李文興，程時(shí)宇

(桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在板的受力性能分析理論研究中，多結(jié)合彈性力學(xué)級數(shù)解與有限元數(shù)值解綜合對比來分析問題.曹彩芹等[1]給出了構(gòu)造級數(shù)的方法，獲得矩形薄板彎曲振動(dòng)穩(wěn)定解析解；謝中敏等[2]通過有限元分析軟件ANSYS獲得了方板的撓度，并與解析法進(jìn)行了比較；楊成永等[3]以Navier解為基礎(chǔ)，研究了局部均布荷載作用下四邊固支矩形薄板的彎曲問題；李壯飛等[4]通過Kirchhoff薄板理論，得到了矩形板受分布荷載作用的解析解；吳洪洋[5]提出一種用加權(quán)殘數(shù)法解均布荷載作用下四邊固支板內(nèi)力的方法.在框架結(jié)構(gòu)中，柱跨不變，板跨可由次梁的布置而發(fā)生改變，板的受力性能與次梁的布置有密切關(guān)系.次梁與主梁在實(shí)際受力情形下均有撓度，與四周固支的板的受力有差異.作為力學(xué)研究，分析力的傳力路徑，并且分析板的受力特征對基礎(chǔ)研究而言有其必要性，同時(shí)可為工程應(yīng)用提供參考.

1 柱跨8 m×8 m下板的受力性能有限元分析

1.1 模型建立

采用有限元通用分析軟件ANSYS[6]，以Beam188單元模擬梁柱，以Shell63單元模擬板，建立空間分析模型.模型以4層、4跨框架結(jié)構(gòu)為基本骨架，取框架結(jié)構(gòu)中固定空間位置研究板的受力特征；調(diào)整次梁布置以形成不同形式的梁格(圖1～圖4)，通過板的變形、應(yīng)力特征分析力的傳遞、梁板剛度等相關(guān)問題.

圖1 “口字形”梁格

圖2 “田字形”梁格

圖3 “目字形”梁格

圖4 “日字形”梁格

該模型采用了ANSYS的APDL命令流分式，具有良好的可調(diào)整性.在雙向柱跨為8 m的固定柱跨下，設(shè)計(jì)了不同次梁方式，即無次梁布置(口字形梁格)、雙向單次梁布置(田字梁格)、單向雙次梁布置(目字梁格)、單向單次梁布置(日字梁格).柱截面采用500 mm×500 mm矩形截面，主梁截面采用200 mm×600 mm矩形截面，次梁截面采用200 mm×450 mm矩形截面.梁板柱材料均采用C30混凝土，彈性模量為25 GPa，泊松比為0.25.這里研究板面受到豎向荷載8 kN/m2作用下發(fā)生的豎向位移與x向應(yīng)力.

1.2 板的受力特征分析

在柱跨8 m×8 m的情形下，通過ANSYS程序找到了最大應(yīng)力、最大位移、最大位移點(diǎn)處應(yīng)力、以及最大應(yīng)力點(diǎn)位置和最大位移點(diǎn)位置.各種布梁方式得到的結(jié)果見表1.

表1 最大位移值與最大應(yīng)力值

由表1可知“口字形”布梁方式產(chǎn)生的位移和應(yīng)力均最大，顯然在水平方向無剛度增加的前提下，豎向荷載全部由板傳遞給主梁.板的跨度最大，無論是中跨還是邊跨，得到的豎向位移是最大的.而“田字形”布梁方式顯然使得板的跨度兩個(gè)方向均小了一半，因而豎向位移與應(yīng)力值均減小,產(chǎn)生這種特征的原因是由于次梁增加了水平的剛度，次梁的抗彎剛度明顯大于板單位寬度抗彎剛度.按剛度分配的原理，在次梁上承擔(dān)更多的內(nèi)力，因而板的內(nèi)力減小，產(chǎn)生的變形與應(yīng)力隨之減小.“目字形”布梁方式是工程實(shí)踐中廣泛采用的形式，這種布置方式使得柱跨內(nèi)形成3個(gè)單向板肋，單向板肋內(nèi)力按短向傳遞，短向主要由次梁承受板傳來的內(nèi)力，次梁在該方向相比較板而言形成較大剛度，變形得到控制，但另一個(gè)方向無次梁，板跨依然較大，經(jīng)過計(jì)算，豎向位移值與應(yīng)力值略大于“田字形”布梁方式.“日字形”布梁方式下次梁布置形成的剛度不足，產(chǎn)生的豎向位移較大，當(dāng)建筑有特定要求時(shí)，可增加次梁剛度與板的剛度，以減少豎向位移.

圖5～圖8分別是幾種布梁方式相同范圍處的x向應(yīng)力云圖.從圖中可觀察到次梁使得x向應(yīng)力有明顯的變化，雖然都在主梁側(cè)面取得最大的x向應(yīng)力，但x向應(yīng)力的值有較大的區(qū)別，應(yīng)力的分布變化有較大的不同.圖5為“口字形”x向應(yīng)力云圖，可以看到，在無次梁情形下，板內(nèi)的應(yīng)力很顯然傳遞到四周主梁，在梁邊緣處獲得最大應(yīng)力，在中間區(qū)域有較大應(yīng)力.圖6為“田字形”x向應(yīng)力云圖，明顯看到在2次梁位置處有較深色的應(yīng)力分布，說明次梁剛度的增加明顯，主次的剛度更大，變形更小，承受的內(nèi)力更多.圖7為“目字形”x向應(yīng)力云圖，顯示無次梁的區(qū)域產(chǎn)生了最大應(yīng)力.圖8為“日字形”x向應(yīng)力云圖，與圖7類似.

圖5 “口字形”x向應(yīng)力云圖

圖6 “田字形”x向應(yīng)力云圖

圖7 “目字形”x向應(yīng)力云圖

圖8 “日字形”x向應(yīng)力云圖

圖9～圖12為幾種布梁方式相同范圍處的最大位移圖,從中可觀察到撓度因次梁的作用發(fā)生了明顯的變化.

圖9 “口字形”撓度云圖

圖10 “田字形”撓度云圖

圖11 “目字形”撓度云圖

圖12 “日字形”撓度云圖

由圖9可知，在無次梁布置情形下，產(chǎn)生的撓度最大，撓度對稱分布，以類似環(huán)狀向周圍擴(kuò)散，在柱位置附近，撓度減至最小.由圖10可知，2條次梁對稱分布下可較好減小跨度區(qū)域的撓度，跨中由于距離支承柱遠(yuǎn)，且次梁本身也具有一定變形，此時(shí)全板范圍內(nèi)，此區(qū)域中心仍是最大撓度處.圖11反映了沿橫向2條次梁的情形，從圖中可明顯看到沿次梁的分布有2條“帶”狀的撓度線，說明了在次梁附近剛度發(fā)生了較大的變化，改變了板的受力性能；可明顯觀察到撓度變化的情況，在區(qū)域中心最大撓度處呈現(xiàn)非對稱形狀，此形狀的“長軸”與次梁方向相同，其原因是此時(shí)形成的單向板肋內(nèi)力更多向短跨傳遞，而短跨的跨度小，產(chǎn)生的變形小.由圖12可知，由于單次梁作用較小，未能較好地控制變形，因此中間區(qū)域的撓度均較大，區(qū)域內(nèi)板撓度的傳遞類似圖9以環(huán)形方式向四周擴(kuò)散開去.

2 彈性力學(xué)級數(shù)解分析

通過ANSYS可精確計(jì)算板的受力情形，然而也可從彈性力學(xué)的角度進(jìn)行分析.均布荷載作用下的撓度函數(shù)[7]為

(1)

式中：a、b為矩形薄板沿x軸和y軸方向長度；m、n為任意正整數(shù)；

(2)

式中：q0為板受到垂直于板面向下的均布荷載，D為矩形薄板的抗彎剛度，即

(3)

式中：E為矩形薄板的彈性模量，h為薄板的厚度，μ為矩形薄板的泊松比[8-9].

將均布荷載作用下的4邊固支矩形薄板的撓度函數(shù)ωA代入彈性矩形板應(yīng)力關(guān)系式中，取m=n=1，可得均布荷載作用下4邊固支矩形薄板應(yīng)力的表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

為了與ANSYS得到的結(jié)果形成對比，取q0=8 kN/m2，E=30 GPa，μ=0.25，h=0.1 m.利用上述公式可計(jì)算不同布梁方式在板跨中間的的撓度值、應(yīng)力值，具體見表2.

表2 級數(shù)解

表2給出了板跨中點(diǎn)處的撓度值與應(yīng)力值，而彈性力學(xué)解是在4邊固支的前提下得到的結(jié)論，即4邊無任何撓度.由于在框架結(jié)構(gòu)中，即使主梁剛度很大，也會產(chǎn)生一定的撓度，因此計(jì)算結(jié)果與ANSYS得到的有一定差別.表3是通過ANSYS得到的結(jié)果.

表3 ANSYS計(jì)算結(jié)果

由于兩種分析方式所采用的坐標(biāo)系不同，因此只觀察其絕對值情況.由表2、表3可知，有限元的數(shù)值解與級數(shù)解有一定的區(qū)別，但反應(yīng)的規(guī)律基本一致，若采用更加精確的級數(shù)解(m與n采用更大的值)，得到的結(jié)果將更為貼近.當(dāng)然，兩者的計(jì)算模型上有區(qū)別，它們之間的誤差亦不可能完全避免.由此得到的基本結(jié)論是，在板跨中點(diǎn)附近，取得了較大的撓度，且應(yīng)力向短跨方向分布較大，這就是力的傳遞方式.而引起這種方式的原因是中間布有次梁所產(chǎn)生的作用，次梁極大地改變了平整板面的剛度，改變了內(nèi)力的分布形態(tài).

3 結(jié)語

從ANSYS分析得到的結(jié)果和級數(shù)解得到的結(jié)果來看，板的傳力路徑隨跨度及板內(nèi)的剛度分布有密切關(guān)系.改變次梁的布置情形，使得剛度發(fā)生變化，應(yīng)力分布亦發(fā)生變化，而這從本質(zhì)上來說是內(nèi)力在板內(nèi)的傳遞發(fā)生了根本的改變.在工程實(shí)踐中，若能根據(jù)內(nèi)力的傳遞方式合理布置次梁，會使得板產(chǎn)生更小的變形，更大程度地提高板的承載力.