楊飛雪，康紹鵬，強(qiáng)紅賓，劉凱磊，吳 昊

（江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001）

目前，常用的多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模方法主要有牛頓-歐拉法、拉格朗日方程法以及凱恩法[1-3]。而參數(shù)辨識(shí)主要有最小二乘法[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法等。牛頓-歐拉法原理明朗并且能夠較為清晰地描述三軸線連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，而最小二乘法能夠較為簡(jiǎn)便地求得未知數(shù)據(jù)，所以文中采用牛頓-歐拉法對(duì)三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模[5-6]，采用最小二乘法對(duì)三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

1 連桿轉(zhuǎn)向系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 數(shù)學(xué)建模原理

牛頓-歐拉法是多剛體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域使用較為廣泛的建模方法，它首先需要建立慣性坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系，再分別對(duì)多剛體系統(tǒng)的各個(gè)桿件進(jìn)行受力分析，列寫(xiě)力和力矩方程，最后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到完整的動(dòng)力學(xué)模型。以下方程組（1）中兩個(gè)等式分別為Newton和Euler方程：

式中，Joi是第i個(gè)桿件對(duì)質(zhì)心的慣量張量，ωi和分別為第i個(gè)桿件的角速度和角加速度，voi是第i個(gè)桿件的質(zhì)心速度，mi是第i個(gè)桿件的質(zhì)量，αi是質(zhì)心加速度，F(xiàn)i和Mi分別為主矢和主矩。

1.2 動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，三軸線連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中每個(gè)軸線有八個(gè)輪胎，從左到右分別為第一軸線、第二軸線和第三軸線。其中，由鉸接在車(chē)架上的液壓缸的伸縮帶動(dòng)轉(zhuǎn)向臂轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，然后帶動(dòng)鉸接在轉(zhuǎn)向臂上的兩個(gè)橫拉桿運(yùn)動(dòng)，而橫拉桿推動(dòng)車(chē)輪上方的懸掛機(jī)構(gòu)，懸掛機(jī)構(gòu)帶動(dòng)輪胎的轉(zhuǎn)動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)車(chē)輪按一定的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)向。與此同時(shí)，轉(zhuǎn)向臂的轉(zhuǎn)動(dòng)還會(huì)帶動(dòng)縱拉桿完成下一軸線的轉(zhuǎn)向臂的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)軸線車(chē)的整體轉(zhuǎn)向[7]。

針對(duì)圖1 建立第一軸線外側(cè)的連桿轉(zhuǎn)向[5]的動(dòng)力學(xué)模型，如下所示。

圖1 三軸線連桿轉(zhuǎn)向圖

式中：FE1X是車(chē)架施加在轉(zhuǎn)向臂中心上的約束反力的x分量，F(xiàn)F1X是轉(zhuǎn)向橫拉桿施加在轉(zhuǎn)向臂上的約束反力的x分量，mE1F1是轉(zhuǎn)向臂的質(zhì)量，F(xiàn)E1Y是車(chē)架施加在轉(zhuǎn)向臂中心上的約束反力的y分量，F(xiàn)F1Y是轉(zhuǎn)向橫拉桿施加在轉(zhuǎn)向臂上的約束反力的y分量，M1是轉(zhuǎn)向臂的主動(dòng)轉(zhuǎn)向力矩，Jo1是主動(dòng)杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 參數(shù)辨識(shí)

2.1 動(dòng)力學(xué)方程線性化

將式（2）、（3）、（4）所建立的三軸線運(yùn)輸車(chē)第一軸線外側(cè)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

其中，A1表示一個(gè)信息矩陣，x1表示待辨識(shí)參數(shù)。

在公式（6）的矩陣中的元素如下所示：

同理，第一軸線內(nèi)側(cè)、第二軸線外側(cè)和第二軸線內(nèi)側(cè)的數(shù)學(xué)模型可以表達(dá)為類似的數(shù)學(xué)表達(dá)式。四部分的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以統(tǒng)一為公式（8）。

2.2 激勵(lì)軌跡的選擇與優(yōu)化

軸線車(chē)只有在實(shí)際工作中才能進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，也只有實(shí)際應(yīng)用才有意義。因此，在進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí)，要事先設(shè)計(jì)讓軸線車(chē)充分運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)軌跡，同時(shí)還要對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，使激勵(lì)軌跡在滿足軸線車(chē)實(shí)際約束的同時(shí)，又能最大化地激發(fā)所有需要辨識(shí)的參數(shù)，減小誤差。因此，在軸線車(chē)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，目前常用的激勵(lì)軌跡主要有多項(xiàng)式軌跡和周期性軌跡，多項(xiàng)式軌跡常用于軌跡簡(jiǎn)單、精度要求不是很高的機(jī)器人，而周期性軌跡常用于軌跡復(fù)雜且具有循環(huán)性，同時(shí)精度要求相對(duì)較高的機(jī)器人。因此，本文選擇采用周期性軌跡規(guī)劃，將周期性軌跡設(shè)計(jì)為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合形式，通過(guò)有限次的迭加構(gòu)成，也就是數(shù)學(xué)中的傅里葉級(jí)數(shù)。軸線車(chē)第i個(gè)關(guān)節(jié)的角位移的軌跡，可以用以下形式表示：

其中，ωf是傅里葉級(jí)數(shù)的基頻。傅里葉函數(shù)的周期為2π/ωf。每一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)包含2N＋1 個(gè)參數(shù)：an和bn（n＝1，…，N）是正弦和余弦函數(shù)的幅值，q0是機(jī)器人產(chǎn)生激勵(lì)時(shí)的關(guān)節(jié)補(bǔ)償。

對(duì)于一個(gè)不穩(wěn)定的線性方程Ax＝b，系數(shù)矩陣A和右端b都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不受控制的誤差，而矩陣A的條件數(shù)則反映了這個(gè)線性方程的性態(tài)。條件數(shù)越大，解的誤差越大，方程組被認(rèn)為是病態(tài)的；條件數(shù)越小，可以認(rèn)為方程組是良態(tài)的；當(dāng)條件數(shù)為1 時(shí)，認(rèn)為方程組的狀態(tài)最好。矩陣A的條件數(shù)定義為：

于是，確定優(yōu)化激勵(lì)軌跡的問(wèn)題就變?yōu)榇_定系數(shù)（an、bn和q0）來(lái)使觀測(cè)矩陣A的條件數(shù)最小。傅里葉函數(shù)中系數(shù)比較多，使用一般的試湊的方法計(jì)算量大并且很難得到準(zhǔn)確值，因此必須選擇某種優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)選擇。本文采用Matlab 中的fmincon 函數(shù)來(lái)確定激勵(lì)軌跡參數(shù)。

在三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)向臂中心會(huì)帶動(dòng)其余轉(zhuǎn)向連桿進(jìn)行相應(yīng)的從動(dòng)運(yùn)動(dòng)，所以只需要賦予轉(zhuǎn)向臂中心一個(gè)激勵(lì)軌跡。由式（9）可知，需要優(yōu)化的參數(shù)是ai、bi（i＝1，…，N）和q0，其中N＝1，因此共有3個(gè)參數(shù)需要優(yōu)化。

通過(guò)Matlab 中fmincon 函數(shù)并結(jié)合式（10）將激勵(lì)軌跡的求解優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下的最值優(yōu)化問(wèn)題：

通過(guò)fmincon 函數(shù)求解出傅里葉級(jí)數(shù)參數(shù)，如表1所示。

表1 傅里葉級(jí)數(shù)最優(yōu)激勵(lì)軌跡優(yōu)化后參數(shù)

得到激勵(lì)軌跡如圖2所示。

圖2 傅里葉級(jí)數(shù)激勵(lì)軌跡角度、角速度、角加速度

2.3 動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方法

針對(duì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)，目前常用的方法主要有最小二乘法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法和極大似然估計(jì)法等。本文采用最小二乘法對(duì)已建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

在Adams 與Simulink 的聯(lián)合仿真中，讓Adams 模型按照最優(yōu)激勵(lì)軌跡運(yùn)行時(shí)，實(shí)時(shí)測(cè)量相應(yīng)鉸接點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)以及相關(guān)鉸接點(diǎn)的受力情況[8-9]，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到信息矩陣A和受力矩陣b。根據(jù)式（8）可以通過(guò)最小二乘法計(jì)算參數(shù)x的值，計(jì)算方法如式（12）所示。

2.4 三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)

通過(guò)Adams 與Simulink 的聯(lián)合仿真將Adams 中的數(shù)據(jù)在Simulink 中通過(guò)最小二乘法進(jìn)行處理可以得到三軸線連桿轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中各桿件的物理參數(shù)[10]。具體參數(shù)如表2所示。

表2 三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)辨識(shí)參數(shù)

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)牛頓-歐拉法對(duì)三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模并將動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了線性化處理。在此基礎(chǔ)上，選擇傅里葉級(jí)數(shù)形式的函數(shù)作為參數(shù)辨識(shí)的激勵(lì)軌跡并進(jìn)行了最優(yōu)化得到最優(yōu)激勵(lì)軌跡。最后，采用最小二乘法并通過(guò)Adams 與Simulink 的聯(lián)合仿真，得到三軸線運(yùn)輸車(chē)連桿轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中各桿件的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。