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        一類非線性系統(tǒng)的全局定性分析

        2022-05-17 06:35:52呂海煒
        關(guān)鍵詞:軌線奇點(diǎn)平衡點(diǎn)

        呂海煒,蔣 鳳

        (1.西華大學(xué) 理學(xué)院,四川 成都 610039;2.成都大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 成都 610106)

        形如

        (1)

        的一類二階非線性系統(tǒng)[1],一些文獻(xiàn)[2-3]只對(duì)其極限環(huán)的存在性進(jìn)行了證明,但未對(duì)極限環(huán)[4]的唯一性和位置進(jìn)行說(shuō)明,本文不僅對(duì)極限環(huán)的存在唯一性[5]和位置進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明,還討論了隨參數(shù)u變化,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)[6]和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[7]的情況,最后用相圖[8]來(lái)描述不同情況下系統(tǒng)的軌線走向.

        1 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)分析

        定理1:當(dāng)u≤0時(shí),(0,0)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn);當(dāng)u>0時(shí),(0,0)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn),如圖1所示.

        圖1 u>0時(shí)系統(tǒng)(1)的軌線圖

        由平衡點(diǎn)的定義:

        得(0,0)是非線性系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn),舍去方程(1)中非線性項(xiàng),得到一個(gè)常系數(shù)線性方程:

        (2)

        其特征方程為

        λ2-2uλ+u2+1=0.

        解得其特征值為

        λ1=u+i,

        λ2=u-i.

        1)當(dāng)u<0時(shí),λ1,λ2為有負(fù)實(shí)部的虛數(shù),所以平衡點(diǎn)(0,0)是系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的焦點(diǎn).

        2)當(dāng)u>0時(shí),λ1,λ2為有正實(shí)部的虛數(shù),所以平衡點(diǎn)(0,0)是系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

        3)當(dāng)u=0時(shí),λ1=i,λ2=-i為純虛數(shù),系統(tǒng)(2)以(0,0)為中心,此時(shí)(1)就變成

        (3)

        用后繼函數(shù)法研究此非線性方程組在(0,0)的穩(wěn)定性:

        在方程組(3)中,令x=rcosθ,y=rsinθ,有

        得:

        繼而得:

        (4)

        所以

        r(θ,c)=c-θc3+r4(θ)c4+…,

        r(2π,c)-r(0,c)=c-2πc3+r4(2π)c4+…-c-0·c3-r4(0)c4+…=

        -2πc3+….

        當(dāng)c充分小時(shí),r(2π,c)-r(0,c)<0?r(2π,c)

        顯然,當(dāng)參數(shù)u由負(fù)變到正時(shí),λ沿實(shí)軸上方或下方穿過(guò)虛軸,平衡點(diǎn)由穩(wěn)定的焦點(diǎn)(u<0)變?yōu)椴环€(wěn)定的焦點(diǎn)(u>0),這個(gè)系統(tǒng)在u=0處發(fā)生了Hopf分叉[9],如圖3所示.

        圖2 u≤0時(shí)系統(tǒng)(1)的軌線圖

        圖3 Hopf分叉

        事實(shí)上,該系統(tǒng)不只發(fā)生了奇點(diǎn)分叉,還發(fā)生了閉軌分叉.

        上面的第二個(gè)方程表示軌線以角速度ω=1旋轉(zhuǎn),而對(duì)第一個(gè)方程,有:

        1)當(dāng)u≤0時(shí),只有唯一奇點(diǎn)(0,0),且是穩(wěn)定的焦點(diǎn).

        該系統(tǒng)的超臨界分岔如圖4所示.

        圖4 超臨界分岔

        2 系統(tǒng)(1)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)情況

        定理2:當(dāng)u>0時(shí),系統(tǒng)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).

        下面先討論系統(tǒng)(1)在全平面上極限環(huán)的存在情況:

        取H(x,y)=Exm+Fyn+Gxpyqelx+gy

        HP=Euxm+1-Exmy-Exm+3-Exm+1y2+Fuxyn-Fyn+1-Fx3yn-Fxyn+2+

        [Guxp+1yq-Gxpyq+1-Gxp+3yq-Gxp+1yq+2]elx+gy

        HQ=Exm+1+Euxmy-Exm+2y-Exmy3+Fxyn+Fuyn+1-Fx2yn+1-Fyn+3+

        [Gxp+1yq+Guxpyq+1-Gxp+2yq+1-Gxpyq+3]elx+gy

        1)令E=G=0,F>0,則

        Fu(n+2)yn-F(n+4)yn+2-F(n+4)x2yn+Fnxyn-1,

        取n=-2,F=1,H(x,y)=y-2,

        由Dulac判別法[10]可知,系統(tǒng)(1)在一、三象限不存在閉軌.

        2)令F=G=0,E>0,則

        取m=-2,E=1,H(x,y)=x-2,

        同樣的由Dulac判別法可知,系統(tǒng)(1)在二、四象限不存在閉軌.又因?yàn)閤=0與y=0不是系統(tǒng)的軌線,則當(dāng)u>0時(shí),系統(tǒng)(1)可能存在與x軸,y軸相交的軌線.

        下面用環(huán)域定理[6]來(lái)證明當(dāng)u>0時(shí),系統(tǒng)(1)極限環(huán)的存在性:

        記V(x,y)=x2+y2,則在軌線上有

        取內(nèi)外境界線分別為L(zhǎng)1和L2:

        又有

        故系統(tǒng)(1)的軌線當(dāng)t增加時(shí)均由內(nèi)境界線L1的內(nèi)部跑向外部,由外境界線L2的外部跑向內(nèi)部.

        系統(tǒng)(1)的軌線均進(jìn)入由L1和L2所圍成的環(huán)域D中,在環(huán)域D中存在閉軌L,其相對(duì)位置是L1?L?L2.又因P(x,y),Q(x,y)都是解析函數(shù),故閉軌L為穩(wěn)定的極限環(huán),如圖5所示.

        圖5 極限環(huán)L

        下面證明系統(tǒng)(1)存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán):

        用文獻(xiàn)[4]中的定理6.1和定理6.8來(lái)分別證明系統(tǒng)(1)只存在一個(gè)極限環(huán).

        由前面可知系統(tǒng)(1)的極坐標(biāo)形式為:

        最后有

        因?yàn)閡>0,故由文獻(xiàn)[4]中定理6.1可知系統(tǒng)(1)的極限環(huán)唯一.

        對(duì)于系統(tǒng)(1)

        P(x,y)Q(λx,λy)-P(λx,λy)Q(x,y)=[ux-y-x(x2+y2)][λx+λuy-λ3y(x2+y2)]-

        對(duì)于任意的λ>1,恒有

        P(x,y)Q(λx,λy)-P(λx,λy)Q(x,y)≥0,

        并且只有取(0,0)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,故由文獻(xiàn)[4]中定理6.8可知系統(tǒng)(1)的極限環(huán)唯一.

        3 系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的軌線情況

        下面考慮系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)的情況:

        1)作Poincare′變換.

        把系統(tǒng)(1)變成系統(tǒng)

        (5)

        (6)

        2)求出系統(tǒng)(6)在p軸(z=0)上的平衡點(diǎn),并判斷其穩(wěn)定性.

        令z=0,則有

        所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解,則赤道上無(wú)其他奇點(diǎn).

        3)作Poincare′變換.

        系統(tǒng)(1)化為

        (7)

        (8)

        求出系統(tǒng)(8)在ν軸(z=0)上的平衡點(diǎn),令z=0,有

        則方程也無(wú)實(shí)數(shù)解.

        綜上,系統(tǒng)(1)沒有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

        4 系統(tǒng)的全局相圖

        由前文對(duì)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)、極限環(huán)以及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)部分的推征,可大致畫出系統(tǒng)的全局相圖,如圖6所示.可以清晰地看到系統(tǒng)存在一個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),以及一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán).

        圖6 系統(tǒng)的全局相圖

        5 Matlab作圖

        利用Matlab 作圖驗(yàn)證理論部分的準(zhǔn)確性.圖7(a)~(c)分別表示u=-1,0,1時(shí)系統(tǒng)(1)的全局相圖.

        圖7 系統(tǒng)(1)的全局相圖

        6 結(jié)論

        通過(guò)以上對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化而發(fā)生變化和極限環(huán)的存在情況,以及系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的軌線情況,清晰了解參數(shù)取不同值時(shí)系統(tǒng)的軌線走向及趨勢(shì).

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