程 強， 計冬雪， 初紅艷， 齊寶寶， 郝小龍， 劉志峰

(1.北京工業(yè)大學(xué)先進制造與智能技術(shù)研究所， 北京 100124；2.北京工業(yè)大學(xué)先進制造技術(shù)北京市重點實驗室， 北京 100124；3.北京工業(yè)大學(xué)機械工業(yè)重型機床數(shù)字化設(shè)計與測試技術(shù)重點實驗室， 北京 100124)

精密滾珠絲杠副具備優(yōu)良的直線傳動性能，在控制系統(tǒng)占據(jù)重要地位，因此研究精密滾珠絲杠副性能的衰退十分必要. 滾珠絲杠副的摩擦?xí)斐蓾L珠絲杠的溫度升高，壽命比較短[1-4]. 趙訓(xùn)貴等[5]將預(yù)緊力考慮在內(nèi)建立了絲杠滾珠和滾道間的彈性變形模型. 黃壽榮等[6]研究了復(fù)雜工況對滾珠絲杠副摩擦力矩的影響，建立了摩擦力矩模型. 康獻民等[7-8]分析了滾珠絲杠的單個滾珠在不同轉(zhuǎn)速、預(yù)緊力及軸向載荷下對摩擦力矩波動的影響. 在實際服役過程中，由于機床隨著切削參數(shù)的變化軸向負載也是變化的，這些具有動態(tài)時變特性的工況導(dǎo)致了滾珠絲杠副進給系統(tǒng)精度呈現(xiàn)時變衰退特性. 宋憲春、王兆坦教授等先后對滾道、返向器進行了研究,并設(shè)計研發(fā)了相關(guān)的實驗裝置[9-12]. 南京理工大學(xué)馮虎田、王志榮教授等也在這些方面進行了深入的研究[13-15]，建立了滾珠絲杠副行程誤差模型，提出了一種考慮加速度來描述滾珠絲杠磨損特性的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，并提出了滾珠絲杠副各項性能指標(biāo)的具體測試標(biāo)準. Chung等[16]對滾珠絲杠副接觸變形引起的剛度變化進行分析，建立了接觸變形時的剛度模型. Oyanguren等[17]通過對不同預(yù)緊力、不同工況下的滾珠絲杠進給系統(tǒng)建模，模擬分析了進給系統(tǒng)的動態(tài)性能.

綜上所述，研究者對滾珠絲杠的性能進行了大量研究，但是對時變軸向力加載工況下滾珠絲杠性能衰退方面的研究很少. 本文在時變軸向力加載的基礎(chǔ)上建立雙螺母滾珠絲杠副的受力模型、磨損模型、預(yù)緊力的衰退模型和摩擦力矩衰退模型，并通過滾珠絲杠副精度保持性試驗臺測量序進軸向力加載與恒定軸向力加載工況下的滾珠絲杠磨損深度變化情況，與理論模型對比，從而驗證了滾珠絲杠副時變軸向力加載工況下性能衰退模型的有效性與合理性，進而通過理論模型預(yù)測預(yù)緊力和摩擦力矩的變化. 深入地研究了時變軸向加載工況下滾珠絲杠性能衰退試驗的統(tǒng)計分析方法，以期獲得效率高且估計精度高的加載方式分析結(jié)論，為深入研究時變機床工程用機械設(shè)備和試驗技術(shù)提供理論參考.

1 滾珠絲杠副的接觸特性

1.1 時變受力與時變接觸變性模型

對于預(yù)緊力作用下的雙螺母滾珠絲杠副，加載情況如圖1所示，在承受時變軸向工作載荷F(t)時，預(yù)設(shè)左螺母為工作螺母，右螺母為預(yù)緊螺母，則左螺母的實際受力相對于原來的預(yù)緊力Fp增加預(yù)緊螺母產(chǎn)生的時變彈性恢復(fù)力F′(t)，左螺母實際受力為FA(t)，則右螺母的實際受力相對于原來的預(yù)緊力Fp減小預(yù)緊螺母產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力F′(t)，右螺母實際受力為FB(t)，F(xiàn)A(t)和FB(t)跟隨時變軸向工作載荷F(t)變化，因此有

圖1 滾珠絲杠副時變軸向加載示意圖

FA(t)=Fp+F(t)-F′(t)

(1)

FB(t)=Fp-F′(t)

(2)

δA(t)、δB(t)分別為在預(yù)緊力Fp和載荷時變軸向工作載荷F(t)共同作用下2個螺母產(chǎn)生的隨著軸向力變化而變化的軸向接觸變形量，由Hertz彈性接觸理論可得出

(3)

(4)

δP為預(yù)緊力Fp對2個螺母產(chǎn)生的軸向接觸變形量，δ1(t)為左螺母壓縮變形量，δ2(t)為右螺母彈性恢復(fù)變形量，由hertz彈性接觸理論可得出

(5)

(6)

(7)

按照變形協(xié)調(diào)方程變形相等原理，壓縮變形量δ1(t)與彈性恢復(fù)變形量δ2(t)應(yīng)相等，即

(8)

將滾珠絲杠時變受力模型(1)～(8)用Matlab計算，軸向力F(t)是自變量，加載方式為序進時變載荷(如圖2所示)，左螺母受力FA(t)和右螺母受力FB(t)是因變量，根據(jù)計算可知，F(xiàn)A(t)和FB(t)隨著軸向力F(t)變化而變化，F(xiàn)A(t)隨F(t)增加而增加，F(xiàn)B(t)隨F(t)增加而降低，F(xiàn)A(t)上升速度大于FB(t)的下降速度.

滾珠絲杠的時變加載工況下的時變軸向力與時變法向力的關(guān)系為

(9)

1.2 滾珠絲杠臨界載荷

結(jié)合趙哲[18]和顧旻杰等[19]根據(jù)滾珠絲杠副材料特性確定Mises屈服準則的研究，可得到單個滾珠與滾道剛達到屈服極限時臨界法向載荷為

(10)

在最大載荷內(nèi)是彈性變形，在最大載荷外就會產(chǎn)生塑性變形.式中：σs為材料的屈服極限；kst為0.300～0.325的一個常數(shù)；對于滾珠與滾道之間的彈性接觸，a*3和b*3分別為滾珠與滾道接觸橢圓長、短半軸的量綱為1的系數(shù)；∑ρ為滾珠與滾道接觸點的主曲率和；E′為等效彈性模量.其中長、短半軸的量綱為1的系數(shù)a*3和b*3可以分別表示為

(11)

(12)

K(k)、E(k)分別為第1類、第2類完全橢圓積分，k為橢圓參數(shù)，為了簡化計算，Hamrock和Brewe給出了K(k)、E(k)、k的近似表達式[20]，根據(jù)近似表達式計算的誤差將不超過3%，分別為

(13)

等效彈性模量E′表示為

(14)

式中：E1、E2分別為滾珠絲杠接觸和滾珠螺母接觸的彈性模量；μ1、μ2分別為兩接觸物體的泊松比.絲杠、螺母、滾珠彈性模量和泊松比相等.

在考慮螺旋升角的情況下，滾珠與絲杠滾道接觸點處的曲率半徑通過計算主曲率可以表示為

(15)

式中：rb為滾珠半徑；rm為絲杠半徑；ri為滾道半徑.滾珠與絲杠滾道接觸點處主曲率之和

(16)

在考慮螺旋升角的情況下，滾珠與絲杠滾道接觸點處的曲率半徑通過計算主曲率可以表示為

(17)

滾珠與螺母滾道接觸點處主曲率之和

(18)

雙螺母滾珠絲杠參數(shù)如表1所示.經(jīng)計算，滾珠和絲杠滾道接觸的最大接觸載荷Qsmax為1 086.3 N，可以推算出滾珠絲杠副所施加的臨界軸向載荷F1max為87 288.5 N；滾珠和螺母滾道接觸的最大接觸載荷Qnmax為1 536.7 N，可以推算出滾珠絲杠副所施加的臨界軸向載荷F2max為123 482.5 N.F1max

表1 雙螺母滾珠絲杠參數(shù)

2 時變工況下滾珠絲杠副性能衰退模型

在時變軸向力加載模型的基礎(chǔ)上，本節(jié)在Achard理論基礎(chǔ)上建立了時變軸向力加載工況下的絲杠滾道和螺母滾道的磨損模型、滾珠絲杠副的時變預(yù)緊力衰減模型和時變摩擦力矩衰退模型，由此可以預(yù)測在時變軸向力加載工況下絲杠和螺母滾道的預(yù)緊力衰退和磨損深度變化規(guī)律.

滾珠絲杠運動時既有滾動也有滑動，根據(jù)Lin等[21]的研究，在時變軸向力加載模型的基礎(chǔ)上工作螺母中滾珠對于絲杠的時變滑動速度為

(19)

工作螺母中滾珠對于螺母時變滑動速度為

(20)

預(yù)緊螺母中滾珠對于絲杠時變滑動速度為

(21)

預(yù)緊螺母中滾珠對于螺母時變滑動速度為

(22)

將載荷細分，設(shè)試驗一共使用n步載荷，當(dāng)t=0時，初始工況參數(shù)如下：

F(t)=F1(F1=4 kN)，V(t)=0，δ(t)=0，經(jīng)式(1)～(8)可計算得出FA(t)和FB(t)的初始值.基于Zhou等[22]理論和楊雪[23]對滾珠絲杠副磨損的研究，工作螺母中滾珠與絲杠滾道時變磨損深度和滾珠與螺母滾道接觸面的時變磨損深度分別表示為

(23)

式中：K為黏著磨損系數(shù)，取10-6～10-7[23]；H為較軟材料的硬度；Ls表示絲杠的有效行程，取300 mm；LN表示螺母的有效行程，取80 mm.

純林中針葉樹種和闊葉樹種的碳儲量構(gòu)成：針葉樹碳儲量2649289 t，闊葉樹碳儲量494519 t。針葉樹碳儲量是闊葉樹碳儲量的5.36倍。針葉樹種平均碳密度39.96 t·hm-2，闊葉樹種平均碳密度37.30 t·hm-2。詳見表3。

時變軸向加載工況下工作螺母中的滾珠與絲杠、螺母接觸橢圓面的時變長半軸分別表示為

(24)

與絲杠滾道接觸面的時變磨損深度和預(yù)緊螺母中滾珠與螺母滾道接觸面的時變磨損深度可以分別表示為

(25)

時變軸向加載工況下預(yù)緊螺母中的滾珠與絲杠、螺母接觸橢圓面的時變長半軸表示為

(26)

所以，滾珠與滾道間接觸表面由于磨損所造成的2個表面在垂直接觸面方向的位移變化量Δδ′(t)表示為

(27)

2個螺母之間的軸向間距發(fā)生改變后的相對軸向總位移Δδ(t)為

(28)

在時變軸向力加載模型和束芳婷等[24]建立的滾珠滾道磨損模型的基礎(chǔ)上，建立時變預(yù)緊力下降模型

(29)

定義滾珠與絲杠和螺母滾道相互接觸的變形系數(shù)為ks、kn，可以分別表示為

(30)

在時變軸向力加載模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)預(yù)緊力和摩擦力矩的經(jīng)驗公式，建立時變摩擦力矩，可表示為

(31)

3 軸向力加載方案

選擇時變軸向力中的序進應(yīng)力制定了雙螺母滾珠絲杠副序進軸向力加載方案，序進軸向力加載方案如圖2所示，試驗應(yīng)力從某一初始應(yīng)力F1開始一直保持線性增加，直到試驗結(jié)束剛好達到最大值F2，即

圖2 序加軸向力加載方案

F(t)=F1+kt

(32)

由于序進軸向力的加載準確度較低，本文提出用步加代替序加.序加與步加試驗的統(tǒng)計模型是利用恒加試驗的模型建立的，序進應(yīng)力相當(dāng)于步進應(yīng)力的極限形式，即步數(shù)趨近于無窮大，則每步應(yīng)力水平間隔與每步持續(xù)時間都趨近于0.序進應(yīng)力隨時間線性增加，初始應(yīng)力與最終應(yīng)力為F1和F2，試驗總時間為ts，應(yīng)力上升斜率可以表達為

k=(F2-F1)/ts

(33)

設(shè)試驗一共使用n步載荷，每步加載時間相同，即

T=ts/n

(34)

設(shè)每步的應(yīng)力

Fi=F1+(i-0.5)kT，i=1，2，3,…,n

(35)

將式(33)(34)代入式(35)，故

Fi=F1+(i-0.5)(F2-F1)/n，i=1，2，3，…，n

(36)

由式(36)可知，對于代替序進應(yīng)力的步進應(yīng)力，除了每步的時間間隔相同外，每步的應(yīng)力間隔也是相同的，為ΔF=(F2-F1)/n，故步進應(yīng)力為階梯應(yīng)力，如圖3所示.

圖3 階梯應(yīng)力

施加軸向力應(yīng)高于基準載荷,避免施加載荷過小導(dǎo)致性能衰退過慢，看不出效果. 根據(jù)相關(guān)文獻[25]，定義滾珠絲杠副10%的額定動載荷為基準載荷；因為軸向加載超過30%額定動載荷，雙螺母中工作螺母受力過大會掙開，只有預(yù)緊螺母工作，所以本文選取應(yīng)力上限為30%的額定動載荷，應(yīng)力設(shè)置上下限在理論上滿足加速應(yīng)力設(shè)置的要求即10%和30%，則失效機理不發(fā)生變化.

4 試驗過程

4.1 滾珠絲杠性能退化試驗測試

試驗采用的雙螺母預(yù)緊式滾珠絲杠副結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，預(yù)緊力預(yù)設(shè)值為3.7 kN.

本文中討論的時變軸向加載方案為線性增加，將其稱為斜坡試驗. 設(shè)置3組試驗，實施方案如表2所示，在100 h內(nèi)、轉(zhuǎn)速為400 r/min的條件下，軸向力F1i為4 kN恒定不變，軸向力F2i由4 kN直線上升至6 kN，軸向力F3i由4 kN直線上升至8 kN.

表2 加速退化試驗方案

序加試驗一共使用100步載荷，每步加載時間相同，代入式(36)，則3組斜坡試驗的時變軸向力表達式為

(37)

試驗裝置結(jié)構(gòu)圖如圖4所示，實物圖如圖5所示，該試驗測試平臺具有實現(xiàn)模擬時變軸向負載、徑向負載、進給速率、進給行程等功能. 試驗臺加載系統(tǒng)采用液壓靜壓加載，自制液壓站作為動力源，液壓油源經(jīng)過高精度比例伺服閥通過液壓油管道連接至軸向液壓加載油缸上，軸向液壓加載油缸加載U軸驅(qū)動絲杠副與X軸滾珠絲杠副，高精度比例伺服閥內(nèi)置放大器及閥芯位移傳感器，高精度比例伺服閥、力傳感器與PLC控制柜連接，PLC控制柜與計算機連接. 加載過程中，在計算機屏幕輸入加載目標(biāo)，比如三角函數(shù)、階梯函數(shù)、三角波函數(shù)曲線，高精度力傳感器實時采集加載力的實際值并反饋到PLC控制柜，與輸入的指令值比較后，通過高精度比例伺服閥內(nèi)置的放大器運算后，控制高精度比例伺服的開口，來控制作用軸向液壓油缸上的油壓，油壓來控制軸向液壓加載油缸向外運動與運動拖板產(chǎn)生相互作用力，從而對U軸驅(qū)動絲杠副施加軸向力，實現(xiàn)較高的加載精度.

1—床身； 2—線性導(dǎo)軌； 3—X軸交流伺服電機； 4—U軸交流伺服電機； 5—施力拖板； 6—軸向液壓加載油缸； 7—力傳感器； 8—運動拖板； 9—左橫梁支撐臂； 10—橫梁； 11—橫梁蓋板； 12—X軸滾珠絲杠副； 13—X軸軸承； 14—X軸軸承套； 15—U軸軸承套； 16—軸承支架； 17—U軸軸承； 18—U軸驅(qū)動絲杠副； 19—右橫梁支撐臂； 20—螺栓； 21—線性滑塊； 22—控制柜； 23—高精度比例伺服閥； 24—壓力表； 25—液壓油源； 26—PLC控制箱; 27—計算機.

圖5 實驗裝置實物圖

時變軸向力工況下滾珠絲杠副試驗裝置加載系統(tǒng)采用液壓靜壓加載，自制液壓站作為動力源，通過高精度比例伺服閥控制軸向液壓加載油缸進行加載，通過控制閥芯開口大小控制油壓從而控制軸向載荷，實現(xiàn)工作可靠控制精度高.

試驗裝置加載過程中，高精度比例伺服閥內(nèi)置放大器及閥芯位移傳感器，通過力傳感器將軸向液壓加載油缸的力反饋給PLC控制箱，PLC控制箱控制與電腦輸入的模擬航天工況的函數(shù)信號進行比對從而控制比例伺服的開口，實現(xiàn)試驗臺工況模擬的高度一致.

試驗步驟如下.

1) 測試滾珠絲杠副初始定位誤差，測量行程為300 mm.

2) 初始工況預(yù)緊力設(shè)置為3.7 kN，溫度為25 ℃，根據(jù)表2加速退化方案分別設(shè)置軸向負載、轉(zhuǎn)速、加載時長.

3) 開始進行試驗.

4) 每10 h用激光干涉儀采集并記錄滾珠絲杠副的定位誤差.

5) 驗證試驗周期為100 h，記錄滾珠絲杠副的定位誤差.

6) 將經(jīng)磨損之后的定位誤差與原始定位誤差進行處理與分析，獲得磨損前后的定位精度差值，即測試行程內(nèi)總的磨損深度，將其等效為每個滾珠與滾道之間的磨損深度值.

4.2 試驗結(jié)果與分析

預(yù)緊力退化量決定滾珠絲杠副軸向剛度和定位精度是否滿足其使用要求. 由于試驗中斜坡加載力差距較小，因此結(jié)合做差法來研究其具體趨勢.

用Matlab對雙螺母滾珠絲杠進行時變軸向力加載性能退化數(shù)值仿真，根據(jù)磨損深度計算模型仿真得到測試行程內(nèi)總磨損深度曲線如圖6所示，可以看出滾道磨損量隨時間增加而增加，在相同時間內(nèi)，時變軸向力坡度大的滾珠絲杠副磨損量大于坡度小的磨損量. 坡度為F2i和坡度為F3i的磨損量減去恒定軸向力F1i的磨損量，得到的磨損量差曲線如圖7所示，可知隨著軸向力線性增加，磨損量相對急劇增加.

圖6 不同坡度軸向力滾道磨損量曲線

圖7 不同坡度與恒定軸向力滾道磨損量差值曲線

將時變軸向力影響下的磨損深度理論計算與試驗測試進行對比驗證,如圖8所示，對不同坡度軸向力加載工況下的磨損深度進行初步的對比,通過時變軸向力加載工況下的磨損深度試驗與理論對比驗證建立的時變模型有效. 驗證了建立的時變軸向力工況下滾珠絲杠副的磨損模型正確性,把握滾珠絲杠副的磨損規(guī)律，為研究滾珠絲杠副的磨損規(guī)律以及滾珠絲杠副的進給系統(tǒng)進給精度的保持性分析打下了理論基礎(chǔ). 將此驗證結(jié)果應(yīng)用至預(yù)緊力(即式(29))及摩擦力矩(即式(31))的預(yù)測中.

圖8 不同坡度軸向力滾道磨損量理論與試驗對比差值曲線

根據(jù)時變預(yù)緊力衰退公式(29)，預(yù)緊力會隨著滾道磨損量增加而逐漸衰減，根據(jù)時變預(yù)緊力衰退模型仿真可得到預(yù)緊力衰退曲線，如圖9所示，可以看出預(yù)緊力隨時間增加而衰退，在相同時間內(nèi)，時變軸向力坡度大的預(yù)緊力衰退大于坡度小的預(yù)緊力衰退.坡度為F2i和坡度為F3i的預(yù)緊力衰退量減去恒定軸向力F1i的預(yù)緊力衰退量，得到的預(yù)緊力差值曲線如圖10所示，可知隨著軸向力線性增加，預(yù)緊力衰退量相對急劇增加.

圖9 預(yù)緊力退化曲線

圖10 預(yù)緊力退化差值曲線

根據(jù)時變摩擦力矩模型(31)可得到摩擦力矩衰退曲線，如圖11所示，可以看出摩擦力矩隨時間增加而衰退，在相同時間內(nèi)，時變軸向力坡度大的摩擦力矩衰退大于坡度小的摩擦力矩衰退.坡度為F2i和坡度為F3i的摩擦力矩衰退量減去恒定軸向力F1i的摩擦力矩衰退量，得到的摩擦力矩差值曲線如圖12所示，可知隨著軸向力線性增加，摩擦力矩衰退量相對急劇增加.

圖11 摩擦力矩退化曲線

圖12 摩擦力矩退化差值曲線

由仿真數(shù)據(jù)可知：在F1i的作用下，摩擦力矩和預(yù)緊力在64 h衰退30%；在F2i的作用下，摩擦力矩和預(yù)緊力在62 h衰退30%，滾珠絲杠副性能加速退化3.1%；F3i的作用下，摩擦力矩和預(yù)緊力在61 h衰退30%，滾珠絲杠副性能加速退化4.7%.

5 結(jié)語

在滾珠絲杠副實際服役過程中，包括加速啟動、穩(wěn)定進給、減速停止以及不同加工切削力要求等進給工況中負載具有時變特性，導(dǎo)致性能衰退規(guī)律不斷變化.本文研究時變軸向力加載工況下滾珠絲杠副進給系統(tǒng)性能時變衰退特性，主要研究成果如下：

1) 建立了時變軸向力加載的滾珠絲杠時變受力模型、時變磨損模型、時變預(yù)緊力衰退模型，通過試驗驗證的方式，驗證了磨損深度理論模型的正確性，有利于預(yù)測預(yù)緊力與摩擦力矩的衰退.

2) 在相同時間內(nèi)，時變軸向力坡度大的預(yù)緊力衰退量和摩擦力矩衰退量大于坡度小的預(yù)緊力衰退量和摩擦力矩衰退.隨著軸向力線性增加，預(yù)緊力的衰退量和摩擦力矩衰退量相對急劇增加.

3) 根據(jù)在F1i、F2i、F3i的作用下，摩擦力矩、預(yù)緊力的衰退量，可得出滾珠絲杠在實際運行中，軸向力時變產(chǎn)生值越大，滾珠絲杠性能衰退越快.

需要指出的是本文中只試驗驗證了滾珠絲杠時變磨損深度模型，后續(xù)還需要購買器材試驗求證時變預(yù)緊力衰退模型和時變摩擦力矩衰退模型，并且會繼續(xù)提高改進試驗臺時變軸向力加載精度.