章子揚(yáng)

(江蘇省昆山市花橋徐公橋小學(xué) 江蘇 昆山 215300)

化歸思想，實(shí)質(zhì)是把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題亦或是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)解決的基本數(shù)學(xué)思想?？梢哉f(shuō)，我們數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程，化歸思想既是一種技巧更是一種能力，它貫穿了我們學(xué)習(xí)的始終。

匈牙利的著名數(shù)學(xué)家P?羅莎曾在她的《無(wú)窮的玩藝》中對(duì)“化歸法”作過(guò)這樣生動(dòng)的比擬：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在你的任務(wù)是燒水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”。只要有一點(diǎn)生活經(jīng)驗(yàn)的人就會(huì)知道正確的回答是：“在水壺中倒上水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放上煤氣灶?！敝攸c(diǎn)是羅莎的第二個(gè)問(wèn)題：“那么假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺中已有了足量的水，這時(shí)你應(yīng)該怎么做？”。對(duì)這樣微不足道的變式，人們的回答往往是：“點(diǎn)燃煤氣，然后把壺放到煤氣灶上?！钡橇_莎認(rèn)為這并不是最佳答案，因?yàn)椤爸挥形锢韺W(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家會(huì)倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一個(gè)問(wèn)題化歸成前面的問(wèn)題了?！边@回答不免有些夸張，但它卻形象地道出了化歸思想的本質(zhì)特征：比起去追溯一些熟識(shí)的結(jié)果，我們情愿后退一步，回歸到原本的問(wèn)題上。相比其他學(xué)者，數(shù)學(xué)家更擅長(zhǎng)用化歸的方法考慮和解決問(wèn)題[1]。盡管在某些情況下，化歸顯得有些贅余，但是它將新問(wèn)題化為已知的問(wèn)題這種方式，顯然更有邏輯性和嚴(yán)密性。

1.研究化歸思想是我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中明確提出了“引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[2]”的“四基”概念。因此在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的思想方法，教育學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題也是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容。那么研究化歸思想在義務(wù)教育學(xué)段的應(yīng)用就不失為發(fā)展教育、優(yōu)化教學(xué)的必然要求了。

2.化歸思想的重要作用

化歸思想的滲透有助于完整的知識(shí)體系建構(gòu)?；瘹w思想作為數(shù)學(xué)的核心思想之一貫穿于義務(wù)教育教材的始終，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)逐漸認(rèn)識(shí)到新知識(shí)與舊知識(shí)的聯(lián)系，并且學(xué)會(huì)用化歸思想整理所學(xué)知識(shí)，在頭腦中逐漸形成結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體網(wǎng)絡(luò)。

3.化歸思想以及相關(guān)理論

3.1 笛卡爾坐標(biāo)系。笛卡爾創(chuàng)建坐標(biāo)系，創(chuàng)建了解析幾何學(xué)科，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念用數(shù)來(lái)表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來(lái)表示。用代數(shù)表示幾何本身就是一種化歸方法。這說(shuō)明化歸思想在歷史上同樣有十分重要，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展以及人類文明的進(jìn)步有著至關(guān)重要的作用。

3.2 學(xué)習(xí)遷移理論。學(xué)習(xí)遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他活動(dòng)的影響。這種遷移作用是雙向的，被廣泛應(yīng)用于知識(shí)、技能、行為規(guī)范等學(xué)習(xí)過(guò)程中。正因?yàn)檫@種遷移作用，學(xué)生才能將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解題中。學(xué)習(xí)遷移理論最早開始于18世紀(jì)中期，從早期到現(xiàn)代遷移理論，有桑代克的“共同要素說(shuō)”、賈德的“概括化理論”、格式塔心理學(xué)的“關(guān)系轉(zhuǎn)換說(shuō)”直到現(xiàn)代遷移理論的“類比遷移理論”等。桑代克的“共同要素說(shuō)”認(rèn)為相同要素，即相同的刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，相同聯(lián)結(jié)越多，遷移作用越大，反之就越少[3]。后來(lái)相同要素被改為共同要素，即認(rèn)為兩情境中有共同成分時(shí)可以產(chǎn)生遷移。因此要求學(xué)生在解題過(guò)程中廣泛聯(lián)想，將新問(wèn)題與已知問(wèn)題相聯(lián)系，而教師應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生建立起這種聯(lián)系。

4.化歸的原則

化歸過(guò)程中應(yīng)遵循以下三條基本原則：

4.1 化歸目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則。將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理。

4.2 熟悉化原則。將陌生的、較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已知的問(wèn)題，通過(guò)遷移已有知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。

4.3 直觀化原則。對(duì)于一些抽象的問(wèn)題，孩子們會(huì)一下子找不出其中的數(shù)量關(guān)系。但在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)化歸的方法將抽象的問(wèn)題用直觀的方法表示，轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題輕松找出解題方法。

5.化歸思想在學(xué)生數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

5.1 簡(jiǎn)單化原則的應(yīng)用。

計(jì)算：0.125×6.25×1.6×0.8

本體原來(lái)是一個(gè)比較復(fù)雜的小數(shù)乘法，按照運(yùn)算法則死算的話，中間得數(shù)會(huì)非常復(fù)雜，極易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。但是注意到這幾個(gè)小數(shù)都是特殊值，我們可以通過(guò)將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)后不難發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都能通過(guò)約分來(lái)消去，最終得數(shù)1。

=1

5.2 熟悉化原則的應(yīng)用。

例題：求下面兩個(gè)多邊形面積。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和相關(guān)知識(shí)，接下來(lái)便是多邊形的內(nèi)角和求解問(wèn)題。乍一看多邊形面積似乎無(wú)法求解，但是如果在多邊形內(nèi)部添加如圖所示的輔助線，將多邊形通過(guò)化歸法將多邊形分成多個(gè)三角形，那么問(wèn)題的答案就顯而易見了。通過(guò)這樣的方法，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解答過(guò)的舊問(wèn)題，將復(fù)雜的求多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的求多個(gè)三角形的內(nèi)角和。四邊形內(nèi)角和等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，五邊形內(nèi)角和等于三個(gè)三角形內(nèi)角和。

5.3 直觀化原則的應(yīng)用。小寧和小春共有郵票72枚，小春比小寧多12枚。問(wèn)小春小寧各有郵票多少枚？

分析：學(xué)生遇到這類復(fù)雜問(wèn)題一下子很難看出其中的數(shù)量關(guān)系，但是通過(guò)引導(dǎo)使用畫線段圖的方法則能使數(shù)據(jù)直觀化，題中關(guān)系變的清晰起來(lái)。利用線段圖可以一目了然的看出，將小春郵票數(shù)減去12就是小寧郵票數(shù)的兩倍，同樣的給小寧加12就是小春郵票數(shù)的兩倍。用這樣的方法先算出其中一人的郵票數(shù)量，另一人的郵票數(shù)量也就迎刃而解。

根據(jù)兩種不同思路，我們有兩種解法。

解法一：72-12=60(枚)

小寧：60÷2=30(枚)

小春：30+12=42(枚)

答：小寧有郵票30枚，小春有郵票42枚。

解法二：72+12=84(枚)

小春：84÷2=42(枚)

小寧：42-12=30(枚)

答：小寧有郵票30枚，小春有郵票42枚。

5.4 化歸思想有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。數(shù)學(xué)是一門思考性極強(qiáng)的學(xué)科，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的良好思維品質(zhì)。化歸思想本質(zhì)上是將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的舊問(wèn)題，所以在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想有利于學(xué)生獨(dú)立思考時(shí)越過(guò)障礙這點(diǎn)毋庸置疑，使學(xué)生在解題中應(yīng)用化歸思想，能使學(xué)生更好的適應(yīng)未來(lái)的發(fā)展需要。在化歸思想的作用下，學(xué)生的解題能力將會(huì)得到進(jìn)一步的提高。

5.5 化歸思想有利于提高學(xué)生解題思路的靈活性。數(shù)學(xué)思維的靈活性通常體現(xiàn)在學(xué)生的日常學(xué)習(xí)思維中。無(wú)論是教學(xué)還是解題，學(xué)生總會(huì)遇到各式各樣的問(wèn)題，而化歸思想就是幫助學(xué)生調(diào)整原有方法的思考方向一塊方向盤，讓已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生各種各樣的遷移，使學(xué)生的思維靈活性更上一層樓。

例題：小明吃早飯時(shí)看到時(shí)鐘分針和時(shí)針有一定夾角，吃完早飯后再看時(shí)鐘發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針夾角不變。問(wèn)小明吃早飯最快花了多少時(shí)間？

分析：這道題設(shè)中是時(shí)鐘問(wèn)題，用從問(wèn)題想起的通常方法看上去很難解決，但是通過(guò)化歸我們可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)可以把這道題看成追趕問(wèn)題。要求夾角不變的最短時(shí)間實(shí)際上就是分針比時(shí)針正好多走360°的時(shí)間，而時(shí)針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，那么根據(jù)數(shù)量關(guān)系式可以設(shè)時(shí)間為t分鐘并列出簡(jiǎn)易方程：6t-0.5t=360解得時(shí)間是72/11分鐘。

5.6 化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的解題中的應(yīng)用。

5.6.1 在“數(shù)與代數(shù)”板塊的體現(xiàn)。在“數(shù)與代數(shù)”模塊中，化歸思想主要有三年級(jí)上“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”、五年級(jí)上“小數(shù)加減法”、六年級(jí)上“分?jǐn)?shù)除法”等。小學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)一般從具體的生活經(jīng)驗(yàn)以及過(guò)去已經(jīng)學(xué)習(xí)的舊知識(shí)入手，利用這些知識(shí)形成新知識(shí)。這是知識(shí)的同化，化歸正是其中的核心思想。

5.6.2 在數(shù)的運(yùn)算方面的體現(xiàn)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法時(shí)，有如下例題：量杯中有果汁五分之四升，平均分給兩個(gè)小朋友問(wèn)每人分得多少。

題中當(dāng)然涉及到學(xué)生學(xué)習(xí)的舊知識(shí)中的除法。將五分之四除以二是利用既學(xué)知識(shí)的常規(guī)解法，書中給出通過(guò)每人分得一杯果汁的二分之一也能解決問(wèn)題。然后在學(xué)生解決完第一題后拋出下一個(gè)問(wèn)題：分給三個(gè)小朋友喝每人分得多少？這里發(fā)現(xiàn)4÷3除不盡，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生的計(jì)算讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)除法可以轉(zhuǎn)化為乘除數(shù)的倒數(shù)，將除法計(jì)算化歸為乘法計(jì)算，將不熟悉的分?jǐn)?shù)除法化歸為熟悉的分?jǐn)?shù)乘法的知識(shí)，化生為熟，很好的體現(xiàn)了化歸思想的應(yīng)用。

學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法時(shí)，同樣也利用了化歸思想。書中利用情境導(dǎo)入提出買3千克0.8元一千克的西瓜要多少元即0.8×3等于幾的問(wèn)題。利用舊知識(shí)學(xué)生可以知道既可以用小數(shù)加法求解，也能將元轉(zhuǎn)化為角即8×3來(lái)解題。之后便將這兩種知識(shí)結(jié)合求0.8×3的豎式解法。通過(guò)舊知識(shí)的遷移，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法和整數(shù)乘法的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生知道小數(shù)乘法比整數(shù)乘法多一個(gè)點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的過(guò)程。學(xué)生在之后進(jìn)行小數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，同樣也是將小數(shù)乘法先化歸為整數(shù)乘法然后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)?？梢娀瘹w思想是深入到解題的根子里去的。

5.6.3 在“圖形與幾何”中的體現(xiàn)?；瘹w思想同樣體現(xiàn)在圖形與幾何中[4]。在五年級(jí)下的“解決問(wèn)題的策略”、同樣是五年級(jí)下的“圓的認(rèn)識(shí)”相關(guān)章節(jié)以及“圓柱的側(cè)面積表面積和體積”中都有化歸思想的滲透?；瘹w思想在其中主要是起到化繁為簡(jiǎn)、降維以及體積的計(jì)算等方面。

例題：比較圖形面積大小。

分析：五年級(jí)的學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)格子求面積和長(zhǎng)方形面積。而圖中的圖形較為復(fù)雜，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難通過(guò)計(jì)算和數(shù)方格的方式比較面積。此時(shí)通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)割補(bǔ)將復(fù)雜圖形化歸成已經(jīng)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，從而輕松求出面積進(jìn)行比較。最終發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形都能夠轉(zhuǎn)化成同樣大小的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形面積與原圖形相等，所以兩圖形面積相等。

在六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的表面積”中對(duì)圓柱表面積中也使用了化歸法。

例題：一種圓柱形罐頭的底面直徑是11厘米，高是15厘米。它的側(cè)面有一張商標(biāo)紙，商標(biāo)值得面積大約是多少平方厘米？

從生活常識(shí)入手，通過(guò)動(dòng)手操作的方法讓學(xué)生理解到圓柱側(cè)面能夠展開成一個(gè)長(zhǎng)方形那么測(cè)面積大小就是這個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小，用化曲為直的方法巧妙地引出圓柱的側(cè)面積。在學(xué)生的探索之后順理成章的引入圓柱測(cè)面積的計(jì)算方法，這樣的引入可以說(shuō)是非常自然得體了。之后學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬就是圓柱的高。通過(guò)化歸的思想不僅教會(huì)學(xué)生圓柱側(cè)面積的求法，更教會(huì)學(xué)生“化曲為直”的化歸方法，讓學(xué)生在解題中擁有更多方法[5]，解題能力更上一個(gè)新的臺(tái)階。

6.結(jié)論

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力不斷提高，換言之，學(xué)生的知識(shí)掌握得越來(lái)越牢固，更便于教師達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。想要學(xué)生的解題能力得到提高，這當(dāng)然對(duì)教師也提出了更高的要求。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)將掌握知識(shí)和滲透化歸思想相結(jié)合，將化歸思想的培養(yǎng)整合進(jìn)教學(xué)目標(biāo)；教師應(yīng)當(dāng)深挖教材，思考如何將化歸思想結(jié)合進(jìn)日常教學(xué)之中；教師還應(yīng)當(dāng)在鼓勵(lì)學(xué)生解題時(shí)深入分析數(shù)量關(guān)系，看能怎樣將問(wèn)題轉(zhuǎn)化得更簡(jiǎn)單。我們要努力培養(yǎng)學(xué)生在解題中應(yīng)用化歸思想，讓學(xué)生遇到一些難題時(shí)將其轉(zhuǎn)化，從問(wèn)題的另一方面分析問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化歸為一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單的、已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終獲得答案。教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)指明使用的化歸方法，幫助學(xué)生理解化歸在其中的作用，以便于學(xué)生在以后的解題中運(yùn)用化歸法。