■趙慶偉

近幾年高考非常重視考查同學(xué)們對圖形的正確理解能力,以及善于從圖形中捕捉數(shù)據(jù)信息的能力。下面就統(tǒng)計問題中的“圖”與“數(shù)”進(jìn)行舉例剖析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、頻率分布直方圖

例1 為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時間后,用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比。根據(jù)試驗數(shù)據(jù),得到甲、乙兩種離子殘留百分比的頻率分布直方圖,分別如圖1,圖2所示。

圖1

圖2

記事件C為“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)頻率分布直方圖得到P(C)的估計值為0.7。

(1)求乙離子殘留百分比的頻率分布直方圖中a,b的值。

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)。

解:(1)由題意得0.7=a+0.2+0.15,所以a=0.35。由0.05+b+0.15=1-0.7,可得b=0.1。

(2)估計甲離子殘留百分比的平均值為2×0.15+3×0.2+4×0.3+5×0.2+6×0.1+7×0.05=4.05。

估計乙離子殘留百分比的平均值為3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6。

二、莖葉圖

例2 某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式。為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式。根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了莖葉圖,如圖3所示。

圖3

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高。請說明理由。

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m。

解:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高。理由如下。

①由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80min,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79min。因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

②由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80min;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80min,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高。