朱云飛
概率是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容。高考主要考查隨機事件與概率,考查事件的相互獨立性以及概率與頻率等。下面就概率問題常見典型考題進行舉例分析,供大家學習與提高。
題型1:隨機事件的表示
理解隨機現(xiàn)象、樣本點和樣本空間的概念,理解隨機事件的概念,在實際問題中,能正確求出事件包含的樣本點的個數(shù),并會寫出相應(yīng)的樣本空間。
例1 拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗,用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù),y表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù)。
(1)寫出這個試驗的樣本空間。(2)寫出這個試驗的結(jié)果的個數(shù)。
(3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含義。
(4)寫出“點數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示。
解:(1)這個試驗的樣本空間Ω為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3, 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5, 1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6, 1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}。
(2)這個試驗的結(jié)果的個數(shù)為36。
(3)事件A的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子,擲出的點數(shù)之和為7。
(4)記事件B=“點數(shù)之和大于8”,則B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5, 6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}。
題型2:隨機事件的含義
解答此類問題,應(yīng)先理解事件中樣本點的意義,再觀察事件中樣本點的規(guī)律,才能確定隨機事件的含義。
例2 柜子里有3雙不同的鞋,隨機抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分別表示3雙不同的鞋,其中下標為奇數(shù)表示左腳,下標為偶數(shù)表示右腳。指出下列隨機事件的含義。
(1)事件M={A1B1,A1B2,A1C1, A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1, B1C2,B2C1,B2C2}。
(2)事件N={A1B1,B1C1,A1C1}。(3)事件P={A1B2,A1C2,A2B1, A2C1,B1C2,B2C1}。
解:(1)事件M的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只,取出的2只鞋不成雙”。
(2)事件N的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只,取出的2只鞋都是左腳”。
(3)事件P的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只,取到的鞋一只是左腳,一只是右腳,但不成雙”。
題型3:事件的運算
事件的運算應(yīng)注意的兩個問題:一是要緊扣運算的定義,二是要全面列舉同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析。在一些比較簡單的題目中,需要判斷事件之間的關(guān)系時,可以根據(jù)常識來判斷。如果遇到比較復(fù)雜的題目,需要嚴格按照事件之間關(guān)系的定義來推理。
例3 在擲骰子的試驗中,可以定義許多事件。例如,事件C1={出現(xiàn)1點},事件C2={出現(xiàn)2點},事件C3={出現(xiàn)3點},事件C4={出現(xiàn)4點},事件C5={出現(xiàn)5點},事件C6={出現(xiàn)6點},事件D1={出現(xiàn)的點數(shù)不大于1},事件D2={出現(xiàn)的點數(shù)大于3},事件D3={出現(xiàn)的點數(shù)小于5},事件E={出現(xiàn)的點數(shù)小于7},事件F={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)},事件G={出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}。根據(jù)上述定義的事件,回答下列問題。
(1)請列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件。
(2)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件。
解:(1)事件C1,C2,C3,C4發(fā)生,則事件D3必發(fā)生,所以C1CD3,C2CD3,C3D3, C1CD3。
同理可得:事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5。
易知事件C1與事件D1相等,即事件C1=D1。
(2)
題型4:互斥事件與對立事件
互斥事件與對立事件的判斷是針對兩個事件而言的。一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個發(fā)生,但不可能兩個都發(fā)生;兩個對立事件必有一個發(fā)生,但是不可能兩個事件同時發(fā)生,也不可能兩個事件同時不發(fā)生。所以兩個事件互斥,它們未必對立;反之,兩個事件對立,它們一定互斥。
例4 某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報紙也不訂”。判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件。
(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B 與C;(5)C與E。
解:(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件。
(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件。又事件B與事件E必有一個發(fā)生,故B與E是對立事件。
(3)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”,即有可能“不訂甲報”,也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生,故B與D不是互斥事件。
(4)事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”。事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”。也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件。CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773
(5)由(4)的分析知,事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時發(fā)生,故C與E不是互斥事件。
題型5:古典概型
解古典概型問題時,要牢牢抓住它的兩個特點和計算公式。這類問題的解法多樣,技巧性強,解題時需要注意兩個問題:試驗必須具有古典概型的兩大特征,即有限性和等可能性;計算基本事件個數(shù)時,要做到不重不漏,可借助坐標系、表格或樹狀圖等列出所有基本事件。
例5 同時投擲兩個骰子,向上的點數(shù)分別記為a,b,則方程2x2+ax+b=0有兩個不等實根的概率為()。
A.1/5
B.1/4
C.1/3
D.1/2
解:因為方程2x2+ax+b=0有兩個不等實根,所以Δ=a2—8b>0。
同時投擲兩個骰子,向上的點數(shù)分別記為a,b,則共包含36個樣本點。
應(yīng)選B。
題型6:概率的基本性質(zhì)
當事件A與B互斥(ANB=)時,P(AUB)=P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法公式。一般地,如果A1,A2,.,Am是兩兩互斥的事件,則P(A1UA2U···UAm)=P(A1)+P(A2)+···+P(Am)。若 A.B為對立事件,則P(A)=1—P(B)。求復(fù)雜事件的概率的兩種方法:將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件;先求其對立事件的概率,再求所求事件的概率。
例6
解:
題型7:相互獨立事件的判斷
對于事件A,B,若滿足P(ANB)=P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨立,簡稱A,B獨立。所謂獨立事件就是某事件發(fā)生的概率與其他任何事件都無關(guān),用集合的概念解釋即集合之內(nèi)所有事件發(fā)生的可能性范圍互不相交。通過式子P(AB)=P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立,若上式成立,則事件A,B相互獨立,這也是定量判斷。
例7 一個家庭中有若干個小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令事件A={一個家庭中既有男孩又有女孩},B={一個家庭中最多有一個女孩}。對下述兩種情形,討論事件A與B的獨立性。
(1)家庭中有兩個小孩。
(2)家庭中有三個小孩。
解:(1)有兩個小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形為Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},即4個基本事件。由等可能性知這4個基本事件的概率都為1/4。
由題意可知,事件A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB=((男,女),(女,男)},所以P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2。
由此可知,P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互獨立。
(2)有三個小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形為Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},即8個基本事件。
所以事件A與B相互獨立。
題型8:相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用
求較復(fù)雜事件概率的方法:列出題中涉及的各事件,用適當?shù)姆柋硎?弄清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對立,或是相互獨立),列出關(guān)系式;根據(jù)事件之間的關(guān)系,準確選取概率公式進行計算。當直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時,可先間接計算對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率。
例8
(1)假設(shè)甲,乙,丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試,誰獲得合格證書的可能性最大?
(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后,求恰有兩人獲得合格證書的概率。
解:
題型9:頻率與概率的關(guān)系
在實際問題中,常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計值。在用頻率估計概率時,要注意試驗次數(shù)n不能太小,只有當n很大時,頻率才會呈現(xiàn)出規(guī)律性,即在某個常數(shù)附近波動,且這個常數(shù)就是概率。
例9 某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支,該公司對這些燈管的使用壽命(單位:h)進行了統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。
(1)求各組的頻率。
(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果,估計燈管使用壽命不足1500h的概率。
解:(1)由表可知頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042。
(2)樣本中壽命不足1500h的頻數(shù)是48+121+208+223=600,所以樣本中壽命不足1500h的頻率是6/6000=0.6,即燈管使用壽命不足1500h的概率約為0.6。
題型10:隨機模擬法估計概率
隨機數(shù)模擬試驗估計概率時,先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結(jié)果??梢詮囊韵氯齻€方面考慮:當試驗的樣本點等可能時,樣本點總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍,每個隨機數(shù)代表一個樣本點;研究等可能事件的概率時,用按比例分配的方法確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù);當每次試驗結(jié)果需要n個隨機數(shù)表示時,要把n個隨機數(shù)作為一組來處理,此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復(fù)。
例10 某種心臟手術(shù),成功率為0.6,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率。先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),由于成功率是0.6,故我們用0,1,2,3表示手術(shù)不成功,4,5,6,7,8,9表示手術(shù)成功;再以每3個隨機數(shù)為一組,作為3例手術(shù)的結(jié)果。經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù):812,832,569,683,271,989,730,537,925,907。
由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為()。
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
解:由10組隨機數(shù)為812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,可知4~9中恰有三個隨機數(shù)的有569,989,即2組,故所求的概率為P=2/0=0.2。應(yīng)選A。
作者單位:福建省廈門市新店中學
(責任編輯郭正華)CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773