范超,王鼎,楊賓,尹潔昕

(1.鄭州大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院,河南 鄭州 450001;2.戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院,河南 鄭州 450001;3.國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,河南鄭州 450002)

0 引言

聲納定位是水下目標(biāo)源定位的重要手段。傳統(tǒng)的聲納按照工作模式不同可以分為被動式聲納和主動式聲納。被動式聲納靠直接接收水下目標(biāo)機(jī)械工作所發(fā)出的噪聲發(fā)現(xiàn)目標(biāo),隱蔽性較好。然而隨著潛艇隱身技術(shù)的深入研究,潛艇發(fā)出的噪聲越來越小,被動式聲納的定位性能顯著下降。主動式聲納通過自主發(fā)射聲波信號,再接收目標(biāo)回波對目標(biāo)進(jìn)行定位。作用距離相對較遠(yuǎn),但是由于需要主動發(fā)射信號,隱蔽性不強(qiáng)。相比于上述兩種聲納,多基地聲納收發(fā)裝置是分開放置的,由于發(fā)射站可以主動發(fā)射信號,具有主動式聲納的優(yōu)勢,并且它的接收站是被動工作的,隱蔽性較好。由于多基地聲納隱蔽性好、抗干擾能力強(qiáng)、機(jī)動性能高以及作用距離遠(yuǎn)的優(yōu)點(diǎn),已成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。

多基地聲納定位的原理是由單個或多個發(fā)射站發(fā)射聲波信號,由多個接收站接收目標(biāo)回波,并根據(jù)從信號中獲得的時域、頻域、空域或者能量域等參數(shù)信息對目標(biāo)進(jìn)行定位。這些信息包括到達(dá)時間、到達(dá)時間差(TDOA)、到達(dá)頻率、到達(dá)頻率差、到達(dá)方位角、到達(dá)仰角、接收信號強(qiáng)度和信號到達(dá)增益比等?；谏鲜鲇^測信息,越來越多的定位算法被提了出來。典型的算法包括泰勒級數(shù)迭代法、總體最小二乘算法、約束總體最小二乘算法、兩步加權(quán)最小二乘算法、約束加權(quán)最小二乘算法,以及基于凸優(yōu)化的定位算法等。

由于海洋環(huán)境的復(fù)雜性,上述定位算法并不能直接應(yīng)用于多基地聲納定位場景中。一個最大的挑戰(zhàn)是,聲波信號的傳播速度受到水溫、水壓以及海水含鹽度等影響,具有不確定性。針對這個問題,一些利用信號傳播速度的統(tǒng)計知識進(jìn)行定位的算法被提出。這類算法考慮了已知信號傳播速度的誤差對定位的影響,具有較好的性能;然而,當(dāng)信號傳播速度的統(tǒng)計知識不準(zhǔn)確甚至無法獲得時,這類算法就不能使用。為此,一些聯(lián)合估計聲波信號傳播速度和目標(biāo)源位置的算法被提出。然而,現(xiàn)有的這類算法大都存在一些局限性。文獻(xiàn)[25]提出的算法雖然能對聲波信號的傳播速度和目標(biāo)源的位置進(jìn)行聯(lián)合估計,但它們的估計性能并不是最優(yōu)的。文獻(xiàn)[26]提出的算法雖然對于信號傳播速度以及目標(biāo)狀態(tài)的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的克拉美羅界(CRB),但它主要用于被動式聲納定位,并不能直接用于多基地聲納定位系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[27]提出了一種多步加權(quán)閉式解類算法,且對于目標(biāo)源位置和聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,然而該算法考慮的是一個二維場景,且需要經(jīng)過3次偽線性轉(zhuǎn)化才能得到相應(yīng)的閉式解,步驟過于繁瑣。

基于算法的研究現(xiàn)狀,本文針對信號傳播速度未知情況下的水下多基地聲納TDOA定位場景,提出一種基于誤差約束等式的兩步閉式解類算法,對目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度進(jìn)行聯(lián)合估計。算法第1步采用加權(quán)最小二乘方法估計,即通過引入輔助變量,將非線性觀測方程轉(zhuǎn)化為偽線性方程進(jìn)行處理,求得目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的初始解;第2步根據(jù)輔助變量與估計目標(biāo)量之間的關(guān)系,構(gòu)造第1步估計解的誤差所服從的等式約束,形成新的優(yōu)化模型,再用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文算法對于信號傳播速度和目標(biāo)源位置的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB。本文算法主要具有以下三方面優(yōu)勢:

1)對聲波信號傳播速度和目標(biāo)源位置進(jìn)行聯(lián)合估計。在信號傳播速度未知的情況下,可以進(jìn)行有效的定位。

2)計算過程簡單。相對于提出的三步加權(quán)最小二乘閉式解方法,本文算法更加簡單,只需要兩步。相對于泰勒級數(shù)迭代法,本文算法為閉式解類算法,不需要迭代運(yùn)算,也不存在初值選取的問題。

3)具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性。在一定誤差范圍內(nèi),算法估計的均方誤差可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,且相對于多步加權(quán)最小二乘算法,性能更加穩(wěn)定。

1 定位場景及觀測模型

在本文的定位系統(tǒng)中,發(fā)射站和接收站的先驗(yàn)位置可以統(tǒng)一看作是系統(tǒng)的已知量,記為z=[t,s],假設(shè)它們的誤差服從零均值的高斯分布,對應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣為Q=E([Δt,Δs][Δt,Δs]);假設(shè)TDOA觀測量的誤差服從零均值的高斯分布,并且對應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣記為Q=E(ΔτΔτ)。由于在實(shí)際的定位場景中,聲波信號傳播速度c的精確數(shù)值或者先驗(yàn)已知量可能無法獲取。為減小定位誤差,本文將同時對其進(jìn)行估計。

總結(jié)本文的定位場景如下:已知含有誤差的系統(tǒng)量z以及含有誤差的TDOA觀測量τ,對目標(biāo)源的位置u以及聲波信號的傳播速度c進(jìn)行聯(lián)合估計。

2 定位算法

2.1 算法原理

由于定位模型的非線性程度較高,傳統(tǒng)的多步加權(quán)定位算法需要通過多次偽線性轉(zhuǎn)換才能得到閉式解。但這種方法不僅步驟繁瑣,并且由于在轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生了更多被忽略的2階誤差項(xiàng),易對定位的性能產(chǎn)生影響。本文基于加權(quán)最小二乘估計以及誤差約束的思想,提出一種兩步定位閉式解算法。算法原理如下。

2.1.1 第1步計算原理

式中:ρ=(a-b)/‖a-b‖。

(5)式代入(1)式并進(jìn)行簡單的乘法轉(zhuǎn)換,則TDOA觀測方程可以表示為

在整個多基地聲納定位系統(tǒng)中,一共可以得到×個形如(7)式的TDOA觀測方程,為求出其閉式解,需要將其轉(zhuǎn)化為偽線性方程組進(jìn)行處理。定義如下未知向量:

式中:()、‖-t ‖以及‖-t ‖為進(jìn)行偽線性轉(zhuǎn)換時引入的輔助變量。則TDOA觀測方程組可以轉(zhuǎn)化為如下偽線性形式:

I 表示維的單位矩陣;為(6)式的向量形式,

為偽線性方程的系數(shù)向量,

為偽線性方程的系數(shù)矩陣,

表示一個行數(shù)為1、列數(shù)為-1的矩陣。

則的估計向量可以表示為

式中:為閉式解的加權(quán)矩陣,

(15)式和(16)式代入E(),可得

式中:

表示由D ,D ,…,D ,…,D 構(gòu)成的對角矩陣,

相應(yīng)地,算法第1步的估計均方誤差矩陣為

理論研究表明,在1階誤差分析理論框架下,加權(quán)矩陣的誤差擾動并不會給未知向量的估計精度帶來實(shí)質(zhì)影響。

2.1.2 第2步計算原理

在算法的第1步估計中,由于沒有考慮輔助變量與目標(biāo)量之間的關(guān)系,造成了信息損失,最后的目標(biāo)估計均方誤差無法達(dá)到相應(yīng)的CRB。為對估計結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化,通過第1步中輔助變量與目標(biāo)量之間的關(guān)系,建立第1步中未知變量的估計誤差所服從的等式約束,并基于此構(gòu)建新的優(yōu)化模型,再通過拉格朗日乘子法求解。

記=Δ,將(27)式～(29)式表示的方程進(jìn)行簡單移位,使關(guān)于的線性項(xiàng)位于方程右側(cè),再將其寫為矩陣形式,可得

式中:表示方程的系數(shù)向量,

表示方程的系數(shù)矩陣,

(30)式即為所滿足的約束等式。

基于最小二乘估計準(zhǔn)則,并以(30)式作為約束條件,構(gòu)建如下約束優(yōu)化模型:

(35)式可以通過拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。首先構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù):

式中:為拉格朗日參數(shù)。根據(jù)極值定理可以分別獲得如下兩個等式:

(40)式代入(39)式中并對其進(jìn)行簡單的等式變換,可得的估計值如下:

根據(jù)的定義,可以獲得如下等式:

(41)式和(42)式分別代入(43)式,可得

(44)式即為最終的聯(lián)合估計向量。

(35)式中的第2個等式代入(41)式中,可得

根據(jù)(45)式以及均方誤差矩陣的定義,可以得到的估計均方誤差矩陣為

2.2 算法步驟及總結(jié)

通過2.1節(jié)算法原理,給出算法具體步驟如圖2所示。

圖2 本文算法流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed algorithm

本文算法雖然是以單目標(biāo)定位為研究背景,但可以將其推廣應(yīng)用于多目標(biāo)定位的場景中。當(dāng)對多目標(biāo)進(jìn)行定位時,需要首先通過水聽器陣列提取TDOA參數(shù),當(dāng)多個目標(biāo)中同時包含近場源目標(biāo)和遠(yuǎn)場源目標(biāo)時,應(yīng)該分別參照近場源和遠(yuǎn)場源模型對陣列信號進(jìn)行建模,并以此估計TDOA參數(shù)。另一方面,由于本文考慮發(fā)射站和接收站位置存在先驗(yàn)誤差的情形,此時需要對多目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同定位以獲得協(xié)同增益。這里的多目標(biāo)協(xié)同定位是指將多目標(biāo)TDOA觀測量合并成一個高維TDOA觀測量,將多目標(biāo)位置向量合并成一個高維位置向量,然后將本文算法進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整和推廣,使其處理的對象為高維TDOA觀測量,所獲得的估計值是高維位置向量,從而實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)協(xié)同定位。

本文算法需假設(shè)發(fā)射站的數(shù)量不多于接收站的數(shù)量,即≤,這是為了減少第1步中未知向量的變量個數(shù),如果＞,則第1步中的未知向量應(yīng)變?yōu)?[(),,(),‖-‖,…,‖s ‖,‖-‖,…,‖-s ‖],且在后面的推導(dǎo)中應(yīng)相應(yīng)地將t 換為s ;由于算法第1步中輔助變量的引入,本文算法要求×≥(2 min(,)+5),以保證算法的第1步具有唯一解;為保證(12)式是一個列滿秩矩陣,各個發(fā)射站與接收站應(yīng)放置在不同的位置;本文算法要求不同信號傳播路徑的聲速大致不變,這同時要求定位場景需要在一個較小的區(qū)域內(nèi)(本文假設(shè)在一個2 000 m×2 000 m×2 000 m的三維區(qū)域)。

2.3 算法復(fù)雜度分析

將以乘法為基本運(yùn)算,分析本文算法的復(fù)雜度,如表1所示。

由表1可見,算法的復(fù)雜度主要與發(fā)射站個數(shù)和接收站個數(shù)有關(guān)。與泰勒級數(shù)迭代法相比,本文算法不需要迭代運(yùn)算,復(fù)雜度較低;與多步加權(quán)算法相比,本文算法的基本運(yùn)算單元較少,相應(yīng)的總體復(fù)雜度也較低。

表1 復(fù)雜度分析Tab.1 Complexity analysis

3 理論性能分析

下面推導(dǎo)本文算法的估計均方誤差矩陣,并證明其能夠達(dá)到相應(yīng)的CRB。性能分析采用1階誤差分析方法,即忽略2階及其以上各階的誤差項(xiàng)。

3.1 算法均方誤差原型

根據(jù)的定義,可得中前4個元素與目標(biāo)位置以及信號傳播速度的關(guān)系滿足如下等式:

3.2 均方誤差的進(jìn)一步推導(dǎo)

根據(jù)正交投影矩陣的相關(guān)公式,對(50)式中的部分項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可以得到如下等式:

(51)式代入(50)式中,可得

由(33)式可知:

(32)式以及(54)式～(57)式代入(53)式的右側(cè),可得

由(52)式～(58)式以及通過它們得出的結(jié)論,可以得到如下等式:

根據(jù)(55)式～(57)式以及通過它們得出的結(jié)論,可以計算得到如下等式:

(60)式和(61)式代入(52)式,可得

根據(jù)(12)式～(14)式可得如下等式:

(67)式即為本文算法聯(lián)合估計的均方誤差矩陣。

3.3 均方誤差與CRB的比較

經(jīng)過分析可知,本文定位場景相對應(yīng)的CRB表示如下:

式中:

(73)式代入(67)式中,可得

(74)式表明,在1階誤差理論分析框架下,利用本文算法對目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度進(jìn)行聯(lián)合估計的估計均方誤差可以達(dá)到相應(yīng)的CRB。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

針對水下定位實(shí)際場景,參照文獻(xiàn)[6,27],對發(fā)射站和接收站位置和誤差、聲波信號傳播速度、TDOA觀測量及其觀測誤差進(jìn)行設(shè)置,并以此為仿真條件來對本文算法進(jìn)行性能驗(yàn)證。

4.1 發(fā)射站和接收站位置誤差對本文算法性能的影響

通過仿真實(shí)驗(yàn)來評估系統(tǒng)發(fā)射站和接收站位置誤差(站址誤差)對本文算法的性能的影響。

假設(shè)如下定位場景:三維水下場景中有一個靜止目標(biāo)源([200 m,50 m,10 m])。通過多基地聲納系統(tǒng)對目標(biāo)源進(jìn)行定位,系統(tǒng)包括2個發(fā)射站和5個接收站。發(fā)射站和接收站的精確位置如表2所示。聲波信號的傳播速度設(shè)為1 480 m/s,在定位系統(tǒng)中未知。

表2 發(fā)射站及接收站位置Tab.2 Positions of transmitters and receivers

在本節(jié)中,由于要評估系統(tǒng)發(fā)射站和接收站位置誤差對本文算法性能的影響,先將TDOA觀測誤差設(shè)定為1個較小的數(shù)0.000 1 s。假設(shè)發(fā)射站和接收站的位置誤差可以表示為2,將的取值范圍設(shè)置為1～10 m,以保證可以在一個較大的位置誤差范圍內(nèi)觀測其性能曲線。

本文實(shí)驗(yàn)同時對目標(biāo)源位置以及聲波信號的傳播速度進(jìn)行聯(lián)合估計,并分別將它們的估計均方誤差與相對應(yīng)的CRB進(jìn)行比較。此外,本文實(shí)驗(yàn)還會引入初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法、初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法以及多步加權(quán)最小二乘算法進(jìn)行仿真,以比較在相同情況下,4種算法的性能差別。

圖3為對目標(biāo)源進(jìn)行定位的場景圖。

圖3 定位場景圖Fig.3 Scene for target localization

用(1,1)+(2,2)+(3,3)反映目標(biāo)位置估計的CRB,相對應(yīng)地,用RMSE()反映位置估計的均方誤差;用(4,4)反映聲波信號傳播速度估計的CRB,相對應(yīng)地,用RMSE()反映聲波信號傳播速度的估計均方誤差。在仿真過程中,進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)即可。

圖4和圖5分別為目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的估計性能隨站址誤差的變化曲線。由圖4可知:在站址誤差強(qiáng)度較小時,4種算法對目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB;隨著站址誤差強(qiáng)度的增大,初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法和多步加權(quán)算法的估計性能明顯不如本文算法。直觀來看,當(dāng)=10(站址誤差為20 m)時,圖4中CRB曲線所對應(yīng)的數(shù)值為23.27 m,本文算法、多步加權(quán)算法、初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法定位精度分別為23.47 m、27.64 m和23.35 m;與多步加權(quán)算法相比,本文算法對目標(biāo)源位置的定位精度提高了4.17 m,與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法定位精度非常接近,僅相差0.12 m,但初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法的估計結(jié)果則完全發(fā)散。圖5中CRB曲線所對應(yīng)的數(shù)值為64.88 m/s,本文算法、多步加權(quán)算法、初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法估計精度分別為67.23 m/s、77 m/s和66.11 m/s;與多步加權(quán)算法相比,本文算法對信號傳播速度的估計精度提高了9.77 m/s,與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法估計精度非常接近,僅相差1.12 m/s,但初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法估計結(jié)果則完全發(fā)散。分析以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)站址誤差強(qiáng)度較大時,無論是對目標(biāo)源位置還是信號傳播速度的估計,本文算法的估計精度都明顯高于多步加權(quán)算法;與泰勒級數(shù)法相比,本文算法不存在初值選取不合適時,估計結(jié)果不收斂的問題。

圖4 目標(biāo)源位置估計性能隨站址誤差的變化曲線Fig.4 Variation curve of target position estimation performance with station position error

圖5 信號傳播速度估計性能隨站址誤差的變化曲線Fig.5 Variation curve of signal propagation speed estimation performance with station position error

圖6和圖7分別為=10時目標(biāo)源位置和聲波信號傳播速度估計RMSE的累計分布函數(shù)(CDF)圖。觀察圖6可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)縱坐標(biāo)的值一定時,本文算法對應(yīng)曲線的橫坐標(biāo)明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,且與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法相近。表明在本節(jié)仿真條件下,對應(yīng)于相同的概率情況,本文算法對于目標(biāo)源位置的估計RMSE明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,且更接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法,與圖4中=10時的仿真結(jié)果相符。圖7與圖6的曲線變化相似,用相同方法分析可知:在本節(jié)仿真條件下,對應(yīng)于相同的概率情況,本文算法對于聲波信號傳播速度的估計RMSE明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,且更為接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法,這正好與圖5中=10時的仿真結(jié)果相符。

圖6 σ1=10時目標(biāo)源位置估計RMSE的CDF圖Fig.6 CDF curves of RMSE of target position estimation forσ1=10

圖7 σ1=10時聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖Fig.7 CDF curves of RMSE of signal propagation speed estimation forσ1=10

通過本文實(shí)驗(yàn)以及對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析可以得到如下結(jié)論:當(dāng)發(fā)射站和接收站的位置存在誤差時,在一定的誤差強(qiáng)度下,本文算法無論是對目標(biāo)源的位置還是聲波信號傳播速度的估計,估計均方誤差都可以達(dá)到相對應(yīng)的CRB;隨著誤差強(qiáng)度增大,算法的估計均方誤差雖然會逐漸偏離相對應(yīng)的CRB,但是始終低于多步加權(quán)算法的估計均方誤差,且更加接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法。因此,當(dāng)無法獲得合適的初值信息時,本文算法的估計性能更優(yōu)。

4.2 TDOA觀測誤差對本文算法性能的影響

下面通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)評估TDOA觀測誤差對本文所提出兩步算法定位性能的影響。

假設(shè)如下定位場景:三維水下場景中有一個靜止目標(biāo)源([200 m,50 m,10 m])。通過多基地聲納定位系統(tǒng)對目標(biāo)源進(jìn)行定位,系統(tǒng)包括2個發(fā)射站和5個接收站。發(fā)射站和接收站的精確位置如表3所示。聲波信號的傳播速度設(shè)1 480 m/s,在定位系統(tǒng)中未知。

為了評估TDOA觀測誤差對算法性能的影響,先將發(fā)射站和接收站的位置誤差設(shè)為一個較小的數(shù)0.1 m。假設(shè)TDOA觀測誤差可以表示為0.000 3s,的范圍設(shè)置為1～10 s,以保證可以在一個較大的TDOA觀測誤差范圍內(nèi)觀測其定位性能的變化。

本文實(shí)驗(yàn)將對目標(biāo)源位置以及聲波信號的傳播速度進(jìn)行聯(lián)合估計,并分別將它們的估計均方誤差與相對應(yīng)的CRB進(jìn)行比較。此外,本文實(shí)驗(yàn)還會引入初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法、初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法以及多步加權(quán)最小二乘算法進(jìn)行仿真,以比較在相同情況下4種算法的性能差別。

對于目標(biāo)源位置以及信號傳播速度的估計均方誤差與CRB的表示與4.1節(jié)的相同。在實(shí)驗(yàn)過程中,進(jìn)行1 000次的蒙特卡洛仿真。

圖8和圖9分別為目標(biāo)源位置以及信號傳播速度估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線。由圖8和圖9可知:在TDOA觀測誤差強(qiáng)度較小時,4種算法對目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,但是隨著TDOA觀測誤差強(qiáng)度的增大,初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法和多步加權(quán)算法的估計性能明顯不如本文算法;當(dāng)=10時,圖8中CRB曲線所對應(yīng)的數(shù)值為4.831 m,本文算法、多步加權(quán)算法、初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法定位精度分別為4.872 m、5.081 m和4.838 m;與多步加權(quán)算法相比,本文算法對目標(biāo)源位置的定位精度提高了0.209 m,與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法定位精度非常接近,僅相差0.034 m,但初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法的估計結(jié)果則完全發(fā)散。圖9中CRB曲線所對應(yīng)的數(shù)值為10.24 m/s,本文算法、多步加權(quán)算法、初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法估計精度分別為10.46 m/s、11.69 m/s和10.26 m/s;與多步加權(quán)算法相比,本文算法對聲速的估計精度提高了1.23 m/s,與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法估計精度非常接近,僅相差0.2 m/s,但初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法估計結(jié)果則完全發(fā)散。分析以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)TDOA觀測誤差強(qiáng)度較大時,無論是對目標(biāo)源位置還是信號傳播速度的估計,本文算法的估計精度都明顯高于多步加權(quán)算法,且與泰勒級數(shù)法相比,本文算法不存在初值選取不合適時估計結(jié)果不收斂的問題。

圖8 目標(biāo)源位置估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線Fig.8 Variation curve of target position estimation performance with TDOA observation error

圖9 信號傳播速度估計性能隨TDOA觀測誤差的變化曲線Fig.9 Variation curve of signal propagation speed estimation performance with TDOA observation error

圖10和圖11分別為=10時目標(biāo)源位置和聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖。觀察圖10可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)縱坐標(biāo)的值一定時,本文算法所對應(yīng)曲線的橫坐標(biāo)明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,而與初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法相近。表明在本節(jié)仿真條件下,對應(yīng)于相同的概率情況,本文算法對于目標(biāo)源位置的估計RMSE明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,且更接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法,正好與圖8中當(dāng)=10時所仿真的結(jié)果相符。圖11與圖10的曲線變化相似,用相同方法分析可以發(fā)現(xiàn):在本節(jié)仿真條件下,對應(yīng)于相同的概率情況,本文算法對于聲波信號傳播速度的估計RMSE明顯小于多步加權(quán)算法與初值為隨機(jī)值的泰勒級數(shù)法,且更接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法,正好與圖9中=10時的仿真結(jié)果相符。

圖10 σ2=10時目標(biāo)源位置估計RMSE的CDF圖Fig.10 CDF curves of RMSE of target position estimation forσ2=10

圖11 σ2=10時聲波信號傳播速度估計RMSE的CDF圖Fig.11 CDF curves of RMSE of signal propagation speed estimation forσ2=10

通過本節(jié)實(shí)驗(yàn)以及對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析可以得到以下結(jié)論:當(dāng)TDOA觀測值存在誤差時,在一定誤差強(qiáng)度下,本文算法無論是對目標(biāo)源位置還是聲波信號傳播速度的估計,估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB;隨著誤差強(qiáng)度的增大,本文算法的估計均方誤差雖然會逐漸偏離相對應(yīng)的CRB,但是始終低于多步加權(quán)算法的估計均方誤差,且更加接近初值為真實(shí)值的泰勒級數(shù)法。因此,當(dāng)無法獲得合適的初值信息時,本文算法的估計性能更優(yōu)。

4.3 目標(biāo)源位置對本文算法性能的影響

下面通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)評估不同目標(biāo)源位置對本文兩步算法定位性能的影響。

假設(shè)如下定位場景:將1個目標(biāo)源在一個立方區(qū)域內(nèi)設(shè)置30個隨機(jī)位置,目標(biāo)源位置在軸、軸和軸的變化范圍都為-1 000～1 000 m。通過多基地聲納定位系統(tǒng)對目標(biāo)源進(jìn)行定位,系統(tǒng)包括2個發(fā)射站和5個接收站。發(fā)射站和接收站的精確位置如表3所示。聲波信號的傳播速度為1 480 m/s,在定位系統(tǒng)中未知。

首先將TDOA觀測誤差設(shè)定為0.000 01 s。假設(shè)發(fā)射站和接收站的位置誤差可以表示為0.3,的取值范圍為1～10。仿真中進(jìn)行1 000次的蒙特卡洛仿真。

圖12和圖13分別為當(dāng)站址誤差變化時,目標(biāo)源的30個隨機(jī)位置及其相對應(yīng)的信號傳播速度的估計均方根誤差的箱線圖;圖14和圖15分別為它們所對應(yīng)的CRB箱線圖。

圖12 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置的估計均方根誤差隨站址誤差的變化Fig.12 Change of RMSE of 30 random positions for target source with station position error

圖13 目標(biāo)源的30個隨機(jī)位置相對應(yīng)的信號傳播速度的估計均方根誤差隨站址誤差的變化Fig.13 Change of RMSE of signal propagation speeds corresponding to the 30 random positions of target source with station position error

圖14 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置的估計CRB隨站址誤差的變化Fig.14 Change of CRB of 30 random positions for target source with station position error

圖15 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置相對應(yīng)的信號傳播速度估計的CRB隨站址誤差的變化Fig.15 Change of CRB of signal propagation speeds corresponding to the 30 random positions of target source with station position error

比較圖12和圖14可以發(fā)現(xiàn):對應(yīng)于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當(dāng)=4(站址誤差為1.5 m)時,估計均方根誤差和對應(yīng)的CRB最大值分別為3.473 3 m和3.464 6 m,僅相差0.008 7 m;最小值分別為1.787 3 m和1.77 m,僅相差0.017 3 m。比較圖13和圖15同樣可以發(fā)現(xiàn):對應(yīng)于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當(dāng)=4(站址誤差為1.5 m)時,估計均方根誤差和對應(yīng)的CRB最大值分別為4.240 8 m/s和3.873 4 m/s,僅相差0.367 4 m/s;最小值分別為1.526 3 m/s和1.550 2 m/s,僅相差0.023 9 m/s。通過上述分析可以得到如下結(jié)論:在一定站址誤差范圍內(nèi),對于目標(biāo)源不同位置情況,本文算法的目標(biāo)源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,即算法具有漸近最優(yōu)性。

將站址誤差設(shè)定為0.1 m。假設(shè)TDOA觀測誤差可以表示為0.000 3,的取值范圍為1～10。仿真中進(jìn)行1 000次蒙特卡洛仿真。

圖16和圖17分別為當(dāng)TDOA觀測誤差變化時,目標(biāo)源30個隨機(jī)位置及其相對應(yīng)的信號傳播速度的估計均方根誤差的箱線圖。圖18和圖19分別為它們所對應(yīng)的CRB箱線圖。比較圖16和圖18可以發(fā)現(xiàn):對應(yīng)于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當(dāng)=5(TDOA觀測誤差為0.001 5 s)時,估計均方根誤差和對應(yīng)的CRB最大值分別為5.034 8 m和4.846 4 m,僅相差0.188 4 m;最小值分別為2.405 4 m和2.471 5 m,僅相差0.066 1 m。比較圖17和圖19同樣可以發(fā)現(xiàn):對應(yīng)于相同的,兩幅圖的箱盒最大值和最小值都非常接近,例如當(dāng)=5(TDOA觀測誤差為0.001 5 s)時,估計均方根誤差和對應(yīng)的CRB最大值分別為5.840 6 m/s和5.622 7 m/s,僅相差0.217 9 m/s;最小值分別為2.466 4 m/s和2.132 8 m/s,僅相差0.333 6 m/s。通過上述分析可以得到如下結(jié)論:在一定TDOA觀測誤差范圍內(nèi),對于目標(biāo)源的不同位置情況,本文算法目標(biāo)源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,即算法具有漸近最優(yōu)性。

圖16 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置的估計均方根誤差隨TDOA觀測誤差的變化Fig.16 Change of RMSE of 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖17 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置相對應(yīng)的信號傳播速度的估計均方根誤差隨TDOA觀測誤差的變化Fig.17 Change of RMSE of signal propagation speeds corresponding to 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖18 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置的估計CRB隨TDOA觀測誤差的變化Fig.18 Change of CRB of 30 random positions of target source with TDOA observation noise

圖19 目標(biāo)源30個隨機(jī)位置相對應(yīng)的信號傳播速度估計的CRB隨TDOA觀測誤差的變化Fig.19 Change of CRB of signal propagation speeds corresponding to 30 random positions of target source with TDOA observation noise

通過本節(jié)實(shí)驗(yàn)以及對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析可以得到以下結(jié)論:在一定站址誤差和TDOA觀測誤差范圍內(nèi),對于目標(biāo)源的不同位置情況,本文算法的目標(biāo)源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,即算法具有漸近最優(yōu)性。

5 結(jié)論

本文針對水下多基地聲納TDOA定位場景中聲波信號傳播速度未知而導(dǎo)致待估計量增加的情況,提出一種基于誤差約束等式的聯(lián)合估計信號傳播速度與目標(biāo)源位置的兩步閉式解定位算法。算法核心主要包括加權(quán)最小二乘估計以及誤差約束等式的拉格朗日乘子法求解。算法相比于多步加權(quán)最小二乘算法更加簡單,性能更加穩(wěn)定;相對于泰勒級數(shù)迭代法,不存在初值選取問題,也不需要復(fù)雜的迭代過程,從理論上證明了算法的性能良好,均方誤差可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,并通過多個實(shí)驗(yàn)仿真與現(xiàn)有算法進(jìn)行比較,體現(xiàn)了算法性能的優(yōu)越性。所得主要結(jié)論如下:

1)在發(fā)射站位置和接收站位置存在誤差時,在一定誤差強(qiáng)度下,本文算法對于目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB。

2)在TDOA觀測量存在誤差時,在一定誤差強(qiáng)度下,本文算法對于目標(biāo)源位置以及聲波信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB。

3)與多步加權(quán)算法相比,本文算法可以在更大誤差強(qiáng)度內(nèi)保持相對較好的聯(lián)合估計性能,算法的性能更加穩(wěn)定。

4)與泰勒級數(shù)迭代法相比,本文算法在一定誤差強(qiáng)度下,定位性能接近于泰勒級數(shù)迭代法的定位性能;本文算法不存在初值選取問題。

5)在一定站址誤差和TDOA觀測誤差范圍內(nèi),對于目標(biāo)源不同位置情況,本文算法目標(biāo)源位置和信號傳播速度的估計均方誤差都可以達(dá)到相應(yīng)的CRB,即算法具有漸近最優(yōu)性。