林?濱，杜安堯，劉再蔚，梁小虎

基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的聲表面波涂層厚度檢測

林?濱，杜安堯，劉再蔚，梁小虎

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300354)

聲表面波；頻散曲線；分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

聲表面波在半無限大單一介質(zhì)表面?zhèn)鞑r，聲速僅與介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)；但當(dāng)傳播介質(zhì)為基體-涂層等非單一介質(zhì)[1-3]，或近表面存在損傷[4-6]、殘余應(yīng)力等[7-8]狀態(tài)時就會出現(xiàn)色散現(xiàn)象(不同頻率聲表面波的傳播速度不同)．通過表面波的時域信號獲取其時頻信息，進(jìn)而獲取頻散曲線來反演研究介質(zhì)的厚度是一種有效且常用的方法．傅里葉變換和小波變換都可以獲得聲表面波的頻散曲線[9-10]，但傅里葉變換在完整地保留頻率信息的基礎(chǔ)上會丟失時間信息，因此傅里葉變換不能對時變信號進(jìn)行有效處理；小波變換雖然同時在時域和頻域具有一定的分辨率，可以有效地保留信號的時變特性，但小波變換會降低頻域的分辨率，且頻率分辨率會隨著頻率的升高而大幅降低；此外小波變換的效果高度依賴于母小波的選?。虼耍疚膶⑨槍π碌念l散分析方法進(jìn)行模擬仿真和實驗分析并研究其分析效果．

1?分?jǐn)?shù)階傅里葉變換時頻分析

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有多種不同的定義與解?釋[11]：線性積分變換、時頻面旋轉(zhuǎn)、特征函數(shù)與特征值、坐標(biāo)乘法和求導(dǎo)算子的變換、微分方程的解和超微分算子等．本節(jié)僅從線性積分變換對分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行解釋．

1.1?分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論

式中為角度參數(shù)．和的關(guān)系為

因此可得

1.2?線性調(diào)頻函數(shù)時頻分析

激光激發(fā)聲表面波可以近似簡化為線性調(diào)頻信號，因此可以利用加入高斯白噪聲的線性調(diào)頻函數(shù)來模擬激光激發(fā)聲表面波，然后利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對模擬聲表面波進(jìn)行時頻分析，最后將分析效果與小波變換分析效果和理論時頻曲線進(jìn)行對比．

利用瑞利波包構(gòu)造線性調(diào)頻信號

式中：，為幅值參數(shù)；，為時間參數(shù)；，為調(diào)頻參數(shù)；，為瑞利參數(shù).函數(shù)的理論調(diào)頻率，理論中心頻率．為模擬實際實驗信號，加入信噪比為－3dB的高斯白噪聲，原信號與帶噪信號時域波形如圖1所示，后續(xù)將對帶噪信號進(jìn)行分析．

圖2?帶噪信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

圖3?時頻分析與對比

2?基體-涂層材料聲表面波的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

圖4?激光激發(fā)聲表面波實驗示意

表1?實驗材料力學(xué)參數(shù)

Tab.1?Mechanical parameters of materials

為實現(xiàn)對不同傳播距離下聲表面波的拾取，將直角棱鏡和柱面透鏡固接在位移精度0.5μm的直線位移平臺上，通過驅(qū)動器和編程控制器對五相異步電機(jī)的控制使位移平臺每次移動1mm，進(jìn)行3次．需要注意的是，如圖6所示，實驗過程中激發(fā)點需要由遠(yuǎn)及近向拾取點移動，其目的是為了避免后一次激光激發(fā)聲表面波傳播經(jīng)過前一次激發(fā)損傷區(qū)域而受干擾．此外，樣品表面上激光激發(fā)點和振動拾取點間的距離需要足夠大，使拾取點的振動信號為不受熱傳導(dǎo)影響的穩(wěn)定聲表面波，本實驗中激發(fā)點與拾取點的距離大于2cm．

圖5?壓電薄膜傳感器

圖6?不同激發(fā)位置聲表面波的拾取

圖7?不同拾取點的時域波形

圖8?不同拾取點聲表面波信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

圖9?不同拾取點聲表面波信號的時頻曲線

3?頻散曲線反演

因為試件為拋光硅片，表面粗糙度較小，因此可以忽略粗糙度對聲表面波頻散曲線的影響[16]．在一般情況下，若材料的結(jié)構(gòu)和各部分的彈性常數(shù)、泊松比以及密度已知，則可以計算出材料的理論頻散曲線．凡友華等[17]提出了標(biāo)量傳遞法的相速度頻散曲線快速計算方法，但本文中的實驗頻散曲線為群速度頻散曲線，因此利用群速度和相速度的轉(zhuǎn)換關(guān)系計算聲表面波理論群速度頻散曲線，即

式(9)為半無限大空間單一介質(zhì)中聲表面波群速度近似公式，即

式中：為泊松比；為橫波波速，可以通過彈性模量E和泊松比求得．Si(100)和中聲表面波群速度分別為4876m/s和3411m/s．圖10所示為具有4μm 氧化層的Si(100)的群速度頻散曲線，在低頻極限時，聲表面波幾乎在Si(100)基體內(nèi)傳播，其速度接近單晶硅中聲表面波速度；在高頻極限時聲表面波集中于表面的層中，其速度接近于二氧化硅中聲表面波的速度．此外，沿著具有4μm 氧化層的Si(100)的[100]晶向傳播的聲表面波，其頻散曲線的拐點在400MPa附近．當(dāng)頻率范圍限定在[30MHz，50MHz]時，頻散曲線可以近似為一條直線，因此可以通過聲表面波時頻信息對頻散曲線進(jìn)行線性擬合，進(jìn)而反演出層的厚度．

在[30MHz，50MHz]的頻率范圍內(nèi)，利用式(10)計算聲表面波群速度實驗頻散曲線，即

將實驗頻散曲線與理論頻散曲線對比，構(gòu)造頻散曲線失配函數(shù)[18]，即

圖11?激光聲表面波群速度頻散曲線

可以看出，反演計算得到的實驗頻散曲線與理論頻散曲線在低頻段(小于35MHz)有一定的誤差．這是因為原時域信號中噪聲引起的誤差使得分?jǐn)?shù)階傅里葉變換之后形成脈沖點的階次產(chǎn)生一定的誤差，這個誤差會相應(yīng)地反映在信號的時頻曲線和頻散曲線上．此外，聲表面波時頻曲線和頻散曲線本質(zhì)上都是非線性曲線，對聲表面波時頻曲線進(jìn)行線性擬合時也忽略了信號的高階誤差．如要消除圖11中35MHz以下頻散曲線的誤差，就需要在對信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換之前對信號進(jìn)行去噪處理，此外利用非線性方法對聲表面波時頻曲線和頻散曲線進(jìn)行擬合也可以降低一定的誤差．

4?結(jié)?論

聲表面波的頻散曲線包含了很多被測試件的性質(zhì)信息，如涂層厚度、彈性模量和泊松比等，因此通過控制變量法來計算頻散曲線就可以獲得基體-涂層材料的涂層厚度．而在獲取聲表面波的頻散曲線的過程中，對聲表面波信號的時頻分析是最重要的一步，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以有效地對聲表面波時域信號進(jìn)行分析并獲取其時頻曲線．

(1) 利用瑞利波包和高斯白噪聲構(gòu)造線性調(diào)頻函數(shù)來模擬聲表面波信號，并用FrFT和CWT對其進(jìn)行時頻分析．雖然CWT比FrFT具有更低的中心頻率誤差，但FrFT的調(diào)頻率誤差遠(yuǎn)小于CWT，因此FrFT更能準(zhǔn)確地擬合實際時頻曲線．

(3) 利用表面波時頻信息計算頻散曲線，構(gòu)造失配函數(shù)表征實驗頻散曲線與理論頻散曲線之間的匹配度．通過對失配函數(shù)的分析得到實驗材料的氧化層厚度為4.03μm，誤差僅為0.75%．

［1］ Liu Z，Lin B，Liang X，et al. Time-frequency analysis of laser-excited surface acoustic waves based on synchrosqueezing transform[J]. Ultrasonics，2020，106：106147.

［2］ Ollendorf H，Schneider D，Schwarz T，et al. A comparative study of the mechanical properties of TiN coatings using the non-destructive surface acoustic wave method，scratch test and four-point bending test[J]. Surface and Coatings Technology，1996，84(1/2/3)：458-464.

［3］ Hurley D C，Tewary V K，Richards A J. Surface acoustic wave methods to determine the anisotropic elastic properties of thin films[J]. Measurement Science and Technology，2001，12(9)：1486-1494.

［4］ Moumita M，Amares C，Pulkit K，et al. Effect of initial stress，heterogeneity and anisotropy on the propagation of seismic surface waves[J]. Mechanics of Advanced Materials & Structures，2020，27(3)：177-188.

［5］ Yuan M，Kang T，Kim H J，et al. A numerical model for prediction of residual stress using rayleigh waves[J]. Journal of the Korean Society for Nondestructive Testing，2011，31(6)：656-664.

［6］ Mora P，Spies M. Inversion of residual stress profiles from ultrasonic Rayleigh wave dispersion data[J]. Inverse Problems，2018，34(5)：55001.

［7］ Zerwer A，Polak M A，Santamarina J C. Rayleigh wave propagation for the detection of near surface discontinuities：Finite element modeling[J]. Journal of Nondestructive Evaluation，2003，22(2)：39-52.

［8］ Lavrentyev A I，Veronesi W A，Baaklini G Y，et al. Ultrasonic characterization of shot-peened metal surfaces

[J]. International Society for Optics and Photonics，2001，4336：88-99.

［9］ Liang X，Lin B，Liu Z. Analysis of velocity calculation methods of laser-induced surface acoustic wave[J]. Ultrasonics，2019，100：105985.

［10］ Liu X，Lin B，Liang X. Study of laser-induced surface acoustic wave propagating on materials with machined surfaces based on wavelet analysis[J]. Surface and Coatings Technology，2019，358：173-181.

［11］ Bultheel A，Martínez H. An introduction to the fractional Fourier transform and friends[J]. Cubo—A Mathematical Journal，2005，7(2)：201-221.

［12］ Bultheel A，Héctor E M S. Computation of the fractional Fourier transform[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis，2004，16(3)：182-202.

［13］ Ozaktas H M，Arikan O，Kutay M A，et al. Digital computation of the fractional Fourier transform[J]. IEEE Trans Signal Process，1996，44(9)：2141-2150.

［14］ 趙興浩，鄧?兵，陶?然. 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換數(shù)值計算中的量綱歸一化[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報，2005，25(4)：360-364.

Zhao Xinghao，Deng Bing，Tao Ran. Dimensional normalization in the digital computation of the fractional Fourier transform[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology，2005，25(4)：360-364(in Chinese).

［15］ Bogardus H E. Third‐order elastic constants of Ge，MgO，and fused SiO2[J]. Journal of Applied Physics，1965，36(8)：2504-2513.

［16］ Paehler D，Schneider D，Herben M. Nondestructive characterization of sub-surface damage in rotational ground silicon wafers by laser acoustics[J]. Microelectronic Engineering，2007，84(2)：340-354.

［17］ 凡友華，劉家琦. 層狀介質(zhì)中瑞雷面波的頻散研究[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2001，33(5)：577-581.

Fan Youhua，Liu Jiaqi. Research on the dispersion of Rayleigh waves in multilayered media[J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2001，33(5)：577-581(in Chinese).

［18］ Lu Y，Peng S，Du W，et al. Rayleigh wave inversion using heat-bath simulated annealing algorithm[J]. Journal of Applied Geophysics，2016，134：267-280.

Film Thickness Detection Using a Surface Acoustic Wave Based on the Fractional Fourier Transform

Lin Bin，Du Anyao，Liu Zaiwei，Liang Xiaohu

(Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300354，China)

surface acoustic wave；dispersion curve；fractional Fourier transform

10.11784/tdxbz202103050

O426.9

A

0493-2137(2022)07-0714-07

2021-03-24；

2021-05-20.

林?濱（1965—??），男，博士，教授.Email：m_bigm@tju.edu.cn

林?濱，linbinph@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(52075379).

the National Natural Science Foundation of China(No.52075379).

(責(zé)任編輯：王曉燕)