魯宇明,張祥飛,黎明,趙閔清

(1.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,江西 南昌 330063;2.南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院,江西 南昌 330063)

0 引言

機(jī)床夾具被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代機(jī)械制造業(yè)。夾具定位方案的設(shè)計(jì)是夾具設(shè)計(jì)的主要環(huán)節(jié)之一,定位方案是否穩(wěn)健[1]直接影響工件加工的質(zhì)量。在夾具定位方案的穩(wěn)健性研究領(lǐng)域,國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究。

在工件定位方案的數(shù)學(xué)建模及優(yōu)化方法方面,Qin等[2]綜合考慮定位元件制造、安裝誤差以及工件定位表面的制造誤差對接觸點(diǎn)的影響,基于運(yùn)動學(xué)原理建立了工件定位誤差模型;吳玉光等[3]通過加工表面與工序基準(zhǔn)、工序基準(zhǔn)與定位基準(zhǔn)、定位基準(zhǔn)與定位元件等構(gòu)建了與工件-夾具系統(tǒng)等價(jià)的機(jī)構(gòu)學(xué)模型;Corrado等[4]建立了工件表面加工誤差關(guān)于定位元件誤差和工件加工誤差的數(shù)學(xué)模型;Cai等[5]采用非線性規(guī)劃法求解工件穩(wěn)健定位方案;Huang等[6]提出了一種順序空間填充算法來搜索最優(yōu)的定位方案;Wang等[7]使用蟻群算法和遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)穩(wěn)健性的定位方案;Jiang等[8]基于D-最優(yōu)準(zhǔn)則和蒙特卡洛法對蠟?zāi)A具定位方案實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健設(shè)計(jì)。上述優(yōu)化方法,多數(shù)采用加權(quán)的方式評價(jià)定位方案的穩(wěn)健性,該方法的局限性在于,以工件在空間中的6個(gè)自由度所產(chǎn)生偏移的方差作為加權(quán),這容易忽視工件產(chǎn)生的誤差之間的相互關(guān)系,導(dǎo)致難以直觀地表達(dá)誤差之間的共性規(guī)律,而且缺乏對受到性能、幾何區(qū)域和裝配約束方面的考慮。

在約束多目標(biāo)進(jìn)化算法方面,Fan等[9]提出了一種基于Push和Pull機(jī)制的搜索框架的推拉搜索(PPS)算法;Liu等[10]提出了一種兩階段優(yōu)化過程的兩階段算法(TOP);Li等[11]提出了一種基于協(xié)同進(jìn)化思想的雙存檔約束多目標(biāo)進(jìn)化算法(CTAEA);同樣是基于協(xié)同進(jìn)化思想,Wang等[12]提出了一種多種群協(xié)同進(jìn)化算法。上述算法針對約束多目標(biāo)優(yōu)化問題上提出了一些獨(dú)特的求解思路,取得了一定的效果,但在具有強(qiáng)約束、低可行域和不規(guī)則Pareto前沿的問題中,難以有效平衡多樣性和收斂性之間關(guān)系,特別是同時(shí)具有目標(biāo)空間和決策變量約束的優(yōu)化問題,求解效果難以達(dá)到期望效果。近期,Zhu等[13]提出了一種基于Detect-and-Escape策略的約束處理輔助機(jī)制,取得良好效果,采用額外的輔助約束處理或進(jìn)化機(jī)制對進(jìn)一步提升求解效果具有重要作用

根據(jù)以上分析,本文提出了一種基于網(wǎng)格約束分解的雙種群約束多目標(biāo)進(jìn)化算法(DP-CDG),基于工件位置偏移與定位源誤差之間關(guān)系的定位方案運(yùn)動學(xué)模型[2],以盤套類零件斷面加工孔為例,優(yōu)化設(shè)計(jì)穩(wěn)健性的定位方案,并直觀地揭示了工件在不同方向上偏移方差的相互關(guān)系,為設(shè)計(jì)更穩(wěn)健的定位方案提供了參考。

1 夾具定位方案及穩(wěn)健性

1.1 定位方案的數(shù)學(xué)模型

夾具定位方案示意圖如圖1所示,定位方案由k個(gè)定位元件組成。

圖1 夾具定位方案Fig.1 Fixture locating scheme

圖1中,Owxwywzw表示工件坐標(biāo)系,Ogxgygzg表示全局坐標(biāo)系,Ol xl yl zl表示接觸點(diǎn)定位坐標(biāo)系。圖1中,rw表示全局坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的映射,rw,ce表示工件坐標(biāo)系到接觸點(diǎn)的映射,rw,le表示工件坐標(biāo)系到定位點(diǎn)的映射,rle表示全局坐標(biāo)系到定位點(diǎn)的映射,rce表示全局坐標(biāo)系到定位點(diǎn)的映射,rte表示全局坐標(biāo)系到對刀點(diǎn)的映射,rfe表示全局坐標(biāo)系到第e個(gè)定位件坐標(biāo)系的映射,rf,ce表示第e個(gè)定位件坐標(biāo)系到接觸點(diǎn)的映射,rtle表示對刀點(diǎn)到定位點(diǎn)的映射,nw,ce為第e個(gè)接觸點(diǎn)處單位法向量。

定位方案的數(shù)學(xué)模型[2]如(1)式所示:

式中:δqw為工件實(shí)際定位位置與理論正確位置的偏差,

δxw、δyw、δzw、δαw、δβw、δγw分別為工件6個(gè)自由度方向上的偏差;N為接觸點(diǎn)單位法向量矩陣,N=diag(nw,1,nw,2,…,nw,e,…,nw,k),nw,e為第e個(gè)接觸點(diǎn)的單位法向量,1≤e≤k,nw,e=[nw,ex,nw,ey,nw,ez]T,nw,ex、nw,ey、nw,ez分別表示第e個(gè)接觸點(diǎn)單位法向量在工件坐標(biāo)系x軸、y軸、z軸上的分量;δrlt為對刀點(diǎn)相對于定位點(diǎn)的位置偏移量,

δrTlte表示第e個(gè)對刀點(diǎn)相對于定位點(diǎn)位置偏移量;I為6×6階單位矩陣;λ為任意常數(shù)向量,一般不考慮工件在自由方向上的位置偏差,取λ=0;J為定位雅可比矩陣,J+為J的Moore-Penrose逆,且有J=

xw,ce、yw,ce、zw,ce分別表示第e個(gè)接觸點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值。

1.2 定位方案的穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型

定位元件的制造誤差、各定位元件之間的安裝誤差和工件的制造誤差都會導(dǎo)致工件位置偏移。其中,定位元件為可控因素,包括定位元件的尺寸、各定位元件的安裝位置及其偏差,而工件為不可控因素。正常制造過程中,工件位置偏移量服從正態(tài)分布概率模型,結(jié)合具有望目特性的質(zhì)量損失函數(shù),夾具定位方案優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型[14]如下:

式中:G(δrlt)≤0和H(δrlt)≤0分別表示幾何約束和性能約束,包括定位元件的設(shè)置區(qū)域、合適的裝配及工件位置偏移控制在設(shè)定精度范圍內(nèi)的約束條件。

2 約束多目標(biāo)優(yōu)化算法

2.1 約束多目標(biāo)優(yōu)化問題的定義

不失一般性,一個(gè)約束多目標(biāo)優(yōu)化問題表達(dá)如下:

式中:F(x)為由m個(gè)實(shí)值目標(biāo)函數(shù)組成的目標(biāo)空間,x為一個(gè)D維決策變量;gi(x)、hj(x)分別為第i個(gè)不等式約束和第j個(gè)不等式約束;p和q分別表示不等式和等式約束的數(shù)量;Ω表示決策空間。

通常情況下,把等式約束轉(zhuǎn)化成不等式約束:

式中:μ為等式約束的容忍參數(shù),一般設(shè)定為0.000 1。

決策變量x的約束違反程度表示為

式中:G(x)表示決策變量x的約束違反程度;max(0,gi(x))表示決策變量x在第i個(gè)不等式的約束違反程度,max(0,|hj(x)|-μ)表示決策變量x在第j個(gè)等式的約束違反程度。

2.2 DP-CDG原理

由于存在約束優(yōu)化目標(biāo)和約束決策變量的條件,會造成可行域占比極低或離散,并且Pareto前沿會變得不規(guī)則。本文提出的DP-CDG融合了基于網(wǎng)格約束分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(CDG-MOEA)[15]和雙種群優(yōu)化算法[16-17]的優(yōu)勢。CDG-MOEA的機(jī)制能夠提升DP-CDG的多樣性管理能力,保證算法能有效兼顧收斂性和多樣性;雙種群優(yōu)化算法能夠優(yōu)化不同對象,實(shí)現(xiàn)對收斂性和多樣性任務(wù)的分配,并進(jìn)一步結(jié)合信息分享機(jī)制兼顧不同種群所分配任務(wù),解決低可行域、強(qiáng)約束和不規(guī)則Pareto前沿的問題。DP-CDG流程如圖2所示。

該算法主要分為2個(gè)階段:第1階段為基于穩(wěn)態(tài)演化的可行解搜索階段,該階段旨在搜索決策空間的可行解,并為啟動雙種群優(yōu)化模式做前期準(zhǔn)備;第2階段為雙種群進(jìn)化階段,該階段由多種優(yōu)化方法組成,不同種群分別負(fù)責(zé)算法收斂性和多樣性的任務(wù)。

DP-CDG算法主框架如下:

2.2.1 基于穩(wěn)態(tài)演化的可行解搜索階段

目標(biāo)函數(shù)和決策變量的約束條件共同限制下,會造成多目標(biāo)優(yōu)化問題在決策空間中的可行域占比極低且離散,進(jìn)而導(dǎo)致在求解該問題過程中難以搜索到可行解。Wang等[18]在求解約束單目標(biāo)問題中采用一種穩(wěn)態(tài)演化的進(jìn)化方式,能夠求解可行域極小的問題并獲得良好的效果。本文借鑒該思想,設(shè)計(jì)了一種新的穩(wěn)態(tài)演化機(jī)制,該搜索階段的偽代碼如下:

首先將種群隨機(jī)地分成指定數(shù)量的相同大小的子種群,然后子種群基于約束支配準(zhǔn)則演化,演化過程中變異和突變算子如(9)式和(10)式:

式中:vi為第i個(gè)變異向量,vi=[vi,1,vi,2,…,vi,D]T,r1、r2和r3為[1,N]中3個(gè)隨機(jī)選擇的不同整數(shù),N為種群規(guī)模;變異因子F為0～1之間的隨機(jī)數(shù);ui,j為第i個(gè)突變向量ui=[ui,1,ui,2,…,ui,D]T中的一個(gè)元素;突變因子CR為0.90～0.95之間的隨機(jī)數(shù);rj為第j個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù);jr為[1,D]之間的隨機(jī)整數(shù)。

2.2.2 雙種群進(jìn)化階段

雙種群進(jìn)化階段由多種優(yōu)化方法共同完成。經(jīng)過第1階段的可行解搜索后,根據(jù)設(shè)定的子種群規(guī)模及個(gè)體的可行性將種群P分為子種群P1和子種群P2,對這兩個(gè)子種群分別采用不同演化方式,具體演化方式的偽代碼如下:

在求解不規(guī)則Pareto 前沿的無約束多目標(biāo)問題上,CDG-MOEA具有良好的適應(yīng)性,并能較好地保持種群的多樣性。鑒于該算法的優(yōu)點(diǎn),本文將該算法運(yùn)用于優(yōu)化可行解子種群P1,以保障可行解集的多樣性,演化子種群P2獲得推動整個(gè)種群進(jìn)化的理想個(gè)體,子種群P2的演化通過加權(quán)方式將約束多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為約束單目標(biāo)問題。具體轉(zhuǎn)化方式如(11)式所示:

將約束多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成約束單目標(biāo)問題后,為提高子種群P2演化效率,將子種群P1中有價(jià)值的個(gè)體信息進(jìn)行分享,即引入子種群P1中的非支配個(gè)體參與演化,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)子種群進(jìn)化的合作,進(jìn)而兼顧算法對收斂性和多樣性。由于引入了子種群P1的優(yōu)秀個(gè)體參與子種群P2的演化,對子種群P2的演化不采用突變算子[19],采用只具有變異算子的如下算子:

式中:F1為0～1之間的隨機(jī)數(shù);F2為0.9～1.0之間的隨機(jī)數(shù);x n為種群P1非支配個(gè)體中的隨機(jī)選擇個(gè)體;x r1和x r2分別為子種群P2中與x i不同的個(gè)體。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證DP-CDG的性能,選用Liu等[10]等提出的約束多目標(biāo)問題(DOC)作為測試函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證分析,對比算法有基于約束支配準(zhǔn)則的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ-CDP)[20]、PPS[9]、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP[10]、C-TAEA[11]。DP-CDG的參數(shù)設(shè)置如下:λ=15,求解二維和三維目標(biāo)參數(shù)分別為N1=300,N2=150和N1=600,N2=300;所有算法終止條件為二維和三維目標(biāo)的函數(shù)評估次數(shù)分別為300 000和600 000;算法獨(dú)立運(yùn)行30次。

本文實(shí)驗(yàn)中選取反向迭代距離(IGD)作為評價(jià)指標(biāo),比較了DP-CDG與TOP-NSGA-Ⅱ-CDP、PPS算法和C-TAEA在DOC問題上的IGD指標(biāo)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,IGD指標(biāo)對比如表1所示。由表1可知,DP-CDG在所有問題上都優(yōu)于上述算法,表明本文提出的DP-CDG能夠有效地處理約束多目標(biāo)優(yōu)化問題。

表1 IGD指標(biāo)對比結(jié)果Tab.1 Comparison results of IGD indicators

3 實(shí)例驗(yàn)證

圖3所示為直徑d=40 mm的盤套類零件端面加工孔的雙圓柱定位方案[14]。圖3中B、D1、D2分別為定位元件的位置和尺寸?，F(xiàn)需要確定D1、D2和B及其公差,使得該定位方案的定位精度具有穩(wěn)健性。

圖3 雙圓柱定位方案Fig.3 Fixture locating scheme for cylindrical workpiece

假設(shè)全局坐標(biāo)系Ogxgygzg與工件坐標(biāo)系Owxwywzw重合,Pc1和Pc2為接觸點(diǎn),Pt1和Pt2為調(diào)刀點(diǎn),定位點(diǎn)Pl1和Pl2均與O點(diǎn)重合。通過(5)式建立數(shù)學(xué)模型如(13)式所示:

(13)式是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題,Var(δqw)主要由Var(δxw)和Var(δyw)構(gòu)成,因此優(yōu)化對象為

為檢驗(yàn)DP-CDG的實(shí)用性,本文選用經(jīng)典NSGA-Ⅱ-CDP、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP和PPS算法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn),每個(gè)算法分別進(jìn)行30次仿真。由于實(shí)際問題無法獲取真實(shí)的Pareto前沿,本文實(shí)驗(yàn)選用超體積(HV)指標(biāo)作為評價(jià)指標(biāo),其中參考點(diǎn)選用DPCDG多次實(shí)驗(yàn)獲取的最大極值點(diǎn)的1.1倍,DPCDG參數(shù)設(shè)置詳見2.3節(jié)。為保證對比算法可以達(dá)到最佳優(yōu)化效果,NSGA-Ⅱ-CDP、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP和PPS算法參數(shù)按原文設(shè)置,所有算法終止條件設(shè)定為函數(shù)評價(jià)次數(shù)300 000。通過圖4的箱型圖可以清晰地看出,本文提出的DP-CDG算法取得了最優(yōu)結(jié)果,在求解實(shí)際問題中具有更好的實(shí)用性。

圖4 HV值的箱型圖對比Fig.4 Box plots of HV obtained by different algorithms

DP-CDG求解結(jié)果如圖5所示。通過對圖5中Pareto近似解集的分析可知,工件在x軸和y軸的偏移方差呈現(xiàn)對立關(guān)系,即一方增加則另一方減小,且y軸偏移方差在數(shù)量級上明顯大于x軸,因此定位方案的穩(wěn)健性受y軸方向的影響顯然大于x軸方向,根據(jù)工件最穩(wěn)健的設(shè)計(jì)原則和以上分析可知,圖5中的方形點(diǎn)應(yīng)為夾具定位方案中最穩(wěn)健的一個(gè),其穩(wěn)健設(shè)計(jì)結(jié)果如表2所示,與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法(圖5中的菱形點(diǎn))和加權(quán)設(shè)計(jì)方法(圖5中的星形點(diǎn))相比,定位方案令Var(δxw)分別增加1.570 7×10-6和5.276 9×10-6,Var(δyw)分別減少6.560 4×10-5和4.865 5×10-5。由此可見,本文定位方案使得Var(δxw)上的增加量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Var(δyw)上的減少量,因此可以認(rèn)定該方案整體上優(yōu)于其他定位方案。

表2 設(shè)計(jì)結(jié)果對比Tab.2 Comparison of design results

圖5 設(shè)計(jì)結(jié)果與Pareto近似解集對比Fig.5 Comparison of design results with Pareto's approximate solution set

傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方式基于設(shè)計(jì)人員自身經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)且缺乏理論數(shù)據(jù)的支持,一般難以設(shè)計(jì)出Pareto近似解集中的定位方案。采用加權(quán)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,雖然可以獲取Pareto近似解集中某一個(gè)的定位方案,但是由于該方法未能揭示工件在不同方向上誤差之間的相互關(guān)系,無法確定所求解的定位方案是否為最優(yōu)解。

在雙圓柱定位方案中影響其穩(wěn)健性的因素主要包括定位元件尺寸D1、D2和位置B等,為研究D1、D2和B對定位方案的影響程度,對這些參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。由于雙圓柱定位方案的特殊性,實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)D1、D2都相等,因此認(rèn)定D1、D2對定位方案的穩(wěn)健性影響程度是等同的。在滿足性能、幾何和裝配約束條件下,選取D1、D2分別為10 mm、10 mm、15 mm、15 mm和20 mm、20 mm,B分別為30 mm、35 mm和40 mm,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

由表3中的數(shù)據(jù)可看出,工件無論是以x軸方向還是y軸方向的波動量為指標(biāo),定位元件位置參數(shù)B對夾具定位方案穩(wěn)健性的影響都大于定位元件尺寸D1、D2。

表3 設(shè)計(jì)變量敏感性分析Tab.3 Sensitivity analysis of design variables

4 結(jié)論

本文以網(wǎng)格約束分解的方法為基礎(chǔ),提出了一種雙種群優(yōu)化約束多目標(biāo)算法,并成功地運(yùn)用于夾具定位方案的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過測試函數(shù)和工程實(shí)例驗(yàn)證,得到如下結(jié)論:

1)當(dāng)約束目標(biāo)空間和決策變量同時(shí)存在約束條件時(shí),與其他算法相比,本文算法能夠較好地處理求解約束多目標(biāo)優(yōu)化問題中面對的多樣性、可行域和收斂性方面的困難。

2)相比于其他方法,本文算法能夠在具有性能、幾何和裝配等方面約束情況下,直觀地揭示工件在不同方向上偏移方差的相互關(guān)系,為設(shè)計(jì)更穩(wěn)健的定位方案提供數(shù)據(jù)上的參考,滿足實(shí)際工程運(yùn)用的需求。