許曉東,唐圣金,謝建,于傳強(qiáng),王鳳飛,韓洋洋

(火箭軍工程大學(xué) 兵器發(fā)射理論與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710025)

0 引言

設(shè)備安全、可靠的工作高度依賴(lài)于健康性能,然而,設(shè)備在運(yùn)行過(guò)程中會(huì)逐漸老化,進(jìn)而導(dǎo)致性能降低甚至失效,進(jìn)一步引起系統(tǒng)的停機(jī)甚至災(zāi)難性事故。因此,很有必要采取措施來(lái)保證設(shè)備的安全性和可靠性。工程實(shí)踐表明,預(yù)測(cè)與健康管理(PHM)技術(shù)可以減少維護(hù)費(fèi)用、提高設(shè)備的可靠性和安全性、降低失效事件發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)。PHM包含兩層含義,一是預(yù)測(cè),通過(guò)對(duì)設(shè)備的故障診斷和健康狀態(tài)監(jiān)測(cè),預(yù)測(cè)設(shè)備的有效性和剩余壽命;二是管理,根據(jù)預(yù)測(cè)信息和使用要求等信息,做出最優(yōu)維護(hù)策略?？梢?jiàn),該技術(shù)的關(guān)鍵問(wèn)題是通過(guò)狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)剩余壽命,進(jìn)一步評(píng)估設(shè)備的安全性和可靠性,并確定最佳維護(hù)管理策略。綜上所述,有效的剩余壽命預(yù)測(cè)對(duì)提高設(shè)備使用過(guò)程中的可靠性與安全性具有重要意義。

目前,基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)方法已經(jīng)逐步成為故障預(yù)測(cè)與健康管理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。該類(lèi)方法主要包括濾波、機(jī)器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)。濾波主要包括卡爾曼濾波和粒子濾波等,卡爾曼濾波只適用于線性高斯模型,粒子濾波在重采樣過(guò)程中存在著樣品簡(jiǎn)并、粒子貧化等問(wèn)題。機(jī)器學(xué)習(xí)的方法是通過(guò)機(jī)器模擬人腦學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的特征并訓(xùn)練退化模型,然后預(yù)測(cè)設(shè)備的剩余壽命,根據(jù)學(xué)習(xí)的深度可以分為淺層學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)。該方法雖然可以通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)建模設(shè)備的退化過(guò)程,并預(yù)測(cè)設(shè)備的剩余壽命,但由于建立的是黑箱模型,預(yù)測(cè)結(jié)果的可解釋性不強(qiáng)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的方法是基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì),通過(guò)隨機(jī)過(guò)程建立設(shè)備退化模型,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)先驗(yàn)參數(shù),在貝葉斯框架下在線預(yù)測(cè)剩余壽命。該方法主要包括高斯過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程和維納過(guò)程等。鑒于隨機(jī)過(guò)程可以很好地描述設(shè)備退化過(guò)程的不確定性,很多學(xué)者都基于隨機(jī)過(guò)程建立設(shè)備的退化模型,進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)。維納過(guò)程是由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的具有漂移系數(shù)的一類(lèi)擴(kuò)散過(guò)程,適合描述具有不連續(xù)增大或減小趨勢(shì)的非單調(diào)退化過(guò)程,在一般退化建模中應(yīng)用非常廣泛。Zhai等提出一種利用布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行自適應(yīng)漂移的自適應(yīng)維納過(guò)程模型,并得到了該模型的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果表達(dá)式。Tang等通過(guò)建立基于線性維納過(guò)程的退化模型來(lái)預(yù)測(cè)剩余壽命,該模型可以很好地描述設(shè)備退化過(guò)程。考慮到實(shí)際退化過(guò)程的非線性特性,Si等通過(guò)建立基于非線性維納過(guò)程的設(shè)備退化模型實(shí)現(xiàn)了剩余壽命預(yù)測(cè)。Wang等提出了一種具有相關(guān)性的兩階段維納過(guò)程,基于貝葉斯理論和吉布斯采樣算法在線更新參數(shù),得到設(shè)備的剩余壽命分布。Feng等提出一種基于二維維納過(guò)程建模的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。Zhang等開(kāi)發(fā)了一種基于Box-Cox變換和蒙特卡洛模擬的剩余壽命預(yù)測(cè)方法,該方法不依賴(lài)于離線訓(xùn)練數(shù)據(jù)。綜上所述,基于隨機(jī)過(guò)程建模的方法可以很好地描述設(shè)備的退化過(guò)程。

然而,由于內(nèi)部退化狀態(tài)和外部使用工況的時(shí)變性,設(shè)備在實(shí)際使用過(guò)程中常受到隨機(jī)退化應(yīng)力的影響,例如:外部天氣變化和自身運(yùn)行發(fā)熱產(chǎn)生的溫度變化等?，F(xiàn)有研究表明隨機(jī)應(yīng)力對(duì)設(shè)備的退化規(guī)律有很大影響,Xu等也將時(shí)變應(yīng)力工況作為未來(lái)預(yù)測(cè)與健康管理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向。變應(yīng)力工況下的退化過(guò)程是動(dòng)態(tài)、時(shí)變的非線性過(guò)程,構(gòu)建準(zhǔn)確的退化模型涉及大量參數(shù),計(jì)算復(fù)雜。然而現(xiàn)有的剩余壽命預(yù)測(cè)研究中大都基于恒定應(yīng)力的理想工況,隨機(jī)應(yīng)力作用下的退化規(guī)律還未見(jiàn)具體的研究。因此,針對(duì)實(shí)際使用過(guò)程的隨機(jī)退化應(yīng)力工況,開(kāi)展退化建模以及剩余壽命預(yù)測(cè)方法研究,對(duì)實(shí)現(xiàn)實(shí)際使用工況下設(shè)備的預(yù)測(cè)性維護(hù),提高設(shè)備的安全性和可靠性,具有重要意義。

本文主要將隨機(jī)退化應(yīng)力引入退化模型中,基于維納過(guò)程構(gòu)建隨機(jī)退化應(yīng)力作用下的設(shè)備退化模型并推導(dǎo)剩余壽命概率密度分布函數(shù),基于鋰電池實(shí)驗(yàn)退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提方法的有效性。結(jié)果表明,考慮隨機(jī)應(yīng)力對(duì)設(shè)備退化規(guī)律的影響,能夠有效提高剩余壽命的預(yù)測(cè)精度。

1 隨機(jī)退化應(yīng)力作用下退化建模與參數(shù)估計(jì)

由于內(nèi)部退化狀態(tài)和外部使用工況的隨機(jī)性,設(shè)備的退化速率和健康狀況都會(huì)隨著退化應(yīng)力的變化而變化,進(jìn)而導(dǎo)致設(shè)備的不規(guī)律退化。維納過(guò)程適合描述具有不連續(xù)增大或減小趨勢(shì)的非單調(diào)退化過(guò)程,本節(jié)主要介紹在隨機(jī)退化應(yīng)力作用下,基于維納過(guò)程的退化建模和先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)方法。

1.1 退化建模

隨機(jī)退化應(yīng)力作用下設(shè)備的退化過(guò)程可以用基本的維納過(guò)程表示如(1)式:

式中:X(t)為設(shè)備退化過(guò)程,t為狀態(tài)監(jiān)測(cè)時(shí)間,k為設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)量;x為初始狀態(tài);λ(F)為漂移系數(shù),表征退化速率,F為退化應(yīng)力,p為狀態(tài)監(jiān)測(cè)點(diǎn);Λ(t,θ)為非線性退化系數(shù),t為時(shí)間,θ為模型非線性參數(shù),當(dāng)Λ(t,θ)=t時(shí)表征線性退化過(guò)程;σ為擴(kuò)散系數(shù);B(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),表征退化過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性和不確定性。

與恒定應(yīng)力的退化模型相比,隨機(jī)應(yīng)力作用下的退化速率λ(F)會(huì)隨著應(yīng)力變化而變化。因此設(shè)備的漂移系數(shù)用隨機(jī)應(yīng)力模型來(lái)表示如下:

式中:F為應(yīng)力大小;a為隨機(jī)系數(shù),a=(a,a,…,a,…,a),a表示第n個(gè)設(shè)備的隨機(jī)系數(shù),N為設(shè)備總數(shù);f(F;Φ)為退化系數(shù),Φ為退化參數(shù)。為了表示不同設(shè)備之間的個(gè)體差異,將漂移系數(shù)看成隨機(jī)變量,服從如下分布:

式中:λ(T)為漂移系數(shù);μ為隨機(jī)系數(shù)的期望;σ為隨機(jī)系數(shù)的方差。

綜上所述,隨機(jī)應(yīng)力作用下的設(shè)備退化過(guò)程可以基于維納過(guò)程表示如下:

式中:X(t|T(t))表示t時(shí)刻的設(shè)備退化狀態(tài);Λ′(t,θ)為Λ(t,θ)的1階導(dǎo)數(shù);F(t)為隨時(shí)間t變化的應(yīng)力函數(shù)。

為了方便表示,(4)式可以表示如下:

式中:

基于退化過(guò)程的壽命定義為表示設(shè)備的退化狀態(tài)首次達(dá)到失效閾值的時(shí)刻。令設(shè)備的失效閾值為w,則其剩余使用壽命L可定義為性能退化狀態(tài)首次達(dá)到失效閾值的時(shí)間,即

基于全概率公式,隨機(jī)退化應(yīng)力作用下的設(shè)備剩余壽命概率密度函數(shù)可表示如下:

1.2 離線參數(shù)估計(jì)

下面通過(guò)融合期望最大化算法和粒子群優(yōu)化算法估計(jì)模型的先驗(yàn)參數(shù)。假設(shè)共有N個(gè)設(shè)備投入試驗(yàn),第n個(gè)設(shè)備退化數(shù)據(jù)的測(cè)試時(shí)間為{t,t,…,t},m表示第n號(hào)設(shè)備的檢測(cè)次數(shù),檢測(cè)時(shí)間t的真實(shí)退化數(shù)據(jù)為x=X(t),T(t)表示第n號(hào)電池的隨機(jī)退化應(yīng)力函數(shù),{x,x,…,x}表示所有退化數(shù)據(jù),x={x,x,…,x}。 令Δx=x-n、Δt=t-t,根據(jù)維納過(guò)程的性質(zhì),有

期望最大化算法用于在依賴(lài)于不可觀察的隱性變量概率模型中尋找參數(shù)最大似然估計(jì)或者最大后驗(yàn)估計(jì),主要分為兩個(gè)步驟:1)計(jì)算期望(E步),利用對(duì)隱藏變量的現(xiàn)有估計(jì)值,計(jì)算其最大似然估計(jì)值;2)估計(jì)參數(shù)(M步),根據(jù)最大化E步求得的最大似然值來(lái)估計(jì)參數(shù)。M步得出的參數(shù)估計(jì)值被用于下一個(gè)E步計(jì)算,迭代計(jì)算,即可得到參數(shù)的最大似然估計(jì)值。建立設(shè)備退化數(shù)據(jù)的完全似然函數(shù)為

在給定模型參數(shù)(=1,2,3,…表示期望最大化算法的迭代次數(shù))的情況下,根據(jù)貝葉斯理論,可以得到a|,服從高斯分布,即

式中:

根據(jù)貝葉斯理論,有

證畢。

下面基于期望最大化算法估計(jì)模型參數(shù)。首先開(kāi)展E步,計(jì)算完全似然函數(shù)(11)式的期望:

式中:

最大化(24)式,可得,本文采用粒子群優(yōu)

2 貝葉斯框架下在線預(yù)測(cè)剩余壽命

在貝葉斯框架下在線更新隨機(jī)系數(shù),并推導(dǎo)隨機(jī)退化應(yīng)力作用下設(shè)備的剩余壽命概率分布表達(dá)式。

2.1 貝葉斯框架下更新漂移系數(shù)

式中:

A和B的求解公式見(jiàn)(15)式和(16)式。

2.2 在線預(yù)測(cè)剩余壽命

檢測(cè)到設(shè)備的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)后,令l=tt(l≥0),則退化過(guò)程(5)式可以轉(zhuǎn)化為

式中:(0)=0

基于首達(dá)時(shí)間的概念,設(shè)備在時(shí)刻t的剩余壽命可以轉(zhuǎn)化為退化過(guò)程{(l),l≥0}穿過(guò)失效閾值w=-x的首達(dá)時(shí)間。則相應(yīng)的剩余壽命可以定義

式中:={,,,…,F}。

綜上所述,根據(jù)全概率公式,可以得到在當(dāng)前時(shí)刻t,設(shè)備在隨機(jī)退化應(yīng)力條件下剩余壽命的概率密度分布函數(shù)如下:

式中:

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)實(shí)例研究驗(yàn)證本文方法的有效性。隨著新能源技術(shù)的迅速發(fā)展,鋰離子電池已廣泛應(yīng)用于電動(dòng)車(chē)輛,在軍用武器裝備儲(chǔ)能系統(tǒng)的應(yīng)用也越來(lái)越多。下面基于標(biāo)稱(chēng)容量為2 A·h的18650型鋰離子電池退化數(shù)據(jù)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,電池失效壽命閾值定義為初始容量的70%,即1.4 A·h,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖1所示。通過(guò)將本文預(yù)測(cè)方法與文獻(xiàn)[17]帶測(cè)量誤差的剩余壽命預(yù)測(cè)方法、文獻(xiàn)[19]考慮復(fù)蘇效應(yīng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比,說(shuō)明本文方法的有效性。

由圖1可見(jiàn),由于每次充放電循環(huán)之間的日歷間隔時(shí)間不同,導(dǎo)致電池容量出現(xiàn)不規(guī)律的退化,本文的隨機(jī)退化應(yīng)力特征通過(guò)提取相鄰兩次循環(huán)充放電的日歷時(shí)間間隔Δ,采用Power Rule指數(shù)隨機(jī)應(yīng)力模型,模擬電池基于充放電循環(huán)日歷時(shí)間間隔的隨機(jī)退化應(yīng)力?？紤]到實(shí)際退化過(guò)程的線性特征比較明顯,令(;)=。隨機(jī)選取5號(hào)電池退化數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)集進(jìn)行模型和方法的驗(yàn)證,6號(hào)、7號(hào)和18號(hào)電池的數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)退化數(shù)據(jù)。5號(hào)電池的真實(shí)壽命為124次;6號(hào)、7號(hào)和18號(hào)電池的實(shí)際壽命分別為108次、166次和96次。

圖1 鋰離子電池退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.1 Degradation data of 4 lithium-ion batteries

隨機(jī)選取當(dāng)前退化時(shí)刻=90時(shí),基于現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù),分別采用3種方法訓(xùn)練電池的老化模型并估計(jì)先驗(yàn)參數(shù),在貝葉斯框架下在線預(yù)測(cè)電池的剩余使用壽命如圖2所示。由圖2可見(jiàn):本文預(yù)測(cè)方法壽命預(yù)測(cè)結(jié)果為124.6次,相對(duì)誤差為0.6次;文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法沒(méi)有考慮隨機(jī)退化應(yīng)力作用對(duì)電池退化規(guī)律的影響,壽命預(yù)測(cè)結(jié)果分別為147.1次和125.7次,相對(duì)誤差分別為23.1次和1.7次?？梢?jiàn),本文方法相對(duì)于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法有更高的壽命預(yù)測(cè)精度。

圖2 3種方法的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 RULs predicted by 3 predic methods

不失一般性,分別采用3種方法計(jì)算出部分時(shí)間點(diǎn)的剩余壽命概率密度分布曲線,如圖3所示。

由圖3可見(jiàn),3種方法計(jì)算的剩余壽命分布都能覆蓋實(shí)際的剩余壽命;本文預(yù)測(cè)方法的剩余壽命分布更集中在實(shí)際剩余壽命附近,表明本文方法比傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法有更高的剩余壽命估計(jì)精度;文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法的剩余壽命預(yù)測(cè)精度下降,是因?yàn)槲纯紤]隨機(jī)退化應(yīng)力對(duì)鋰離子電池退化規(guī)律的影響,進(jìn)而導(dǎo)致相比于本文方法高估隨機(jī)退化過(guò)程的擴(kuò)散系數(shù),在首達(dá)時(shí)間概念下,過(guò)大的擴(kuò)散系數(shù)估計(jì)造成剩余壽命估計(jì)分布偏左,且剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果更寬,進(jìn)一步造成預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性增加。此外,分別計(jì)算3種方法不同時(shí)間點(diǎn)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差和均方誤差如圖4和圖5所示。

圖3 3種方法剩余壽命預(yù)測(cè)的概率密度分布Fig.3 PDFs of RULs predicted by 3 prediction methods

圖4 3種預(yù)測(cè)方法不同時(shí)間點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差Fig.4 REs of RULs predicted by 3 prediction methods at different time points

圖5 3種預(yù)測(cè)方法不同時(shí)間點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果的均方誤差Fig.5 MSEs of RULs at different time points predicted by 3 prediction methods

由圖4可見(jiàn),無(wú)論現(xiàn)場(chǎng)退化信息充分與否,本文預(yù)測(cè)方法在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的相對(duì)誤差要明顯小于傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法,表明本文方法在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)均有較高的剩余壽命預(yù)測(cè)精度。由圖5可見(jiàn),無(wú)論現(xiàn)場(chǎng)退化信息充分與否,本文方法在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的均方誤差要明顯小于傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法,這是因?yàn)殡S機(jī)退化應(yīng)力會(huì)增加鋰離子電池退化過(guò)程的不確定性,而文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法的退化模型中未考慮應(yīng)力變化對(duì)鋰離子電池退化規(guī)律的影響,從而導(dǎo)致文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法過(guò)高估計(jì)擴(kuò)散系數(shù),進(jìn)而造成壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性增大且概率密度分布變寬,這一點(diǎn)從圖3的概率密度分布結(jié)果也可以看出。

從圖4中還可以看出,當(dāng)=80后,基于現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型的準(zhǔn)確度較高,預(yù)測(cè)精度也逐漸收斂。因此,計(jì)算=80后3種方法的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的平均絕對(duì)百分誤差和均方根誤差如表1所示。由表1可見(jiàn):本文方法的平均絕對(duì)百分誤差僅為1.293次,文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法的平均絕對(duì)百分誤差則為7.967次和2.382次;本文方法的均方根誤差為5.572,文獻(xiàn)[17]預(yù)測(cè)方法和文獻(xiàn)[19]預(yù)測(cè)方法的均方根誤差則高達(dá)46.696和7.419。由此可見(jiàn),本文提出的預(yù)測(cè)方法相比于傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法具有更高的剩余壽命估計(jì)精度和更小的預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性。

表1 3種方法的MAPE和RMSETab.1 MAPEs and RMSEs of RULs predicted by 3 prediction methods

4 結(jié)論

本文將隨機(jī)退化應(yīng)力引入退化模型,基于維納過(guò)程構(gòu)建應(yīng)力變化影響下的設(shè)備老化模型,并推導(dǎo)剩余壽命概率分布函數(shù)。通過(guò)實(shí)例研究驗(yàn)證了本文模型和方法的有效性。結(jié)果表明,隨機(jī)退化應(yīng)力工況對(duì)設(shè)備的退化規(guī)律有較大影響,如果在剩余壽命預(yù)測(cè)中不考慮應(yīng)力變化,會(huì)大幅度降低剩余壽命估計(jì)的精度并增加預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性,進(jìn)而導(dǎo)致提高設(shè)備使用過(guò)程中的維護(hù)費(fèi)用。本文通過(guò)將隨機(jī)退化應(yīng)力引入設(shè)備的退化模型,能夠更好地模擬設(shè)備在實(shí)際使用過(guò)程中的退化過(guò)程,有效提高實(shí)際使用工況下壽命估計(jì)精度并減小預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性。對(duì)于高可靠性和高安全性要求的設(shè)備具有一定理論意義與工程應(yīng)用價(jià)值。兩個(gè)主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)為:

1)建立了隨機(jī)退化應(yīng)力作用下設(shè)備老化速率的數(shù)學(xué)模型,可以有效模擬時(shí)變退化應(yīng)力對(duì)設(shè)備退化速率的影響。

2)基于維納過(guò)程建立了設(shè)備隨機(jī)退化應(yīng)力作用下的老化模型,提出了一種新的融合期望最大化算法和粒子群優(yōu)化算法的先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)方法,并推導(dǎo)了剩余壽命概率密度分布函數(shù)的表達(dá)式。