朱尊紅, 戈新生

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

自1958年“探索者1號”發(fā)射成功以來，研究人員就不斷探討航天器的功能，他們成功地將復(fù)雜的航天器引向更遙遠(yuǎn)的星空[1]。然而，未來大型空間結(jié)構(gòu)的物理復(fù)雜性是需要迫切考慮的，且建模問題就成了重中之重[2]。以前航天器的功能比較簡單，撓性附件所承擔(dān)的任務(wù)較少，但隨著航天領(lǐng)域的發(fā)展，現(xiàn)有航天器的功能性大大加強(qiáng)，規(guī)模越來越大，撓性附件安裝的數(shù)量越來越多，就會使撓性附件在整個航天器之中所占的比重越來越大，與此同時(shí)，撓性附件的撓性問題就成為一個值得關(guān)注的問題[3]。由于外部擾動引起撓性附件振動，會影響航天器姿態(tài)穩(wěn)定和姿態(tài)機(jī)動(剛?cè)狁詈咸匦?，這種新特點(diǎn)對傳統(tǒng)的航天器姿態(tài)運(yùn)動柔性附件振動耦合動力學(xué)提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

撓性航天器中心體的運(yùn)動，會引起大型撓性結(jié)構(gòu)的變形，它們之間會相互耦合[4]，即航天器撓性附件的振動可能造成航天器運(yùn)動失穩(wěn)?，F(xiàn)有航天器包括剛性中心體和撓性附件，對于此類航天器的振動分析，我們一般采用兩種模態(tài)：約束模態(tài)和非約束模態(tài)。約束模態(tài)：剛性中心體被固定，而附件振動，也可稱為懸臂模態(tài)或附件模態(tài)。非約束模態(tài)：不是簡單的附件振動，而是整個航天器都在振動，并且航天器各個部分產(chǎn)生相互作用，也可稱為載體模態(tài)。在非約束模態(tài)中，把航天器的運(yùn)動分為兩部分：① 航天器的整體剛體運(yùn)動，包括平動和轉(zhuǎn)動，此時(shí)把整個航天器看做剛體；② 航天器剛體和撓性附件的小尺度振動，此時(shí)其振動是同步的，且相互耦合。Hughes等[5-6]針對多體撓性航天器，創(chuàng)建了一般動力學(xué)方程，并討論了模態(tài)恒等式，即慣性完備性準(zhǔn)則，描述了耦合系數(shù)與頻率之間的關(guān)系。徐小勝等[7]闡述了包括柔性核、柔性耦合系數(shù)(包括航天器的平動和轉(zhuǎn)動)、兩種模態(tài)的概念，并利用模態(tài)恒等式進(jìn)行慣性完備性降階。以上研究只是闡述兩種模態(tài)的模型，并未對特征值問題進(jìn)行求解。呂旺等[8]探討了一種撓性航天器模態(tài)計(jì)算方法，通過先求導(dǎo)約束模態(tài)下的系統(tǒng)方程，然后再求解航天器非約束模態(tài)。Barbieri[9]針對柔性回轉(zhuǎn)桿，導(dǎo)出兩種模態(tài)下的運(yùn)動方程及邊界條件，并求出相關(guān)的頻率方程和振型方程，比較了約束模態(tài)和非約束模態(tài)的差異。袁秋帆等[10]采用一種全局模態(tài)，推導(dǎo)了全局模態(tài)下的動力學(xué)方程，并推導(dǎo)了非約束模態(tài)的特征值問題求解方法。

以上在求解特征值問題時(shí)，把撓性附件當(dāng)做二維梁處理，并未按照實(shí)際情況當(dāng)做帆板處理。李東旭[11]將撓性航天器等效為“航天器剛性主體+懸臂板模型”，進(jìn)行了航天器-板式撓性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析。Hablani[12-13]針對大撓性結(jié)構(gòu)板在約束和非約束模態(tài)下建立模型，并推導(dǎo)了動力學(xué)方程。程亮亮等[14]利用ANSYS軟件和試驗(yàn)的方法對懸臂板進(jìn)行模態(tài)分析，對相關(guān)特征值問題進(jìn)行求解。杜圓等[15]提出一種基于改進(jìn)傅里葉級數(shù)的方法，對任意邊界條件下的矩形板進(jìn)行振動分析。Leissat[16]詳細(xì)地描述了各種特征方程解的存在性，給出全面、準(zhǔn)確的矩形板自由振動分析結(jié)果。Bhat等[17-19]利用瑞利-里茲方法中的特征多項(xiàng)式或多項(xiàng)式計(jì)算矩形板及橢圓板的振動固有頻率。曹志遠(yuǎn)[20]提出一種適合于求解各種邊界條件矩形板的梁函數(shù)組合法，采用雙向梁函數(shù)組合級數(shù)逼近方法對一般性邊界條件的矩形板進(jìn)行固有振動分析。

本文討論中心剛體-單翼大撓性結(jié)構(gòu)的航天器模型，這里的撓性結(jié)構(gòu)為板式模型，即中心剛體帶單側(cè)矩形薄板簡化模型。著重討論板式撓性航天器在非約束模態(tài)下的動力學(xué)建模及特性，首先利用哈密頓原理推導(dǎo)單側(cè)帆板航天器的運(yùn)動方程，方程表述了中心剛體和撓性附件之間的耦合，然后分別在兩種模態(tài)下進(jìn)行了模態(tài)離散化，分別研究相關(guān)的特征值問題，比較兩種模態(tài)下頻率和振型，求解單翼板式撓性航天器的特征值問題，比較了約束模態(tài)與非約束模態(tài)之間的差異。

1 動力學(xué)建模及方程的建立

將撓性航天器等效為“航天器剛性主體+單翼撓性帆板模型”，不考慮板間連接鉸鏈的影響，且航天器主體考慮為不變形的剛體，模型如圖1所示。

圖1 單翼帆板航天器

為更好地描述航天器中心剛體與撓性附件的變形及剛?cè)狁詈献饔茫瑥腦-Z和Y-Z兩個視圖描述變形情況。撓性航天器沿Z軸的平動z0、繞Y軸的轉(zhuǎn)動θy和繞X軸的轉(zhuǎn)動θx，如圖2、圖3所示。圖2中中心剛體上方的小長方形是由于撓性航天器繞X軸的轉(zhuǎn)動θx才能看到，而圖3中中心剛體下方的的小長方形是由于撓性航天器繞Y軸的轉(zhuǎn)動θy才能看到。

圖2 撓性航天器X-Z視圖

圖3 撓性航天器Y-Z視圖

設(shè)撓性航天器由主剛體R和撓性帆板ε組成，剛體平臺是邊長為a的立方體。其中OXYZ為慣性坐標(biāo)系，O點(diǎn)位于變形前系統(tǒng)的質(zhì)心位置，X軸水平向右，Y軸垂直向里，Z軸垂直向上，Og為變形后系統(tǒng)質(zhì)心，Or為中心剛體質(zhì)心。定義坐標(biāo)系O0X0Y0Z0為浮動坐標(biāo)系，O0點(diǎn)位于中心剛體與撓性帆板連接處的中點(diǎn)，X0軸沿板伸展方向，Y0軸垂直向里。由于中心剛體和撓性板在沿X軸和Y軸方向上以及繞Z轉(zhuǎn)動方向幾乎不發(fā)生耦合，所以只考慮沿Z軸的運(yùn)動位移z0和繞X軸的轉(zhuǎn)動角θx以及繞Y軸的轉(zhuǎn)動角θy。

假定航天器姿態(tài)角θx,θy很小，得到

sinθx=θx,sinθy=θy,cosθx=1,cosθy=1

(1)

則浮動坐標(biāo)系O0X0Y0Z0轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系OXYZ的矩陣C0p為

(2)

P點(diǎn)位移向量Rp

(3)

式中，u為P點(diǎn)沿Z軸的位移，帆板變形后P點(diǎn)的位置向量R0為

(4)

其中初始位置向量

(5)

變形后中心剛體相對于慣性坐標(biāo)系的位置向量為

(6)

則點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系中的向量R為

R=r+C0pR0=

(7)

剛體平臺是邊長為a的立方體，繞X軸轉(zhuǎn)動慣量為Jrx，繞Y軸轉(zhuǎn)動慣量為Jry,航天器系統(tǒng)動能為

(8)

式中，μ為太陽能帆板的面密度。

考慮太陽能帆板，則航天器系統(tǒng)勢能為

(9)

通過哈密頓原理

(10)

得到航天器系統(tǒng)動力學(xué)方程

(11)

(12)

(13)

(14)

2 模態(tài)離散化

此過程中，采用兩種模態(tài)即約束模態(tài)和非約束模態(tài)進(jìn)行模態(tài)離散化。

2.1 約束模態(tài)

約束模態(tài)下相當(dāng)于把撓性帆板當(dāng)做懸臂板處理，此時(shí)z0=0,θx=0,θy=0,式(14)為

(15)

對于此模態(tài)的特征值問題求解，本文運(yùn)用康特洛維奇法。

設(shè)u(x,y,t)=U(x,y)sin(ωt+φ)，代入式(15)，得

?4U=α4U

(16)

其中

(17)

邊界條件

x=0:U=0,Ux=0

(18)

x=l:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(19)

y=0:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(20)

y=b:Uxx+νUyy=0,Uxxx+(2-ν)Uxyy=0

(21)

得到相應(yīng)的振型變分方程

(22)

設(shè)振型函數(shù)為在X方向上的未知函數(shù)X(x)乘以在Y方向上滿足邊界條件的已知函數(shù)Yn(y)

U(x,y)=X(x)Yn(y)

(23)

Yn(y)一般可取自由-自由單向板第n階振型函數(shù)(梁函數(shù))，即

Y1=1

(24)

(25)

Y3=(coshαny+cosαny)-an(sinhαny+

sinαny),n>2

(26)

表1 自由-自由邊界單向板頻率與振型系數(shù)

而未知函數(shù)X(x)將通過變分方程滿足，將式(23)代入式(22)，然后通過變分運(yùn)算，得到常微分方程

(27)

及邊界條件

(28)

(29)

其中

(30)

常微分方程式(27)滿足邊界條件式(29)的一般解為

(31)

其中

(32)

將式(31)代入邊界條件式(28)，可得關(guān)于系數(shù)A，B的二階線代方程組。從而可得頻率方程

(33)

上述兩式中

(34)

將式(32)及式(17)代入式(33)，對應(yīng)每個n值，即可求得一系列頻率值ωmn(m=1,2,3，…)。

2.2 非約束模態(tài)

非約束模態(tài)下，此時(shí)涉及中心剛體運(yùn)動，則航天器上任意一點(diǎn)P的振動位移為

w(x,y,t)=z0e(t)+yθxe(t)-xθye(t)+

(35)

式中：b為撓性附件的寬度；x∈[-a+r0,r0+l]，引入模態(tài)坐標(biāo)，將z0e(t),θxe(t),θye(t),u(x,y,t)表示為

(36)

(37)

(38)

(39)

則航天器上任意一點(diǎn)P的振動位移w(x,y,t)為

(40)

非約束模態(tài)表示航天器在無外力作用下的自由振動，則非約束模態(tài)振型為

wm(x,y)=z0m+yθxm-xθym+

(41)

則采用非約束模態(tài)時(shí)，整個航天器的運(yùn)動為

(42)

式中，z0r,θxr,θyr為將整個撓性航天器看為剛體時(shí)，航天器的平動和繞X軸、Y軸的轉(zhuǎn)動位移。當(dāng)式(15)中約束模態(tài)下的位移換作非約束模態(tài)下的振動位移時(shí)，得到非約束模態(tài)下特征值問題

(43)

3 非約束模態(tài)頻率計(jì)算

本文選用瑞利里茲法，用特征正交多項(xiàng)式簇作為基振型，設(shè)模態(tài)基振型X方向?yàn)橐欢斯潭ㄒ欢俗杂桑琘方向?yàn)閮啥俗杂?，撓性板長度為1。

首先進(jìn)行X方向的正交多項(xiàng)式函數(shù)，設(shè)多項(xiàng)式簇第一項(xiàng)基函數(shù)表示為

X1(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

(44)

邊界條件為

(45)

將式(45)代入式(44)，得

X1(x)=a4(6x2-4x3+x4)

(46)

式中，a4可取任意值，對第一階多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行模態(tài)歸一化，設(shè)

(47)

則后續(xù)正交基可式(48)得出

(48)

每一階正交基模態(tài)歸一化，即

(49)

當(dāng)撓性板長度為l時(shí)，正交基為

(50)

然后進(jìn)行Y方向的正交多項(xiàng)式函數(shù)，設(shè)多項(xiàng)式簇第一項(xiàng)基函數(shù)表示為Y1=1，后續(xù)正交基由式(51)求出

(51)

每一階正交基模態(tài)歸一化，即

(52)

當(dāng)撓性板寬度為b時(shí)，正交基為

(53)

選取第m階非約束模態(tài)

w(x,y,t)=[z0m+yθxm-xθym+um(x,y)]ηm(t)

(54)

式中，ηm(t)=sin(ωmt)，根據(jù)式(8)和式(9)，得到航天器第m階系統(tǒng)動能Km和航天器第m階系統(tǒng)勢能Pm

2z0 m[um+yθxm-(r0+x)θym]-2(r0+

(55)

(56)

(57)

(58)

4 仿真分析

本文采用中心剛體加撓性帆板結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，中心剛體為邊長為2 m的立方體，中心剛體密度為300 kg/m3。撓性板長度l分別為4 m,8 m,12 m，寬度b為2 m，厚度h為0.02 m，撓性板材料密度為2.8×103kg/m3，彈性模量E為6.89×1010Pa，泊松比ν為0.33。

4.1 頻率求解

在此過程中取X、Y方向正交基個數(shù)分別為4，因?yàn)橹话ㄒ粋?cè)帆板，所以并不會有正對稱和反對稱變形，求得前5階非約束模態(tài)頻率，約束模態(tài)亦考慮前5階模態(tài)。注意非約束模態(tài)下剛體模態(tài)頻率均為0，所以不考慮。然后通過有限元軟件計(jì)算非約束模態(tài)頻率，與解析法計(jì)算求得的非約束模態(tài)比較，并與約束模態(tài)作比較分析，其中利用有限元軟件計(jì)算過程中節(jié)點(diǎn)選擇2 604，單元為433。C為約束模態(tài)的數(shù)值解，CFEM為約束模態(tài)的有限元軟件解,UC為非約束模態(tài)的數(shù)值解，UCFEM為非約束模態(tài)的有限元軟件解。頻率對比如表2、表3、表4所示。

表2 頻率對比(l=4 m)

表3 頻率對比(l=8 m)

本文模型為中心剛體加大撓性單翼帆板，該模型的有限元解作為參考標(biāo)準(zhǔn)解，約束模態(tài)與非約束模態(tài)數(shù)值解可通過與UCFEM有限元解進(jìn)行對比。由表2～表4可知，瑞利里茲法求得的非約束模態(tài)頻率與有限元軟件求得的非約束頻率接近，而約束模態(tài)頻率一般小于非約束模態(tài)頻率。隨著太陽能帆板長度的增加，即剛?cè)釕T性比、質(zhì)量比的減小，撓性附件在整個航天器所占的比例越來越大，非約束模態(tài)頻率相比于非約束有限元之間差別較小，而約束模態(tài)頻率相對于非約束有限元頻率會出現(xiàn)偏差，因此，對于小中心剛體與大撓性結(jié)構(gòu)的撓性航天器構(gòu)型非約束模態(tài)動力學(xué)模型要更加精確。

表4 頻率對比(l=12 m)

與雙翼帆板不同的是，由于只有一側(cè)帆板，本文中并不存在正對稱和反對稱變形，所以非約束模態(tài)頻率一般均比約束模態(tài)頻率高，這說明在任何模態(tài)下帆板振動與剛性中心體運(yùn)動都產(chǎn)生耦合，并不會出現(xiàn)雙翼帆板中一階扭轉(zhuǎn)反對稱下約束模態(tài)與非約束模態(tài)頻率幾乎相同的情況。

4.2 振型求解

圖4 一階外彎曲(UCFEM)

圖5 二階外彎曲(UCFEM)

圖6 一階扭轉(zhuǎn)(UCFEM)

圖7 三階外彎曲(UCFEM)

圖8 二階扭轉(zhuǎn)(UCFEM)

圖9 一階外彎曲(UC)

圖10 二階外彎曲(UC)

圖11 一階扭轉(zhuǎn)(UC)

圖12 三階外彎曲(UC)

圖13 二階扭轉(zhuǎn)(UC)

圖中振型為撓性附件與剛性中心體運(yùn)動的耦合，其中一階外彎曲、二階外彎曲體現(xiàn)了在Z方向上平移運(yùn)動的耦合和繞Y軸的姿態(tài)運(yùn)動耦合，一階扭轉(zhuǎn)則體現(xiàn)了繞X軸的姿態(tài)運(yùn)動耦合，值得注意的是，在以往雙翼帆板振型求解中，耦合只會發(fā)生在單一情況中，即每階振型所體現(xiàn)的耦合作用只能是Z方向上平移運(yùn)動的耦合或者繞Y軸的姿態(tài)運(yùn)動耦合，又或者繞X軸的姿態(tài)運(yùn)動耦合。但是單翼帆板卻不同，單翼帆板會同時(shí)出現(xiàn)沿Z方向上平移運(yùn)動的耦合和繞Y軸的姿態(tài)運(yùn)動耦合，這是由于單翼帆板并不存在正對稱或者反對稱，所以某些平移運(yùn)動或者姿態(tài)運(yùn)動無法抵消。

通過比較圖中表示的利用有限元法和瑞利里茲法求得的非約束模態(tài)振型可知，瑞利里茲法求得的非約束模態(tài)振型與有限元軟件求得的非約束振型接近，當(dāng)中心剛體在整體中所占的比重比較大時(shí)，約束模態(tài)振型能夠準(zhǔn)確描述實(shí)際情況，但是隨著撓性附件在整體中占的比重越來越大時(shí)，非約束模態(tài)與約束模態(tài)之間差異就會比較明顯，與約束模態(tài)相比，非約束模態(tài)更貼近實(shí)際情況。

5 結(jié) 論

本文針對中心剛體-單翼大撓性結(jié)構(gòu)的航天器，提出了航天器太陽能帆板的板式簡化模型，建立了一種非約束模態(tài)動力學(xué)模型，探討了板式撓性航天器非約束模態(tài)的動力學(xué)建模及動態(tài)特性，分別在約束模態(tài)和非約束模態(tài)下研究相關(guān)的特征值問題，對兩種模態(tài)的頻率和模態(tài)振型進(jìn)行比較，求解了單翼板式撓性航天器的特征值問題，比較了約束模態(tài)與非約束模態(tài)之間的差異。結(jié)果說明在單翼帆板情況下，當(dāng)中心剛體在整體中所占的比重比較大時(shí)，約束模態(tài)能夠準(zhǔn)確描述實(shí)際情況，但是隨著撓性附件在整體中占的比重越來越大時(shí)，非約束模態(tài)與約束模態(tài)之間差異比較明顯，與約束模態(tài)相比，非約束模態(tài)更貼近實(shí)際情況。