王 婷，萬志敏，2

(1.南通職業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 南通 226007；2.華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430074)

結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的逆問題分為兩類，即第一類逆問題和第二類逆問題，分別對應(yīng)著參數(shù)識別[1-2]和載荷識別[3-4]。參數(shù)識別是采用測量響應(yīng)和結(jié)構(gòu)外載荷來反求結(jié)構(gòu)未知參數(shù)，而載荷識別是采用測量響應(yīng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來反求結(jié)構(gòu)外載荷。然而在工程實(shí)際中，往往未知的外載荷和不確定性的結(jié)構(gòu)參數(shù)同時存在，導(dǎo)致傳統(tǒng)的兩類逆問題很難適用。近十多年來，采用不確定性的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷及參數(shù)聯(lián)合識別逐漸受到越來越多的學(xué)者關(guān)注。

從已有文獻(xiàn)可知，主要包括四類方法，分別為EKF-UI[5-6](extended Kalman filter-unknown input)、DKF(dual Kalman filter)[7-10]、A-DEKF(augmented discrete extended Kalman filter)[11]以及EGDF類法[12-13]。EKF-UI法首先是由Yang等提出的，核心思想是將結(jié)構(gòu)狀態(tài)(速度和位移)及未知參數(shù)看成增廣狀態(tài)向量，并基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)法和最小二乘法來連續(xù)識別結(jié)構(gòu)的未知載荷和參數(shù)。DKF法首先是由Azam等提出的，核心思想是采用兩步法來連續(xù)識別狀態(tài)/載荷/參數(shù)：第一步將未知載荷和狀態(tài)看成增廣狀態(tài)向量，構(gòu)造出增廣狀態(tài)傳遞方程，結(jié)合測量觀測方程，采用卡爾曼濾波法(Kalman filter，KF)識別出狀態(tài)/載荷；第二步將未知參數(shù)和狀態(tài)看成新的增廣狀態(tài)向量，重新構(gòu)造出增廣狀態(tài)傳遞方程，并基于EKF法(或者Unscented KF法)進(jìn)行增廣狀態(tài)識別，從而得到未知參數(shù)。A-DEKF法是Naets等提出的，其主要思想是將結(jié)構(gòu)狀態(tài)、未知載荷及參數(shù)三者一并組成一個新的增廣狀態(tài)，基于該增廣狀態(tài)構(gòu)造出狀態(tài)的傳遞及觀測方程，再應(yīng)用EKF法來識別增廣狀態(tài)。從算法結(jié)構(gòu)上來看，該方法流程簡單，但識別的成功性大大依賴于一個數(shù)量級合適的未知載荷方差估計值。EGDF(extended Gillijns-De Moor filter)法是作者在GDF(Gillijns-De Moor filter)法的基礎(chǔ)上提出的。GDF法是由Gillijns等針對線性系統(tǒng)，并基于KF和加權(quán)最小二乘算法提出的載荷/狀態(tài)連續(xù)最小方差無偏估計濾波法。EGDF法采用EKF的一階泰勒線性近似思想解決了弱非線性系統(tǒng)的載荷/狀態(tài)識別問題，該狀態(tài)可以是以結(jié)構(gòu)狀態(tài)和未知參數(shù)組成的增廣狀態(tài)。然而，EGDF法中僅采用部分加速度響應(yīng)作為測量信號參與濾波識別，極易導(dǎo)致識別的載荷和位移產(chǎn)生所謂的低頻漂移現(xiàn)象，這是因?yàn)榧铀俣刃盘枌τ谳斎胼d荷的轉(zhuǎn)靜態(tài)分量不夠靈敏，易導(dǎo)致系統(tǒng)的低頻動態(tài)信號丟失。為了緩解低頻漂移問題，Wan等和萬志敏等采用位移或者應(yīng)變與加速度測量信號一并作為測量響應(yīng)來進(jìn)行識別。

因EKF法僅有1階精度，故EGDF法中的算法也僅有1階精度。為了提高非線性系統(tǒng)的識別精度，考慮到無跡變換(unscented transformation)方法的精度至少為2階(對于高斯分布可達(dá)到3階精度)，本文基于UT算法對GDF進(jìn)行拓展，并基于應(yīng)變-加速度測量信號融合策略，形成GDF-UT法。另外，模態(tài)縮減法的應(yīng)用可以提高計算效率，更加適用于工程實(shí)際問題。數(shù)值算例采用桁架為對象驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 模態(tài)GDF法的非線性形式

對于含黏性阻尼的n個自由度結(jié)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)，其運(yùn)動微分方程可以表達(dá)為

(1)

引入模態(tài)坐標(biāo)變換

p(t)=Φq(t)

(2)

式中，Φ、q(t)分別為模態(tài)振型矩陣和模態(tài)位移向量。將式(2)代入運(yùn)動微分方程式(1)可得

(3)

式中，Mn=ΦTMΦ=I，Cn=ΦTCΦ=Γ，Kn=ΦTKΦ=Λ，并且存在

(4)

(5)

式中，ωi、ζi分別為第i階系統(tǒng)無阻尼自然頻率和模態(tài)阻尼率。那么，式(3)可寫成

(6)

(7)

系統(tǒng)觀測方程可以表達(dá)成

Du(t)

(8)

考慮過程噪聲，系統(tǒng)的模態(tài)狀態(tài)傳遞方程式(7)以及觀測方程式(8)可以分別寫成如下的非線性時間離散形式

zk+1=fk(zk,uk)+wk，k=1,2，…，T

(9)

yk=hk(zk)+Dkuk+vk,k=1,2,…,T

(10)

式中：下標(biāo)k為第k個采樣時刻；y為加速度測量響應(yīng)，wk為系統(tǒng)噪聲，其均值和方差分別假定為0和Gk；vk為觀測噪聲，其均值和方差分別假定為0和Rk。

因?yàn)槭?9)和式(10)為非線性方程，傳統(tǒng)GDF法無法適用，本文下面將推導(dǎo)GDF法的非線性形式，其實(shí)質(zhì)為最小方差無偏估計，共包含三步識別：時間更新步、載荷識別步、測量更新步。

1.1 時間更新步

(11)

(12)

1.2 載荷識別步

(13)

其中

ek=h(zk)-E[h(zk|k-1)]+vk

(14)

(15)

E[h(zk|k-1)])(h(zk)-E[h(zk|k-1)])T]+

Rk≠cI

(16)

可知，式(13)不滿足方差一致性，即ek不是一致的方差值，根據(jù)Gauss-Markov理論[14]，式(15)不可能達(dá)成最小方差無偏估計。

(17)

那么存在

(18)

(19)

由式(19)可得，式(15)優(yōu)化為

(20)

由式(13)和式(19)可得載荷的無偏估計誤差為

(21)

(22)

1.3 測量更新步

基于上述的狀態(tài)估計值，定義下式

(23)

式中：Lk為假定的增益，需要后解來滿足狀態(tài)的最小方差無偏估計。狀態(tài)估計誤差為

(24)

LkDk=0

(25)

基于式(25)存在，那么可得

(26)

其中

(27)

最小化Pz,k|k并考慮到式(25)，得出優(yōu)化的結(jié)果，參考Dertimanis等的研究

Lk=Kk(I-DkJk)

(28)

式中：Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1。將式(28)代入式(23)得到

(29)

另外，根據(jù)Dertimanis等的研究可推導(dǎo)出

(30)

(31)

綜上所述，式(14)、式(16)、式(19)、式(20)、式(22)為載荷估計步，式(27)～式(31)為測量更新步，式(11)～式(12)為時間更新步，結(jié)合上述三步即為模態(tài)GDF的非線性形式。

2 基于無跡變換的模態(tài)GDF方法

EGDF法是基于EKF的GDF法，其中不可避免保留了EKF法的缺陷，即：對非線性系統(tǒng)方程及觀測方程進(jìn)行泰勒展開并保留其1階近似項(xiàng)，存在線性化誤差。本文采用無跡變換來處理系統(tǒng)的非線性傳遞問題。

2.1 無跡變換

無跡卡爾曼濾波是Julier等[15-16]提出的一種非線性濾波方法。與EKF不同的是，它并不對非線性方程f和h在估計點(diǎn)處做線性化逼近，而是利用無跡變化在估計點(diǎn)附近確定采樣點(diǎn)，用這些樣本點(diǎn)表示的高斯密度近似狀態(tài)的概率密度函數(shù)。

UT實(shí)現(xiàn)方法為：在原狀態(tài)分布中按某一規(guī)則選取一些采樣點(diǎn)，使這些采樣點(diǎn)的均值和協(xié)方差等于原狀態(tài)分布的均值和協(xié)方差；將這些點(diǎn)代入非線性函數(shù)中，相應(yīng)得到非線性函數(shù)值點(diǎn)集，通過這些點(diǎn)集求取變換后的均值和協(xié)方差。這樣得到的非線性變換后的均值和協(xié)方差精度最少具有2階精度(Taylor序列展開)。對于高斯分布，可達(dá)到3階精度。其采樣點(diǎn)的選擇是基于先驗(yàn)均值和先驗(yàn)協(xié)方差矩陣的平方根的相關(guān)列實(shí)現(xiàn)的。

(1)計算2L+1個Sigma點(diǎn)，即采樣點(diǎn)，L指的是狀態(tài)的維數(shù)。

(32)

(2)計算這些采樣點(diǎn)相應(yīng)的權(quán)值為

(33)

式中，下標(biāo)i為第幾個采樣點(diǎn)，m為均值，c為協(xié)方差。待選參數(shù)β≥0是一個非負(fù)的權(quán)系數(shù)，它可以合并方程中高階項(xiàng)的動差，這樣就可以把高階項(xiàng)的影響包括在內(nèi)，一般對于高斯分布時，取β=2。

2.2 基于UT的模態(tài)GDF方法

基于UT，可以將GDF法拓展到非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，并能夠?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)/參數(shù)/載荷聯(lián)合識別。下面將依據(jù)第2章推導(dǎo)出基于UT的模態(tài)GDF算法。

初始化

(35)

2.2.1 載荷估計步

(36)

πi,k|k-1=h(zi,k|k-1)

(37)

(38)

ek=h(zk|k-1)-E[h(zk|k-1)]+vk

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

2.2.2 測量更新步

(44)

Kk=Pze,k|k-1(Pe,k)-1

(45)

Lk=Kk(I-DkJk)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

2.2.3 時間更新步

(51)

(52)

(53)

3 應(yīng)變及加速度響應(yīng)融合下的EGDF法

加速度傳感器因其體積小、易安裝，且對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性影響很小，因而廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中來測量結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。然而，僅采用加速度測量信號來識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的GDF算法具有本征的不穩(wěn)定性，識別出的位移及載荷值會產(chǎn)生明顯的虛假低頻漂移現(xiàn)象。究其原因是因?yàn)榧铀俣刃盘枌τ谳斎胼d荷的準(zhǔn)靜態(tài)分量不夠靈敏。研究表明在部分加速度響應(yīng)信號的基礎(chǔ)上融合個別位移響應(yīng)信號作為測量信號來聯(lián)合識別結(jié)構(gòu)的未知外載荷/狀態(tài)/參數(shù)能夠極大地緩解虛假低頻漂移問題，原因是加速度信號和位移信號中分別包含了高、低頻振動特性。然而，位移傳感器一般來說體積較大，安裝測量時容易造成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)特性改變，影響實(shí)際測量結(jié)果，而且價格也相對較貴?？紤]到應(yīng)變計體積小巧，易于安裝，價格便宜，測量響應(yīng)還包含位移信息，本文將同時應(yīng)用應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)來識別未知載荷和結(jié)構(gòu)參數(shù)。

應(yīng)變和位移的數(shù)學(xué)關(guān)系[17]可以表示成

ε=Hεp=HεΦq

(54)

式中，Hε為應(yīng)變-位移傳遞矩陣。將式(54)應(yīng)用于EGDF算法中，則觀測方程式(10)變換成

(55)

式中，vεk為應(yīng)變觀測噪聲向量，并假設(shè)均值為零，方差為Rεk。那么，式(55)中的載荷影響矩陣Dk變換為

(56)

式中，下標(biāo)s、udof分別為測量應(yīng)變以及未知載荷的數(shù)量?？紤]到應(yīng)變測量與加速度測量響應(yīng)的數(shù)據(jù)融合，式(47)變換為

(57)

綜上所述，本文提出的改進(jìn)算法仍然包括三步：載荷識別步、測量更新步、時間更新步，如2.2節(jié)所示。不同的是載荷影響矩陣Dk如式(56)所示。式(47)變換為式(57)。為了滿足工程中實(shí)時識別的要求，可以僅選取結(jié)構(gòu)的前r階主導(dǎo)模態(tài)參與計算即可達(dá)到工程精度，而其余的n-r階非主導(dǎo)模態(tài)可以不考慮。

4 數(shù)值算例

u1=40 sin(10πt)+30 sin(20πt)

(58)

而載荷u2采用隨機(jī)激勵形式。圖1中的黑方格代表加速度傳感器布置的位置。

(a)平面桁架結(jié)構(gòu)

本例中6個桿單元5、7、10、14、15和17的剛度值是不確定的需要與外載荷進(jìn)行聯(lián)合識別，假設(shè)其初始值分別為759.5 N/m、633.0 N/m、1 342.5 N/m、1 163.5 N/m、759.5 N/m、633.0 N/m。通常而言，模態(tài)縮減法在滿足工程精度的同時，能夠有效地減小整個計算量有利于整個計算量。本算例采用前7階主導(dǎo)模態(tài)來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的載荷/狀態(tài)/參數(shù)識別。選取7個加速度測量信號以及2個應(yīng)變來參與識別計算，分別為節(jié)點(diǎn)2、3、5、7、8、10的豎直加速度響應(yīng)信號、節(jié)點(diǎn)9的水平加速度響應(yīng)信號以及單元6、17的豎直應(yīng)變響應(yīng)。5%的環(huán)境噪聲加在了所有測量響應(yīng)中。兩個外載荷的識別結(jié)果分別如圖2、圖3所示。從圖可知，載荷識別值曲線與真實(shí)值接近。所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)值(位移及速度響應(yīng))也被識別出。節(jié)點(diǎn)6的豎直位移及速度的理論值與識別值對比圖，如圖4所示。從圖4可知，位移、速度識別值的結(jié)果很好，相對誤差較小，沒有出現(xiàn)僅采用加速度測量響應(yīng)來識別時導(dǎo)致載荷和位移出現(xiàn)的虛假低頻漂移現(xiàn)象。另外，GDF-UT(含應(yīng)變測量)、GDF-UT(不含應(yīng)變測量)如表1所示。EGDF(含應(yīng)變測量)3種方法的相對誤差值(relative error, RE)，其計算方法為

圖2 載荷u1的準(zhǔn)確值和估計值

(a)載荷u2的準(zhǔn)確值和估計值

(a)節(jié)點(diǎn)6豎直位移的理論值及識別值

(59)

式中：s為識別的物理量，如載荷、位移、參數(shù)等。從表1可知：① 不含應(yīng)變的GDF-UT法產(chǎn)生低頻漂移現(xiàn)象，載荷和位移識別值的誤差值很大；② 含應(yīng)變測量的GDF-UT法避免了低頻漂移現(xiàn)象，識別精度高；③ 相對于EGDF法，GDF-UT法的精度較高。

表1 3種方法的識別相對誤差

5 結(jié) 論

本文針對非線性識別系統(tǒng)，引入UT方法處理識別系統(tǒng)中的非線性傳遞問題，提出了傳統(tǒng)GDF法的改進(jìn)形式，即GDF-UT算法，能夠很好地進(jìn)行增廣狀態(tài)/未知載荷的聯(lián)合識別，從而得到結(jié)構(gòu)未知外載荷以及不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)。核心創(chuàng)新點(diǎn)是融入的UT變換對 于非線性系統(tǒng)具有至少2階識別精度的優(yōu)勢，為后續(xù)強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷/參數(shù)聯(lián)合識別打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。