卓 亮，王 波，劉成思，徐永向

(1.貴州航天林泉電機有限公司，貴陽 550000；2.陸裝駐貴陽地區(qū)軍事代表室，貴陽 550000；3. 哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱 150000)

0 引 言

永磁同步電機具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、損耗低、運行穩(wěn)定等優(yōu)點，在國防科技、家用電器、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。然而，由于磁飽和引起的電感變化，導(dǎo)致電機的輸出轉(zhuǎn)矩和電流之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，導(dǎo)致傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學模型無法計算出精確的結(jié)果，從而無法實現(xiàn)高精度的電機控制。為了獲得更高的精度，可以采用場路耦合模擬的方法，但是這種方法每一步都需要進行一次電磁場有限元計算，導(dǎo)致計算速度極低，效率低下[3]。為了能夠準確且快速地進行電機的性能分析，建立能夠考慮磁飽和影響的數(shù)學模型是十分必要的。

國內(nèi)外眾多學者針進行了相關(guān)研究，提出了幾種研究方法來描述磁飽和對電機的影響。這些方法主要是使用修正系數(shù)來進行電感和磁通的修正[4-6]，然而這些方法都不能很好的滿足精度要求。

本文提出了一種新型永磁同步電機數(shù)學模型。首先通過若干個工況的有限元計算，獲取電感、電流以及轉(zhuǎn)矩的計算結(jié)果，構(gòu)建電感與電流、轉(zhuǎn)矩與電流之間的對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上使用插值方法，將上述對應(yīng)關(guān)系由特定工況擴展至全工況。通過插值得到的模型其原始數(shù)據(jù)來自于電磁場有限元計算，所以其計算精度可以達到有限元計算級別。同時，在完成模型的建立后，不再需要進行有限元計算，只需根據(jù)工況在模型內(nèi)進行插值計算即可，保證了模型的計算速度。

1 傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學模型

傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學模型基于交直軸電壓方程以及轉(zhuǎn)矩方程進行建立，其表達式如式1所示：

(1)

式中,Vd為直軸電壓，Ld為直軸電感，id為直軸電流，Vq為交軸電壓，Lq為交軸電感，iq為交軸電流，Tem為電磁轉(zhuǎn)矩，Rs為電阻，ωe為電機轉(zhuǎn)速，ψm為永磁體磁鏈，m為電機相數(shù)。

在傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學模型中，Ld與Lq被視作常數(shù)，因此電磁轉(zhuǎn)矩Tem隨電流id與iq呈現(xiàn)線性變化。傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學模型計算簡單且迅速，但是其一方面忽略了磁飽和效應(yīng)所造成的的非線性影響，另一方面沒有考慮到轉(zhuǎn)子位置改變所造成的影響，導(dǎo)致模型的精確度欠佳。因此，建立能夠考慮磁飽和效應(yīng)以及轉(zhuǎn)子位置影響的永磁同步電機數(shù)學模型是十分必要的。

2 新型計算模型

為了解決傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學模型存在的問題，提出了一種新的計算模型。在該計算模型中，Ld與Lq不再是常數(shù)，而是與電流id、iq和轉(zhuǎn)子位置θ相關(guān)的函數(shù)，具體的函數(shù)關(guān)系將在后文中由若干工況的有限元計算結(jié)合插值等數(shù)學方法獲得。所提出的模型表達式如式為

(2)

此外，由于式(2)中的轉(zhuǎn)矩方程只考慮了電流作用而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，而沒有考慮齒槽轉(zhuǎn)矩等影響，所以對轉(zhuǎn)矩方程也進行修正，也將其表示為與電流id、iq和轉(zhuǎn)子位置θ相關(guān)的函數(shù)，如：

Tem=h(id,iq,θ)

(3)

交直軸磁鏈Ld、Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem與電流和位置的具體函數(shù)關(guān)系將在后續(xù)由若干個工況的有限元計算配合插值方法來進行求解。使用上述函數(shù)關(guān)系進行模型的建立，可以充分考慮磁飽和效應(yīng)以及轉(zhuǎn)子位置所帶來的影響。

所提出的新型計算模型的示意圖如圖1所示。

圖1 新型計算模型的結(jié)構(gòu)

由圖1可知，當電機處于特定工況下，即給定電壓Vd和Vq時，首先可以通過模型進行電流id和iq的計算。然后一方面可以通過函數(shù)關(guān)系Ld(id,iq,θ)和Lq(id,iq,θ)進行交直軸電感Ld和Lq的計算，從而完成下一次的計算步驟，另一方面通過函數(shù)關(guān)系T(id,iq,θ)進行轉(zhuǎn)矩的計算。更進一步，可以使用轉(zhuǎn)矩Tem結(jié)合電機運動方程進行轉(zhuǎn)子位置θ的計算。

由于上述函數(shù)關(guān)系，即Ld(id,iq,θ)、Lq(id,iq,θ)以及T(id,iq,θ)是通過有限元計算結(jié)合插值方法得到的，所以有限元計算所考慮到的磁飽和效應(yīng)的影響以及轉(zhuǎn)子位置的影響在該模型中也得以考慮。所以該模型不同于傳統(tǒng)的線性模型，是一種充分考慮非線性的數(shù)學模型，能夠提供精確的電機性能計算結(jié)果，從而可以為永磁同步電機的高精度控制策略提供指導(dǎo)。

3 新型計算模型的建立

以一臺10極12槽內(nèi)置式永磁同步電機為研究對象，進行新型計算模型的建立，并在此基礎(chǔ)上對其計算速度及計算精度進行驗證。所使用的10極12槽內(nèi)置式永磁同步電機結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 10極12槽電機結(jié)構(gòu)示意圖

電機的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)

函數(shù)Ld(id，iq，θ)、Lq(id，iq，θ)和T(id，iq，θ)通過有限元計算得到。為了保證計算的精度，id和iq的范圍應(yīng)覆蓋電機正常工作的電流范圍。因此，id和iq的范圍選擇應(yīng)該大于2倍過載電流，電流范圍設(shè)置在-40 A和40 A之間，電流的變化步長為10 A，因此有限元計算中id和iq的樣本數(shù)均為9，即進行了81個工況的有限元計算。轉(zhuǎn)子位置θ在電角度0°到360°范圍內(nèi)變化。為了準確地描述轉(zhuǎn)矩和電感的變化，設(shè)置有限元分析中θ的步長為3°，樣本數(shù)量為121。綜上所述，通過有限元計算可以得到81個工況的計算結(jié)果，每個計算結(jié)果內(nèi)包含121個數(shù)據(jù)點，共計9801個數(shù)據(jù)結(jié)果。

基于這9801個有限元計算的數(shù)據(jù)，采用插值法建立模型。完成插值后，可以獲得直軸電感Ld、交軸電感Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem隨直軸電流id、交軸電流iq以及轉(zhuǎn)子位置θ變化的三維矩陣。上述三維矩陣即可進行關(guān)系Ld(id，iq，θ)、Lq(id，iq，θ)和T(id，iq，θ)的描述。當給定id、iq以及θ時，即可在三維矩陣中通過插值以類似查表的方法進行直軸電感Ld、交軸電感Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem的計算。

圖3 電角度0°時直軸電感隨電流的變化

為了直觀地進行表示，將轉(zhuǎn)子位置固定在特定的角度0°，此時可以將上述三維矩陣簡化為二維矩陣。d軸電感和q軸電感在轉(zhuǎn)子位置為0°時與id和iq的關(guān)系呈現(xiàn)出二維曲面的形式，如圖3和圖4，可見，電感隨著id和iq而變化，這意味著電流導(dǎo)致的磁飽和效應(yīng)會影響電感的數(shù)值，并非如傳統(tǒng)線性模型所認為的電感為常數(shù)。新型計算模型將這一特性考慮在內(nèi)，所以能夠獲取更加精確的電機性能計算結(jié)果。

同理，可以獲取轉(zhuǎn)矩在轉(zhuǎn)子位置為0°時與id和iq的關(guān)系，所呈現(xiàn)的二維曲面如圖5所示。

圖5 電角度0°時轉(zhuǎn)矩隨電流的變化

需要注意的是，雖然只進行了特定電流和轉(zhuǎn)子位置的81個工況，9801個數(shù)據(jù)點的有限元計算，但是基于上述數(shù)據(jù)構(gòu)建模型后，使用三維插值可以將進行任意電流和轉(zhuǎn)子位置角所對應(yīng)的電機性能的相關(guān)計算。

使用傳統(tǒng)線性模型以及本模型分別進行電機轉(zhuǎn)矩特性的計算，所得到的結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同模型計算的轉(zhuǎn)矩特性

圖7 不同模型計算的轉(zhuǎn)矩波形

由圖6可知，所提出的新型計算模型計算出的轉(zhuǎn)矩隨iq呈現(xiàn)非線性變化，證明本模型考慮了磁飽和效應(yīng)所導(dǎo)致的非線性影響。由圖7可知，所提出的新型計算模型計算出的轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)子位置呈現(xiàn)波動，證明本模型考慮了轉(zhuǎn)子位置的影響。

4 模型的驗證

使用建立完成的計算模型進行永磁同步電機額定運行狀態(tài)的性能計算。電機額定狀態(tài)為id=0 A，iq=15 A，輸出轉(zhuǎn)矩24 Nm。根據(jù)該工況給定特定的電壓輸入，則由于轉(zhuǎn)子位置的影響，id與iq呈現(xiàn)六次波動，如圖8和圖9所示。分別使用新型計算模型以及給定電壓輸入的有限元進行電機額定狀態(tài)輸出轉(zhuǎn)矩的計算，計算結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，由于新型模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)來自于有限元計算的81個工況的計算結(jié)果，所說義新型計算模型的轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果與場路耦合法計算得到的結(jié)果十分吻合，但是其計算速度遠快于有限元計算，因此新型計算模型的準確性與快速性均得到了驗證。

圖8 直軸電流波形

圖10 不同方法的轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果

5 結(jié) 論

本文提出一種新型永磁同步電機數(shù)學模型。通過若干個工況的有限元計算，獲取電感、電流以及轉(zhuǎn)矩的計算結(jié)果，構(gòu)建電感與電流、轉(zhuǎn)矩與電流之間的對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上使用插值方法，將上述對應(yīng)關(guān)系由特定工況擴展至全工況。通過插值得到的模型其原始數(shù)據(jù)來自于電磁場有限元計算，所以其計算精度可以達到有限元計算級別。在計算時，通過已有數(shù)據(jù)進行插值計算即可獲取當前工況的電機性能，不再需要有限元計算，因此計算速度得到了保證。本計算方法能夠?qū)崿F(xiàn)電機性能的快速高精度計算，能夠為高品質(zhì)的電機控制策略提供保證。