何烈云(浙江警察學(xué)院交通管理工程系 浙江 杭州 310053)李國(guó)軍(浙江警察學(xué)院公共基礎(chǔ)部 浙江 杭州 310053)

根據(jù)傅利葉變換所有周期振動(dòng)均可分解成幾個(gè)(甚至無(wú)窮多個(gè))簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)形式，任何一本大學(xué)物理教材力學(xué)部分都將簡(jiǎn)諧振動(dòng)作為機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)內(nèi)容介紹.典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型裝置有彈簧振子和單擺，除此之外，在習(xí)題中還會(huì)遇到球面擺問題，小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面上做較小幅度擺動(dòng)，討論小球擺動(dòng)規(guī)律.教師在球面擺拓展教學(xué)中，往往從增大擺角或增加小球擺動(dòng)的阻尼作用兩個(gè)方面增加問題的復(fù)雜程度.在一次講授球面擺習(xí)題時(shí)，有學(xué)生問及若將球面換成橢圓曲面，小球振動(dòng)規(guī)律又會(huì)如何變化？小球在兩種不同曲面上擺動(dòng)時(shí)最大區(qū)別在于“擺長(zhǎng)”是否恒定，擺長(zhǎng)指的是球心距離橢圓中心距離.在橢圓曲面上擺動(dòng)時(shí)擺長(zhǎng)符合一定規(guī)律變化，因此小球擺動(dòng)屬于一種參數(shù)振動(dòng)，不滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件.

參數(shù)振動(dòng)求解較為復(fù)雜，一般的力學(xué)教材沒有作深入介紹，但國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者們對(duì)不同類型的參數(shù)振動(dòng)研究比較感興趣.文獻(xiàn)[1]將量子高級(jí)絕熱近似方法用來(lái)求解變擺長(zhǎng)單擺的振動(dòng)，研究表明，當(dāng)擺長(zhǎng)緩慢變化時(shí)，其振動(dòng)形式近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng).文獻(xiàn)[2]研究表明，從能量轉(zhuǎn)換角度，任意振幅的單擺均做周期運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期可采用橢圓積分形式表示.由于橢圓積分形式運(yùn)用起來(lái)不夠方便，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了不同的近似函數(shù)描述單擺在任意角度下的振動(dòng)周期.文獻(xiàn)[3]構(gòu)造的近似函數(shù)最為簡(jiǎn)單，該函數(shù)只要擺幅控制在90°以內(nèi)，單擺周期數(shù)值計(jì)算結(jié)果誤差不到1‰.文獻(xiàn)[4]將橢圓積分形式作泰勒展開，構(gòu)造了新的單擺周期近似公式，采用該公式計(jì)算單擺周期時(shí)，只要振幅在114°的范圍內(nèi)，單擺周期數(shù)值計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差小于 1‰.文獻(xiàn)[5]重點(diǎn)研究了阻尼及外界驅(qū)動(dòng)力對(duì)單擺周期的影響，并分析了具體的運(yùn)動(dòng)形式.文獻(xiàn)[6]通過(guò)單擺運(yùn)動(dòng)與鉛直運(yùn)動(dòng)耦合機(jī)械模型，研究了變擺長(zhǎng)單擺運(yùn)動(dòng)特性，通過(guò)高精度數(shù)值解法得到了變擺長(zhǎng)單擺的近似解.文獻(xiàn)[7]利用龍格-庫(kù)達(dá)法，結(jié)合MATLAB軟件得到了非線性單擺振動(dòng)的多種圖像.

上述研究文獻(xiàn)內(nèi)容都屬于參數(shù)振動(dòng)，且都是針對(duì)單擺從不同方面作了拓展.參數(shù)振動(dòng)形式是多種多樣的，本文以橢圓曲面擺為研究對(duì)象，構(gòu)建小球擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用數(shù)值分析和計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真的方法，討論小球在橢圓曲面擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析影響小球擺動(dòng)周期的因素.

1 橢圓曲面擺動(dòng)力學(xué)方程及求解

橢圓曲面擺裝置是將球面擺裝置中的球面改成了橢圓曲面，該模型裝置剖面圖如圖1所示.圖中O為平衡位置，O′為橢圓的幾何中心點(diǎn)，θ為小球擺角；d0為平衡位置到橢圓幾何中心的距離，即橢圓豎直方向半軸長(zhǎng)度，d是小球球心與橢圓中心的距離(下稱擺長(zhǎng))；G為小球重量，F(xiàn)n為小球受到曲面的作用力，f為小球擺動(dòng)時(shí)受到的阻力，在速度不快時(shí)，可認(rèn)為阻力與速度大小成正比且方向相反[8]，比例系數(shù)記為γ.

圖1 橢圓曲面擺裝置示意圖

1.1 橢圓曲面擺動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)小球質(zhì)量為m，根據(jù)小球的受力特點(diǎn)，運(yùn)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，擺動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)微分方程滿足

(1)

由橢圓方程可知，擺長(zhǎng)d滿足

(2)

式(2)中a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，b為短半軸長(zhǎng)度.

令阻尼系數(shù)

聯(lián)立式(1)和式(2)，可得到小球擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程

(3)

1.2 橢圓曲面擺動(dòng)力學(xué)方程數(shù)值計(jì)算

根據(jù)二階微分方程知識(shí)，式(3)屬于二階變系數(shù)非齊次微分方程，無(wú)法給出確切的解析解.若給定初始條件，式(3)可以采用龍格-庫(kù)達(dá)法給出方程的計(jì)算值，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值仿真，省去求解微分方程的復(fù)雜過(guò)程.該方法基本思想是在已知方程導(dǎo)數(shù)和初值初始條件，用區(qū)間上的若干點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)平均得到平均斜率，并經(jīng)過(guò)多次迭代，獲得方程的數(shù)值解[9]，其中四階龍格-庫(kù)塔法最為經(jīng)典，具有精度高、誤差小的優(yōu)點(diǎn)[10].式(3)四階龍格-庫(kù)塔法計(jì)算基本步驟如下.首先將式(3)用角速度參數(shù)表示降為一階微分方程

(4)

此時(shí)θ=f(θ,t)，ω=g(θ,t)，設(shè)初始條件θ(t0)=θ0，ω(t0)=ω0，確定時(shí)間間隔h=δt，采用迭代法依次求出f(θ,t)和ω=g(θ,t)曲線斜率k.最后采用顯式龍格-庫(kù)達(dá)法式(5)和式(6)求得相應(yīng)位置角位移和角速度數(shù)值

(5)

(6)

式中k1j和k2j分別代表f(θ,t)和ω=g(θ,t)曲線斜率.為了提高計(jì)算精度，可以縮短時(shí)間間隔h值.四階龍格-庫(kù)達(dá)法數(shù)值計(jì)算量大，在實(shí)踐中一般是采用計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，并繪制f(θ,t) 和ω=g(θ,t)曲線圖像.

2 橢圓曲面擺基本振動(dòng)規(guī)律

設(shè)橢圓水平方向長(zhǎng)半軸a=2 m，豎直方向短半軸b=1 m，設(shè)初始條件ω0=0，θ0=arctan(0.2)，阻尼系數(shù)β=0.運(yùn)用MATLAB繪制液體晃動(dòng)角速度和角加速度圖像，得到如圖2所示的θ-t圖像、ω-t圖像和θ-ω圖像.

(a) θ-t圖像

(b) ω-t圖像

(c) θ-ω圖像

圖2(a)、(b)、(c)圖像可知，在不考慮阻尼作用時(shí)，橢圓曲面擺小球擺動(dòng)類似簡(jiǎn)諧振動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用正弦或余弦函數(shù)表示，圖像振幅和相位取決于初始條件值.因此無(wú)阻尼橢圓曲面擺的解形式可以寫成

(7)

式(7)中，φ為擺幅，T為小球擺動(dòng)周期，由圖像可知T≈1.91 s.

3 橢圓曲面擺周期影響因素

接下來(lái)分別通過(guò)改變阻尼系數(shù)、橢圓曲面幾何尺寸及振幅大小，討論橢圓曲面擺周期特性.

3.1 阻尼系數(shù)對(duì)周期的影響

設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸a=2 m，短半軸b=1 m，初始條件ω0=0和θ0=arctan(0.2)，阻尼系數(shù)β大小分別為0，2，5.27，10，繪制圖3(a)、(b)橢圓曲面擺的θ-t圖像和θ-ω圖像.

(a) θ-t圖像

(b) θ-ω圖像

圖3表明：

(1)當(dāng)β=2處于欠阻尼狀態(tài)，小球的擺幅隨著時(shí)間推移逐漸減小，直到最終停留在平衡位置處，而且振動(dòng)周期大于同一橢圓曲面擺裝置無(wú)阻尼振動(dòng)周期T；

(3)當(dāng)β=10時(shí)處于過(guò)阻尼狀態(tài)，小球從開始擺動(dòng)后慢慢回到平衡位置并停下來(lái).

3.2 橢圓曲面幾何尺寸對(duì)周期的影響

討論橢圓曲面幾何尺寸對(duì)周期的影響時(shí)設(shè)β=0，初始條件ω0=0，θ0=arctan(0.2)，分兩種情況：

表1 短半軸固定，長(zhǎng)半軸增大

表2 長(zhǎng)半軸固定，短半軸增大

最終得到圖4(a)、(b)所示的θ-t圖像.

(a) 短半軸固定，長(zhǎng)半軸變化

(b) 長(zhǎng)半軸固定，短半軸變化

圖4表明，橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)度增大，小球擺動(dòng)周期均增長(zhǎng).但短半軸的變化對(duì)小球擺動(dòng)周期影響顯著，而長(zhǎng)軸的變化對(duì)小球擺動(dòng)周期影響極小.

3.3 振幅對(duì)小球擺動(dòng)周期的影響

圖5 振幅變化的θ-t圖像

圖5表明，伴隨著擺動(dòng)振幅增大，小球的擺動(dòng)周期也變長(zhǎng).

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)在橢圓曲面擺裝置中，小球擺動(dòng)過(guò)程中擺長(zhǎng)按一定規(guī)律變化，屬于一種參數(shù)振動(dòng).

(2)小球擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為二階變系數(shù)齊次微分動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用龍格-庫(kù)達(dá)法可以給出方程進(jìn)行數(shù)值解，結(jié)合MATLAB軟件繪制角位移和角速度圖像.

(3)橢圓曲面擺振動(dòng)與單擺振動(dòng)類似，在無(wú)阻尼狀態(tài)時(shí)符合正弦變化規(guī)律，伴隨著阻尼系數(shù)、振幅、橢圓曲面長(zhǎng)短軸增大，小球擺動(dòng)周期也相應(yīng)增大.