陶佳元

(中鐵上海設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 上海 200070)

1 引言

高速鐵路要求軌道具有高平順性，但是由于線(xiàn)下工程變形、軌道結(jié)構(gòu)病害、周邊施工等因素影響，導(dǎo)致線(xiàn)路縱斷面偏離原設(shè)計(jì)線(xiàn)位，產(chǎn)生軌道高低不平順[1－5]。對(duì)于運(yùn)營(yíng)線(xiàn)路無(wú)砟軌道，可通過(guò)扣件調(diào)整、無(wú)砟軌道切割、道床注漿抬升[6]等方法使軌道恢復(fù)平順狀態(tài)。當(dāng)線(xiàn)路縱斷面調(diào)整受限無(wú)法恢復(fù)至設(shè)計(jì)線(xiàn)位時(shí)，則需要重新設(shè)計(jì)縱斷面線(xiàn)形并驗(yàn)證其是否滿(mǎn)足相關(guān)平順性標(biāo)準(zhǔn)[7－9]。

軌道不平順地段的縱斷面調(diào)整通常采用線(xiàn)形重構(gòu)方法[10]，即根據(jù)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行合理選取，擬合優(yōu)化新的縱斷面。由于該調(diào)整方法基于“由線(xiàn)至點(diǎn)”的理念，故無(wú)法充分考慮局部地段(例如調(diào)整量受限地段)的約束條件。國(guó)內(nèi)亦有學(xué)者提出了以軌面曲率[11]為控制指標(biāo)的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法，但其“逐枕適算，反復(fù)迭代”的算法效率欠佳，且方案存在不收斂問(wèn)題。鑒于此，本文提出了一種基于三次樣條插值法的無(wú)砟軌道縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法，將可調(diào)整量作為控制參數(shù)，能夠快速有效地制定調(diào)整方案。

2 基于三次樣條插值的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法及應(yīng)用實(shí)例

鋼軌是具有一定剛度的連續(xù)梁式結(jié)構(gòu)，可以認(rèn)為其縱向表面線(xiàn)是沿里程變化的光滑曲線(xiàn)。通過(guò)數(shù)值分析的方法，能夠求得軌面高程與里程對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，從而更準(zhǔn)確地描述這條光滑曲線(xiàn)。本文采用三次樣條插值法對(duì)縱斷面曲線(xiàn)進(jìn)行擬合。

2.1 三次樣條插值原理

樣條插值是使用特殊分段多項(xiàng)式進(jìn)行插值的形式，可以通過(guò)低階多項(xiàng)式樣條實(shí)現(xiàn)較小的插值誤差，工程應(yīng)用中常選擇三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

三次樣條插值定義:函數(shù)S(x)∈C2[a，b]，在每個(gè)小區(qū)間[xj，xj＋1]上均為三次多項(xiàng)式。其中a＝x0＜x1…＜xn＝b為給定節(jié)點(diǎn)，則:

需要滿(mǎn)足下列條件:

(1)插值特性

在節(jié)點(diǎn)xj上給定節(jié)點(diǎn)值yj:

(2)樣條相互連接

(3)兩次連續(xù)可導(dǎo)

由于每個(gè)三次多項(xiàng)式需要四個(gè)條件才能確定曲線(xiàn)形狀，所以對(duì)于組成樣條函數(shù)的n個(gè)三次多項(xiàng)式，需要4n個(gè)條件才能確定多項(xiàng)式系數(shù)。但是，綜上(1)～(3)僅給出(4n－2)個(gè)條件，因此還需要另外兩個(gè)條件。根據(jù)實(shí)際縱斷面高程曲線(xiàn)特性，取自然邊界條件:S″(x0) ＝S″(xn) ＝0，從而求得各區(qū)間上的三次樣條函數(shù)S(x)。

2.2 縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法

與傳統(tǒng)的“線(xiàn)形重構(gòu)”“逐枕掃描”調(diào)整方法不同，本文所提出的基于三次樣條插值的縱斷面調(diào)整方法是根據(jù)若干扣件節(jié)點(diǎn)的里程(xj)以及與之對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)高程值(yj)，構(gòu)造縱斷面三次樣條曲線(xiàn)，通過(guò)與縱斷面實(shí)測(cè)高程曲線(xiàn)對(duì)比，確定各扣件節(jié)點(diǎn)處的調(diào)整量。

2.2.1 簡(jiǎn)化及假設(shè)條件

為了清晰明確介紹本文所提出的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法，做以下簡(jiǎn)化及假設(shè):

(1)目標(biāo)對(duì)象為運(yùn)營(yíng)線(xiàn)路無(wú)砟軌道，軌面高程采用扣件進(jìn)行調(diào)整。

(2)不考慮軌向、水平以及扭曲等不平順影響，僅針對(duì)軌面高程進(jìn)行調(diào)整。

(3)調(diào)整節(jié)點(diǎn)在調(diào)整后對(duì)其前后非調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置的軌道幾何尺寸無(wú)影響。

2.2.2 線(xiàn)形調(diào)整流程

基于三次樣條插值的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法流程如圖1所示。

圖1 線(xiàn)形調(diào)整流程

(1)收集基礎(chǔ)數(shù)據(jù)?；A(chǔ)數(shù)據(jù)包括調(diào)整范圍內(nèi)線(xiàn)路靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)以及扣件調(diào)整儲(chǔ)備量。

(2)確定基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)。選擇縱斷面上若干絕對(duì)偏差量較大的“極值點(diǎn)”作為初始基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)處扣件調(diào)整儲(chǔ)備量設(shè)置實(shí)際調(diào)整量。

(3)構(gòu)造三次樣條曲線(xiàn)。根據(jù)所有基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)調(diào)整后的高程數(shù)據(jù)及邊界條件，對(duì)縱斷面進(jìn)行三次樣條擬合，構(gòu)造縱斷面三次樣條曲線(xiàn)，并由此計(jì)算各扣件節(jié)點(diǎn)處的調(diào)整量。

(4)迭代完善調(diào)整方案。若扣件節(jié)點(diǎn)處的調(diào)整需求不滿(mǎn)足調(diào)整儲(chǔ)備量，則將其選取為新的基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，并設(shè)置可實(shí)施的調(diào)整量；根據(jù)已有基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)重新構(gòu)造三次樣條曲線(xiàn)，迭代循環(huán)至各扣件節(jié)點(diǎn)處調(diào)整量均滿(mǎn)足要求，該調(diào)整方案即為最終方案。

由于引入了“基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)”，基于三次樣條插值的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法能夠優(yōu)先在絕對(duì)偏差量較大和調(diào)整量受限位置實(shí)施合理可行的調(diào)整方案，從而提高方案整體計(jì)算效率。同時(shí)，本文提出的調(diào)整方法結(jié)合了“由點(diǎn)成線(xiàn)”和“由線(xiàn)至點(diǎn)”的理念，使其能夠兼顧方案的“局部”和“整體”，確保輸出方案的可行性，實(shí)現(xiàn)快速有效地制定調(diào)整方案。

2.3 調(diào)整方法應(yīng)用實(shí)例

以某鐵路區(qū)間縱斷面待調(diào)整地段(長(zhǎng)度500 m)為例，采用本文所述方法制定調(diào)整方案，對(duì)其過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。該地段鋪設(shè)無(wú)砟軌道，采用WJ-8B型扣件，垂向調(diào)整量理論值為[－4 mm，＋26 mm]。

(1)收集調(diào)整地段無(wú)砟軌道軌面高程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及扣件調(diào)整儲(chǔ)備量數(shù)據(jù)。

(2)調(diào)整地段內(nèi)共計(jì)800處扣件節(jié)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)測(cè)軌面高程曲線(xiàn)確定初始基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，分別為第1號(hào)(起始節(jié)點(diǎn))、第402號(hào)(高程偏差極值點(diǎn))和第800號(hào)(終止節(jié)點(diǎn))。

(3)第402號(hào)扣件節(jié)點(diǎn)處原始軌面高程偏差值為－39 mm，既有扣件調(diào)整量為0。故取調(diào)整量最大值＋26 mm進(jìn)行軌面高程調(diào)整，其余兩處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)不設(shè)置調(diào)整量。根據(jù)以上三處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)對(duì)縱斷面進(jìn)行三次樣條擬合，得到縱斷面三次樣條曲線(xiàn)并計(jì)算各扣件節(jié)點(diǎn)處所需調(diào)整量。

(4)遍歷扣件節(jié)點(diǎn)所需調(diào)整量與實(shí)際調(diào)整儲(chǔ)備量，第194號(hào)扣件節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足要求。該處計(jì)算調(diào)整量為－4 mm，由于該處已有－2 mm調(diào)整量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)－4 mm的計(jì)算調(diào)整量，因此將該扣件設(shè)為基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，取可調(diào)整量最大值－2 mm進(jìn)行軌面高程調(diào)整。根據(jù)以上4處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)重新擬合縱斷面三次樣條曲線(xiàn)并計(jì)算各扣件節(jié)點(diǎn)處所需調(diào)整量。

(5)遍歷扣件節(jié)點(diǎn)所需調(diào)整量與實(shí)際調(diào)整儲(chǔ)備量，第377號(hào)扣件節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足要求。該處計(jì)算調(diào)整量為＋22 mm，由于該處已有＋6 mm調(diào)整量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)＋22 mm的計(jì)算調(diào)整量，因此將該扣件設(shè)為基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，取可調(diào)整量最大值＋20 mm進(jìn)行軌面高程調(diào)整。根據(jù)以上5處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)重新擬合縱斷面三次樣條曲線(xiàn)并計(jì)算扣件節(jié)點(diǎn)處所需調(diào)整量。

(6)遍歷扣件節(jié)點(diǎn)所需調(diào)整量與實(shí)際調(diào)整儲(chǔ)備量，第474號(hào)扣件節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足要求。該處計(jì)算調(diào)整量為＋25 mm，由于該處已有＋2 mm調(diào)整量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)＋25 mm的計(jì)算調(diào)整量，因此將該扣件設(shè)為基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，取可調(diào)整量最大值＋24 mm進(jìn)行軌面高程調(diào)整。根據(jù)以上6處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)重新擬合縱斷面三次樣條曲線(xiàn)并計(jì)算各扣件節(jié)點(diǎn)處所需調(diào)整量。

(7)遍歷扣件節(jié)點(diǎn)所需調(diào)整量與實(shí)際調(diào)整儲(chǔ)備量，第763號(hào)扣件節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足要求。該處計(jì)算調(diào)整量為－5 mm，由于該處已有－2 mm調(diào)整量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)－5 mm的計(jì)算調(diào)整量，因此將該扣件設(shè)為基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)，取可調(diào)整量最大值－2 mm進(jìn)行軌面高程調(diào)整。根據(jù)以上7處基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)重新擬合縱斷面三次樣條曲線(xiàn)并計(jì)算各扣件節(jié)點(diǎn)處所需調(diào)整量。

(8)遍歷扣件節(jié)點(diǎn)所需調(diào)整量與實(shí)際調(diào)整儲(chǔ)備量，各扣件節(jié)點(diǎn)均滿(mǎn)足要求，調(diào)整量計(jì)算結(jié)束。

綜上所述，根據(jù)初始基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)首次擬合縱斷面三次樣條曲線(xiàn)后，歷經(jīng)4次迭代即可輸出最終調(diào)整方案。調(diào)整前、后縱斷面如圖2所示。

圖2 縱斷面調(diào)整前、后對(duì)比

3 調(diào)整方案評(píng)價(jià)

上述應(yīng)用實(shí)例體現(xiàn)了本文所述調(diào)整方法的便利性，本節(jié)將從平順性指標(biāo)、軌面曲率以及車(chē)輛－軌道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)三方面對(duì)其有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.1 平順性指標(biāo)

根據(jù)《高速鐵路無(wú)砟軌道線(xiàn)路維修規(guī)則(試行)》，一般采用以下三項(xiàng)靜態(tài)指標(biāo)對(duì)高低不平順進(jìn)行控制:10 m弦的正矢差；30 m弦長(zhǎng)相隔為5 m的測(cè)點(diǎn)實(shí)際矢高差與設(shè)計(jì)矢高差的差值；300 m弦長(zhǎng)相隔為150 m的測(cè)點(diǎn)實(shí)際矢高差與設(shè)計(jì)矢高差的差值。各項(xiàng)平順性指標(biāo)的允許偏差見(jiàn)表1。

表1 平順性指標(biāo)允許偏差

對(duì)調(diào)整前后的軌道高低平順性指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 調(diào)整前后10 m弦正矢差波形及分布直方圖

圖4 調(diào)整前后30 m弦長(zhǎng)相隔為5 m的測(cè)點(diǎn)實(shí)際矢高差與設(shè)計(jì)矢高差的差值波形及分布直方圖

圖5 調(diào)整前后300 m弦長(zhǎng)相隔為150 m的測(cè)點(diǎn)實(shí)際矢高差與設(shè)計(jì)矢高差的差值波形及分布直方圖

由圖3～至圖5可以看出，軌面高程調(diào)整后各平順性指標(biāo)均有不同程度改善:10 m弦長(zhǎng)和30 m弦長(zhǎng)兩項(xiàng)指標(biāo)的幅值均控制在[－1 mm，＋1 mm]范圍內(nèi)，滿(mǎn)足允許偏差要求；300 m弦長(zhǎng)指標(biāo)的最大值由調(diào)整前的34 mm下降為調(diào)整后的10 mm，滿(mǎn)足允許偏差要求。300 m弦長(zhǎng)指標(biāo)改善效果明顯，體現(xiàn)了基于三次樣條插值的調(diào)整方法對(duì)于存在幅值較大的長(zhǎng)波高低不平順情況下軌面高程調(diào)整的適用性。

3.2 軌面曲率

軌面曲率表示軌面高程曲線(xiàn)的彎曲程度，可以從一定程度上反映出軌面的平順性。以各承軌臺(tái)作為節(jié)點(diǎn)，對(duì)軌面高程曲線(xiàn)進(jìn)行三次樣條插值，將其離散為一連串三次多項(xiàng)式后，即可以通過(guò)公式k＝(y″)/(1＋y′2)3/2計(jì)算得到各扣件節(jié)點(diǎn)處的軌面曲率。調(diào)整后軌面曲率如圖6所示。由于采用了基于三次樣條插值的調(diào)整方法，因此縱斷面線(xiàn)形曲率呈線(xiàn)性變化，從而避免了曲率突變對(duì)輪軌接觸狀態(tài)造成的不利影響。

圖6 軌面曲率

3.3 車(chē)輛－軌道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

在輪軌動(dòng)力學(xué)和多體動(dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，采用多體動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件建立CRH380A型動(dòng)車(chē)模型[12]，并將軌面高程作為左右軌高低不平順數(shù)據(jù)，對(duì)調(diào)整前后的車(chē)輛－軌道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行仿真計(jì)算，以此檢驗(yàn)軌面不平順的改善程度。列車(chē)運(yùn)行速度為350 km/h，仿真計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 調(diào)整前后各項(xiàng)響應(yīng)最大值對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)已運(yùn)營(yíng)線(xiàn)路軌道出現(xiàn)高低不平順，僅調(diào)整受限縱斷面無(wú)法恢復(fù)至設(shè)計(jì)線(xiàn)位情況，提出了基于三次樣條插值的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法，并結(jié)合實(shí)際案例開(kāi)展應(yīng)用研究，對(duì)所制定的調(diào)整方案進(jìn)行了評(píng)價(jià)，結(jié)果表明:

(1)基于三次樣條插值的縱斷面線(xiàn)形調(diào)整方法可針對(duì)線(xiàn)路實(shí)際情況快速制定合理可行的調(diào)整方案。

(2)縱斷面調(diào)整后，各平順性指標(biāo)均滿(mǎn)足規(guī)范要求，300 m弦長(zhǎng)指標(biāo)的最大值由調(diào)整前的34 mm下降為調(diào)整后的10 mm，改善效果明顯。

(3)縱斷面調(diào)整后，軌面曲率幅值較小，且呈線(xiàn)性變化，避免了軌面曲率突變對(duì)輪軌接觸狀態(tài)的不利影響。

(4)縱斷面調(diào)整后，輪軌垂向力、輪軌橫向力以及車(chē)體垂向加速度等動(dòng)力學(xué)響應(yīng)指標(biāo)均有所減小。