胡潔，王盛潔，張濤

長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023

群智能算法是一種群體迭代搜索算法，具有多樣性、魯棒性和自組織性，已廣泛應(yīng)用于路徑規(guī)劃[1]、時(shí)間序列預(yù)測(cè)[2]、圖像處理[3]等領(lǐng)域。經(jīng)典的群智能算法有蟻群算法(ant colony optimization,ACD)[4]和粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法[5]，近年來(lái)為了解決更為復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者提出了探路者算法(path finder algorithm，PFA)[6]、樽海鞘群算法(salp swarm algorithm，SSA)[7]、鷹棲息優(yōu)化(eagle perching optimization，EPO)算法[8]等新型群智能算法。這些群智能算法也存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的缺陷，對(duì)此相關(guān)學(xué)者已經(jīng)做出了一些改進(jìn)，如自適應(yīng)調(diào)優(yōu)、混合算法等[9]。自適應(yīng)調(diào)優(yōu)是指在算法迭代過(guò)程中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)特征自動(dòng)調(diào)整算法參數(shù)。王倩和李風(fēng)軍[10]針對(duì)自適應(yīng)遺傳算法對(duì)較優(yōu)個(gè)體作用不大的情況，引入四分位數(shù)間距IQR，自適應(yīng)調(diào)整交叉和變異概率，從而使算法更好的擺脫局部收斂；CHEN等[11]在鯨魚(yú)優(yōu)化算法中采用雙自適應(yīng)權(quán)重策略，將慣性權(quán)重表示為局部最優(yōu)度的非線性函數(shù)，以此改進(jìn)算法的全局搜索和局部搜索能力；LI等[12]提出一種增強(qiáng)的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法，根據(jù)適應(yīng)度為每個(gè)個(gè)體匹配交叉率并排序，更好地維持了種群多樣性?；旌纤惴▌t是充分利用2種或多種算法的優(yōu)勢(shì)優(yōu)化單一算法的性能。NGUYEN-VAN等[13]將差分進(jìn)化和共生有機(jī)體搜索相結(jié)合，用于多頻率約束下的桁架結(jié)構(gòu)尺寸和形狀優(yōu)化；ALWATEER等[14]使用鯨魚(yú)優(yōu)化算法作為特征選擇技術(shù)最小化特征數(shù)量，并用Na?ve貝葉斯分類(lèi)器實(shí)時(shí)分類(lèi)，這一方法能夠在較少的時(shí)間內(nèi)處理龐大的醫(yī)療數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)準(zhǔn)確率更高；JIA等[15]提出了一種基于混合蚱蜢優(yōu)化算法和最小交叉熵算法的衛(wèi)星圖像分割方法。

EPO 算法模擬了鷹在大自然中棲息的生物特性，在全局范圍內(nèi)隨機(jī)采樣，利用目標(biāo)函數(shù)找到采樣點(diǎn)中的最優(yōu)解，之后將搜索范圍縮小，在這個(gè)最優(yōu)解附近進(jìn)行二次采樣，迭代這一過(guò)程，執(zhí)行全局搜索到局部搜索的轉(zhuǎn)變。算法原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，已被用來(lái)解決懸臂梁設(shè)計(jì)、三桿桁架設(shè)計(jì)、齒輪系設(shè)計(jì)等約束問(wèn)題，但在解決高維問(wèn)題時(shí)，收斂精度低且易陷入局部最優(yōu)。在上述成果的啟發(fā)下，筆者提出了一種混合改進(jìn)的鷹棲息優(yōu)化(hybrid improved eagle perching optimization，HIEPO)算法：首先，在EPO算法中引入成功率，實(shí)現(xiàn)了搜索范圍的自適應(yīng)調(diào)整，提高收斂精度；其次，為了避免陷入局部最優(yōu)，將引入成功率的EPO算法與PSO算法結(jié)合以實(shí)現(xiàn)雙重循環(huán)優(yōu)化。

1 鷹棲息優(yōu)化算法

在EPO算法中，每只鷹的初始位置隨機(jī)生成，使種群在搜索空間內(nèi)均勻分布，有利于算法尋優(yōu)。EPO算法的搜索范圍更新如下：

s=s*eta

(1)

式中：s是搜索范圍變量，實(shí)現(xiàn)算法在全局搜索和局部搜索之間的轉(zhuǎn)變；eta是收縮變量，eta∈(0,1)。

每只鷹的位置更新如下：

(2)

2 混合改進(jìn)的HIEPO算法及算法流程

在EPO算法中，收縮變量eta直接影響搜索范圍變量，是算法由全局搜索到局部搜索轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵，筆者引入成功率自適應(yīng)調(diào)整eta，使這一轉(zhuǎn)變更加有效，從而提高算法的收斂精度。另外，利用PSO算法全局搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，將引入成功率的EPO算法和PSO算法串行結(jié)合達(dá)到全面精細(xì)搜索，改善算法易于陷入局部最優(yōu)的缺陷。

2.1 收縮變量eta的改進(jìn)

在最小化問(wèn)題中，成功率rs[16]是指適應(yīng)值減小的鷹的數(shù)目cs占總數(shù)c的百分比，能夠反映群體的尋優(yōu)狀態(tài)，計(jì)算公式如下：

(3)

筆者將成功率作為算法的反饋參數(shù)，使收縮變量隨成功率的變化而自適應(yīng)調(diào)整：

eta=(etamax-etamin)*rs+etamin

(4)

在搜索過(guò)程中，成功率是不斷變化的，eta與成功率rs呈正相關(guān)。成功率高反映出鷹種群的適應(yīng)值偏大，eta也偏大，此時(shí)搜索范圍變量緩慢減小，鷹種群適應(yīng)值緩慢減小向最優(yōu)區(qū)域靠近，全局搜索能力強(qiáng)；成功率低則表明鷹種群的適應(yīng)值在最優(yōu)點(diǎn)附近，eta偏小，搜索范圍變量減小較快，鷹種群適應(yīng)值在最優(yōu)區(qū)域振蕩，局部搜索能力強(qiáng)。成功率rs對(duì)eta的改進(jìn)有效實(shí)現(xiàn)了算法由全局搜索到局部搜索的自適應(yīng)轉(zhuǎn)變，有利于提高算法的收斂精度。

2.2 與粒子群算法的結(jié)合

PSO算法[17]的基本概念源于鳥(niǎo)類(lèi)的覓食行為，當(dāng)粒子群在整個(gè)搜索空間移動(dòng)時(shí)，粒子速度的動(dòng)態(tài)調(diào)整由自身經(jīng)驗(yàn)和其他粒子經(jīng)驗(yàn)共同實(shí)現(xiàn)，個(gè)體之間協(xié)作，有利于維護(hù)種群多樣性。

粒子更新公式[18]如下：

(5)

(6)

這里的慣性權(quán)重w采用基于S型函數(shù)的更新策略[19]，公式如下：

(7)

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)。

將PSO算法與引入成功率的EPO算法串行結(jié)合。隨機(jī)初始化種群，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)計(jì)算個(gè)體適應(yīng)值，比較得出初始全局最優(yōu)xmin；用引入成功率的EPO算法迭代u次后，更新個(gè)體最優(yōu)解及全局最優(yōu)解；將該組解執(zhí)行PSO算法操作，同樣迭代u次后，更新全局最優(yōu)解；執(zhí)行下一次循環(huán)操作。子迭代次數(shù)u和循環(huán)次數(shù)l滿(mǎn)足(l+1)*2u=tmax，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)500時(shí)結(jié)束算法。迭代過(guò)程中，個(gè)體在全局范圍搜索時(shí)，距最優(yōu)點(diǎn)較遠(yuǎn)，執(zhí)行EPO算法操作縮小搜索范圍，所有個(gè)體緩慢向最優(yōu)點(diǎn)靠近，增強(qiáng)算法的局部搜索能力；而個(gè)體在局部區(qū)域振蕩時(shí)，執(zhí)行PSO算法操作跳出局部最優(yōu)，增強(qiáng)算法的全局搜索能力。改進(jìn)后算法充分利用自適應(yīng)優(yōu)勢(shì)雙重循環(huán)搜索，尋優(yōu)性能顯著提高。

2.3 HIEPO算法流程

混合改進(jìn)的鷹棲息優(yōu)化算法的具體流程如圖1所示。

圖1 混合改進(jìn)的的鷹棲息優(yōu)化算法流程圖

HIEPO算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 初始化算法參數(shù)，包括搜索范圍變量、收縮變量、成功數(shù)目、迭代次數(shù)；

步驟2 在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)初始化種群并計(jì)算適應(yīng)值，比較找出全局最優(yōu)值；

步驟3 根據(jù)式(2)更新種群及適應(yīng)值，式(3)計(jì)算種群成功率；

步驟4 根據(jù)式(4)和(1)更新收縮變量和搜索范圍變量；

步驟5 迭代u次后，執(zhí)行步驟6，否則返回步驟3；

步驟6 通過(guò)式(5)和(6)對(duì)種群進(jìn)行PSO操作；

步驟7 同樣迭代u次后，執(zhí)行步驟8，否則返回步驟6；

步驟8 當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，停止；否則，轉(zhuǎn)至步驟3繼續(xù)搜索。

3 函數(shù)仿真優(yōu)化

為驗(yàn)證算法的有效性，這里用HIEPO算法和HEPO算法(混合PSO算法的EPO算法)、IEPO算法(引入成功率的EPO算法)、EPO算法、PSO算法及PFA算法求解3種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)：?jiǎn)畏?f1～f4)，多峰(f5～f8)，和定維多峰函數(shù)(f9～f12)，函數(shù)信息如表1所示。所有算法獨(dú)立運(yùn)行30次求平均值，種群數(shù)設(shè)置為200，最大迭代次數(shù)設(shè)置為500。涉及代碼均采用MATLAB R2018b軟件編寫(xiě)，編譯運(yùn)行的PC機(jī)參數(shù)為：64位Windows 10操作系統(tǒng)，Intel(R)Core(TM)i5-8250U CPU 1.80GHz、8.00GB內(nèi)存。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

將求解得到的平均值(Ave)、標(biāo)準(zhǔn)差(Std)進(jìn)行比較，結(jié)果如表2中所示(表中各函數(shù)Ave和 Std的最佳結(jié)果已標(biāo)紅)。在表2中，求解單峰函數(shù)時(shí)，平均值反映出IEPO算法對(duì)f1、f2和f4的求解結(jié)果較EPO算法有一定改進(jìn)，HEPO算法求解f1、f2的收斂精度明顯提高，而HIEPO算法對(duì)所有函數(shù)求解結(jié)果的改進(jìn)更加顯著，且得到的標(biāo)準(zhǔn)差更小。求解多峰函數(shù)時(shí)，f5和f8的結(jié)果表明，只有HIEPO算法和PSO算法一樣能夠收斂到全局最優(yōu)；求解f6時(shí)，HIEPO算法較IEPO算法和HEPO算法均有所改進(jìn)；求解f7時(shí)，所有算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都沒(méi)有達(dá)到理論最優(yōu)值。在定維多峰函數(shù)f9～f12的求解上，HIEPO算法、HEPO算法、IEPO算法、EPO算法和PFA都收斂到最優(yōu)解，PSO算法則陷入局部最優(yōu)。總體來(lái)說(shuō)，IEPO算法只在求解單峰函數(shù)時(shí)效果較好，HEPO算法在部分函數(shù)上優(yōu)勢(shì)明顯，而HIEPO算法求解3種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)得到的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差小于其他算法，表明HIEPO算法尋優(yōu)能力強(qiáng)更具有穩(wěn)定性。

表2 求解結(jié)果

為了直觀地比較算法的收斂速度，從表1中選出4個(gè)函數(shù)(f1,f2,f4,f6)繪制收斂曲線圖，如圖2所示。整體上，IEPO算法的收斂速度最慢，HEPO算法較快，而HIEPO算法較兩者有所提升，收斂速度僅慢于PSO算法；而在求解f2和f6時(shí)EPO算法無(wú)法收斂到最優(yōu)值，但HIEPO算法以更少的迭代次數(shù)收斂到最優(yōu)值。

圖2 函數(shù)收斂曲線圖

4 應(yīng)用

將HIEPO算法應(yīng)用在拉伸/壓縮彈簧設(shè)計(jì)和壓力容器設(shè)計(jì)的約束優(yōu)化問(wèn)題中[20]，并與HEPO算法、IEPO算法、PFA[6]、EO算法[21]、SMA[22]、HHO算法[23]等6種新算法進(jìn)行對(duì)比分析,檢驗(yàn)算法在解決實(shí)際工程問(wèn)題時(shí)的性能。

4.1 拉伸/壓縮彈簧設(shè)計(jì)

拉伸/壓縮彈簧設(shè)計(jì)是測(cè)試算法性能中經(jīng)典的約束優(yōu)化問(wèn)題。求解滿(mǎn)足剪應(yīng)力、喘振頻率和最小撓度等約束的最小重量，設(shè)計(jì)問(wèn)題的變量包括直徑(d)、平均線圈直徑(D)和有效線圈數(shù)(P)。問(wèn)題模型如下：

(8)

各算法對(duì)拉伸/壓縮彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題的求解結(jié)果如表3所示，可以看出，HIEPO算法求解得到的彈簧重量最輕，比EPO算法和PSO算法效果更好。

表3 拉伸/壓縮彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題求解結(jié)果

4.2 壓力容器設(shè)計(jì)

另一個(gè)經(jīng)典的約束優(yōu)化問(wèn)題是壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題，目的是最小化設(shè)計(jì)總成本，變量包括殼體厚度(Ts)、頭部厚度(Th)、內(nèi)半徑(R)和截面長(zhǎng)度(L)。問(wèn)題模型如下：

(9)

各算法對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的求解結(jié)果如表4所示，可以看出，HIEPO算法的設(shè)計(jì)總成本低于其他算法，尋優(yōu)效果最好。

表4 壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題比較結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)EPO算法收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)的缺陷，引入成功率自適應(yīng)調(diào)整搜索范圍參數(shù)，使全局搜索和局部搜索間的轉(zhuǎn)變更加有效，并創(chuàng)新性地將PSO算法與之串行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)全面精細(xì)搜索，提出了一種混合改進(jìn)的鷹棲息優(yōu)化(HIEPO)算法。求解12個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和2個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)果表明，HIEPO算法在收斂精度和避免局部最優(yōu)方面均優(yōu)于HEPO、IEPO、EPO、PSO和PFA等算法，且收斂速度有所提升，尋優(yōu)性能良好。