李慧

【摘? 要】鄭毓信教授曾說過深度學(xué)習(xí)應(yīng)該深在哪里？他指出首先深在人的心靈與精神境界，其次深在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與教學(xué)規(guī)律。因此，深度的數(shù)學(xué)課堂要找準(zhǔn)知識(shí)生長點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生思維的深度發(fā)展。筆者從案例描述、我的思考、改進(jìn)策略三個(gè)方面進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】直觀算理;抽象算法;深度數(shù)學(xué)

一、案例描述

“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”是兩位數(shù)除以一位數(shù)單元中相對較復(fù)雜的一種計(jì)算類型，學(xué)生在前一課已經(jīng)學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）”，課堂上絕大部分學(xué)生已經(jīng)基本掌握了豎式計(jì)算的算法，而本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)是被除數(shù)十位上的數(shù)有剩余應(yīng)該怎么處理。教材是繼續(xù)利用學(xué)生能夠平均分實(shí)物（羽毛球）的已有情境圖，通過前一課學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已經(jīng)知道用小棒代替羽毛球，借助其進(jìn)行平均分小棒操作，將平均分小棒的過程與除法豎式計(jì)算過程之間形成一種聯(lián)結(jié)。但學(xué)生在小棒操作52÷4的過程中遇到了困難，5捆里拿出4捆平均分，還剩下1捆怎么辦？那1捆其實(shí)就是不夠平均分的1個(gè)10，辦法總比困難多，學(xué)生想到了把1捆打開，這樣1個(gè)10就變成了10個(gè)1，和還沒有分的2個(gè)1合起來，接著12個(gè)1繼續(xù)分，讓學(xué)生在分小棒過程中體會(huì)并感悟這樣操作的道理，學(xué)生的思維也順利由形象思維過渡到抽象思維，算理與算法也無縫隙地融合在一起，從而有效突破本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)。

兒童的天性好動(dòng)，喜歡有吸引力的課堂。以上兒童感興趣的小棒操作在教師用心指導(dǎo)下達(dá)到了想要的教學(xué)效果，這正和鄭毓信教授對深度學(xué)習(xí)應(yīng)該深在哪里的闡述不謀而合。

在教學(xué)過程中，筆者對課堂活動(dòng)的情況及時(shí)進(jìn)行了分類與統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)28%的學(xué)生拿著那剩余的1捆小棒不知所措;34%的學(xué)生干脆對剩余的那1捆小棒置之不理;25%的學(xué)生把1捆整的拆下來變成10根散的，并且把這10根小棒平均分成兩份，每份分得5根，困難解決了接著繼續(xù)分;13%的學(xué)生把剩下的1捆和2根合起來變成12根小棒一起分。筆者思索著既然這么多學(xué)生的認(rèn)知達(dá)不到自己的預(yù)期，那就及時(shí)干預(yù)吧！于是筆者通過多媒體動(dòng)態(tài)演示每一步分小棒的過程，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，并結(jié)合動(dòng)態(tài)演示過程先讓全班派代表說，再讓同桌互相說，最后自己小聲說，多次說分小棒的全過程，讓學(xué)生大腦充分運(yùn)轉(zhuǎn)起來，真正做到動(dòng)手、動(dòng)嘴和動(dòng)腦的集合，使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)有意思，從而真正愛上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

接著結(jié)合剛剛分小棒的過程教學(xué)52÷2的豎式計(jì)算，我以為動(dòng)手操作的環(huán)節(jié)有了細(xì)致的指導(dǎo)，學(xué)生豎式計(jì)算的過程應(yīng)該問題不大，可幾分鐘后還是大致出現(xiàn)了以下兩種情況，其中第一種情況統(tǒng)計(jì)下來大約有20%左右的學(xué)生出現(xiàn)。

本以為這節(jié)課孩子先通過動(dòng)手操作分小棒，再結(jié)合多媒體動(dòng)態(tài)演示分小棒的過程，接著呈現(xiàn)正確的和錯(cuò)誤的52÷2豎式計(jì)算對比，然后安排多元化的習(xí)題鞏固，最后再將上節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對比，兒童經(jīng)歷了一系列操作之后應(yīng)該能有效突破該節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，然而結(jié)果并不樂觀。

二、我的思考

帶著腦子里滿滿的困惑繼續(xù)前行，筆者想，如果要讓學(xué)生真正做到深度學(xué)習(xí)，教師一定要用有深度思維的好問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。筆者反復(fù)在腦海里回顧課堂中的場景，頓悟到教學(xué)時(shí)“直觀算理”與“抽象算法”沒有有效銜接。于是筆者從“算理與算法的關(guān)聯(lián)是什么？”“算理為什么要直觀？”“算法為什么要抽象？”這三個(gè)方面進(jìn)行深度思考，引導(dǎo)學(xué)生對豎式“講道理”，通過“明理”實(shí)現(xiàn)“得法”，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)算法的有效建構(gòu)。

（一）算理與算法的關(guān)聯(lián)是什么？

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，數(shù)學(xué)教育要注重學(xué)生的十大核心素養(yǎng)的發(fā)展，里面提及要注重培養(yǎng)兒童的運(yùn)算能力。算理主要有助于學(xué)生思維能力的發(fā)展，而算法主要有助于學(xué)生運(yùn)算能力的提升，算理與算法是一家人，要互相融入，做到理中有法，法中有理?！缎W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也同時(shí)指出：在基本技能的教學(xué)中不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。

如何將兩者“潤物細(xì)無聲”式地嫁接，筆者又查閱了一些資料。資料中指出：算理使學(xué)生理解程序和步驟的道理;算法使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟。算法是算理的人為規(guī)定，算理是算法的內(nèi)化，所以說算理和算法如同一枚硬幣的正反兩面，緊密相連且無法分開。

（二）算理為什么要直觀呢？

數(shù)學(xué)課堂上為什么要算理直觀呢？我想算理直觀性是由計(jì)算原理的抽象性與兒童思維的具體性所決定的。算理直觀是根據(jù)兒童年齡認(rèn)知發(fā)展特征，因?yàn)閮和乃季S發(fā)展是由直觀到抽象的發(fā)展過程，是為了促進(jìn)兒童理解，且兒童的理解應(yīng)處于三級水平：第一階段是低級水平，即主要是知覺辨認(rèn)，對概念的初步理解;第二階段是中級水平，即主要是理解概念意義本質(zhì)，思維如何進(jìn)一步發(fā)展;第三階段是高級水平，即主要形成一個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，讓兒童對問題有深度理解。

“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”這部分內(nèi)容是針對兒童理解的三級水平層層遞進(jìn)的，這三個(gè)層次即通過動(dòng)手操作小棒算出得數(shù)（動(dòng)作思維），觀看動(dòng)態(tài)演示算出得數(shù)（形象思維），分步口算算出得數(shù)（邏輯思維），讓兒童充分直觀地去理解算理。

（三）算法為什么要抽象呢？

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出：運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運(yùn)算技能的逐步提高，還應(yīng)包括運(yùn)算思維素質(zhì)的提升。算法抽象會(huì)促進(jìn)學(xué)生對算理的掌握，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力素養(yǎng)的形成，所以說運(yùn)算技能是運(yùn)算能力形成的基礎(chǔ)。

張景中院士曾說過：“計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算?！睘榱耸箖和凇皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的思維能夠深度發(fā)展，需要先讓學(xué)生在一系列的直觀操作中理解算理，再讓學(xué)生從直觀操作中抽象出計(jì)算法則，讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的思維跨越過程，把培養(yǎng)學(xué)生推理能力作為持久目標(biāo)。

三、改進(jìn)策略

（一）去情境，加強(qiáng)對比，以理馭法

課堂開始舍去教材原有問題情境（52個(gè)羽毛球，平均分給2個(gè)班，每班分得多少個(gè)？），通過和學(xué)生交流談話導(dǎo)入該課：猜一猜教師這節(jié)課會(huì)和大家一起研究什么內(nèi)容？由于前一課時(shí)學(xué)習(xí)的計(jì)算，學(xué)生很快就會(huì)猜出來，這時(shí)課件出示兩位數(shù)除以一位數(shù)的標(biāo)題，繼續(xù)說道：“今天我們再次學(xué)習(xí)兩位數(shù)除以一位數(shù)，關(guān)于這個(gè)課題，大家有什么問題想問老師嗎？”學(xué)生一時(shí)被問蒙了，我順勢拋出：“誰能大膽地提出你心中的疑惑？”

在鴉雀無聲中，我出示PPT并介紹這是我們以前學(xué)的兩位數(shù)除以一位數(shù)（46÷2），這是我們今天要研究的兩位數(shù)除以一位數(shù)（52÷2），你們發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)了嗎？

筆者小結(jié)：我們把被除數(shù)十位上有余數(shù)的除法叫作首位不能整除的除法，今天教師和大家一起研究首位不能整除的兩位數(shù)除以一位數(shù)，再次改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候筆者選擇了情境教學(xué)，因?yàn)閷W(xué)生前面已有了這樣的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課應(yīng)該注重計(jì)算教學(xué)中的道理，所以筆者認(rèn)為情境教學(xué)也無妨。

（二）親探究，豐富過程，以探促悟

根據(jù)之前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”的學(xué)習(xí)在腦海中不是以“一張白紙”進(jìn)課堂的，兒童是有兒童的思想的，有時(shí)成人思維需要和兒童思維進(jìn)行換位思考，這樣才會(huì)收到意想不到的效果。于是筆者采取了“任務(wù)單”（見下圖）方式進(jìn)行教學(xué)，用于活躍課堂氣氛。

其實(shí)對任務(wù)單進(jìn)行這樣的設(shè)計(jì)是因?yàn)閿?shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”作為教師，如果用敏銳的捕捉力長期深度挖掘課堂生成的資源，久而久之，學(xué)生的思維就能得到深度發(fā)展。

“任務(wù)單”上面的方法一和方法二其實(shí)是對比分小棒的直觀操作過程與口算和豎式計(jì)算的兩步過程，從而進(jìn)行有效且抽象的“數(shù)”與直觀的“形”關(guān)聯(lián)。在思考“任務(wù)單”的設(shè)計(jì)時(shí)，筆者有意識(shí)地把抽象的“數(shù)”與直觀的“形”放在一起，其內(nèi)涵一樣是為了讓學(xué)生通過多樣化的方式去洞察，這樣可以幫助學(xué)生充分理解算法的本質(zhì)，即做到真正理解算理，通過抽象的“數(shù)”與直觀的“形”有效結(jié)合從而達(dá)到“法”與“理”的相融，成功建造“理”與“法”之橋，促使學(xué)生思維的通透與深度發(fā)展。

（三）重求聯(lián)，對比練習(xí)，組建結(jié)構(gòu)

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)隨年齡的增長不斷成熟和完善，所以教師應(yīng)該在新知教學(xué)的開端就加以重視，將這種思維的“種子課”在還沒有生根發(fā)芽時(shí)就種到學(xué)生腦海中去，而不是等到單元教學(xué)統(tǒng)整時(shí)再去矯正學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣就會(huì)提高學(xué)生的運(yùn)算思維能力，運(yùn)算技能就能得到提升，運(yùn)算方法也會(huì)實(shí)現(xiàn)自主遷移，并在以后的學(xué)習(xí)中得以靈活運(yùn)用。

因此，根據(jù)遷移的條件，教師在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)置了三道題目讓兒童進(jìn)行對比練習(xí)，分別是69÷3、92÷2、80÷5，其實(shí)前兩題的對比絕大多數(shù)學(xué)生都已經(jīng)知道了，在課堂上反饋的時(shí)候正確率也很高，可是最后一題80÷5的正確率就有點(diǎn)不盡如人意，被除數(shù)80個(gè)位上是0，十位上的8分掉5個(gè)10之后還多3個(gè)10，有的學(xué)生做到這里時(shí)就束手無策了，這對三年級的學(xué)生來說還是比較抽象的。接著在這里我放了由3個(gè)10變?yōu)?0個(gè)1的直觀小棒圖，在對比中，學(xué)生仔細(xì)分辨各種情況，從而真正理解算理上的異曲同工之妙，促使學(xué)生深度發(fā)展，讓學(xué)生有所感悟。

（四）重反思，回顧思考，知識(shí)發(fā)展

不管是什么類型的數(shù)學(xué)課都少不了反思環(huán)節(jié)。讓學(xué)生回顧思考該課是怎樣開始的，過程是怎樣研究的，結(jié)果學(xué)到了什么知識(shí)，在整節(jié)課有什么樣的收獲與體會(huì)。讓學(xué)生說一說并在腦海中回放本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這樣的反思對學(xué)生而言是深刻且久遠(yuǎn)的。我想學(xué)生在這樣的數(shù)學(xué)課堂上才會(huì)提升最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，比如遇到困難不急不慌靜下心思考，找到問題突破口的能力;又如審題時(shí)更加細(xì)心，會(huì)和以前相似的題目進(jìn)行對比并找出不同，這樣學(xué)生的思維會(huì)更加縝密。長期通過這樣的數(shù)學(xué)課堂對學(xué)生思維進(jìn)行訓(xùn)練，學(xué)生的知識(shí)發(fā)展才會(huì)更深刻。

綜上所述，筆者認(rèn)為教師不僅要看得見學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)在的微妙變化，還需要努力讓學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成從能看懂、能記住、會(huì)解題、熟練解題、會(huì)梳理、融會(huì)貫通、把握數(shù)學(xué)思維、體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣到最終的樂此不疲，這就需要教師能有“看山是山，看山不是山，看山還是山”的本領(lǐng)，將孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)由點(diǎn)成線，再由線成面，逐漸增加到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)體系中，使結(jié)構(gòu)體系越來越趨于完整，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)走向越來越成熟，使學(xué)生在課堂中學(xué)得更快樂并將自己的魅力展現(xiàn)出來。

【參考文獻(xiàn)】

[1]加涅，等.教學(xué)設(shè)計(jì)原理[M].5版.王小明，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.

[2]顧泠沅，周超，等.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.