)律的重復和排列，細膩的紋路和精致的花紋，凸顯出古典氣息；圖案A2由四周向中央層層遞進，原素材中的地形起伏轉變?yōu)橛擅靼到诲e的線條填充的花紋，宛如鏡像，遠看有立體高低起伏之感；圖案A3如同樹木的年輪層層展開，有著嚴格的中心對稱，飽含莊重嚴肅感；圖案A4輪廓簡潔大方，宛如天空祥云，中心圖案波紋漣漪，宛如湖水碧波，極具中國古代花紋蜿蜒曲折之美；圖案A5猶如花瓣的有序排列，其中的明暗紋理皆是錯落有序，雜而不亂，蘊含著平衡、穩(wěn)定之美；圖案A6是旋轉對稱圖形，其簡練單純的形狀充滿了運動的姿態(tài)，具有很好韻律感以及齊而不齊、亂而不亂的韻味。

3 結 論

黃土高原千溝萬壑、支離破碎，具有許多獨特的自然景觀特征，如塬、梁、峁等。不同的景觀在DEM數(shù)據(jù)中表現(xiàn)為不同的紋理結構，水系也展示出扇狀、羽狀、樹枝狀等不同的形態(tài)結構。這些源于自然的結構特征，具有極高的美學價值。用蘊含自然景觀特征的DEM數(shù)據(jù)作為原始素材，與分形藝術相結合，可以將公式化的數(shù)學思維融入抽象化的圖案設計中，得到包含著奇異線條和絢麗色彩的圖案。這些圖形將技術、自然、藝術融為一體，源于自然又高于自然，可廣泛應用于服飾、家居用品、文創(chuàng)產(chǎn)品等設計中，是一種新的圖形創(chuàng)作形式。

由于實驗軟件限制，本次實驗僅以Kaleidoscope、Inverse、Twist、Ripples分形變換和Newton集合公式為例進行了初探，種類較為單一，其他更多公式的應用還有待深入研究。在數(shù)據(jù)上也僅選擇了研究區(qū)的數(shù)字高程模型，未來可以嘗試將其他不同類型的數(shù)據(jù)應用于地貌分形圖案的設計中。與此同時，還可以建立起基于黃土高原地形地貌特征的分形美學評價體系，為分形圖案的美學分類提供依據(jù)。