◇中原工學(xué)院 陳仁霞 李士生

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)課程，具有內(nèi)容難度大、周期長等特點,學(xué)生學(xué)習(xí)面臨不少問題。本文建議采用“創(chuàng)設(shè)情境提出問題講授新知解決問題”的教學(xué)過程展開高等數(shù)學(xué)教學(xué)，融入數(shù)學(xué)建模思想和課程思政元素，增加課堂的趣味性，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。本文以第一類曲線積分為例，深入討論問題情境教學(xué)模式在工科各專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)策略中的應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)（高數(shù)）作為高校理工科專業(yè)學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，具有知識點多、學(xué)習(xí)周期長、課時緊張、理解困難等特點[1]。許多大學(xué)生覺得高數(shù)比較抽象，學(xué)習(xí)意義不大，在學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生單調(diào)枯燥的感覺，從而削弱乃至喪失學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致高數(shù)掛科率較高。在傳統(tǒng)的高數(shù)教學(xué)中，往往偏向于學(xué)生對特定方法和知識點的傳授，關(guān)注解題技巧較少，甚少要求學(xué)生發(fā)掘和解決生活中的具體問題，對學(xué)生創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng)不夠。基于此，如何提高教學(xué)質(zhì)量、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力變得尤為重要。

1 教學(xué)現(xiàn)狀分析以及相應(yīng)措施

近幾年，關(guān)于高數(shù)相關(guān)的課堂教學(xué)改革開展得如火如荼，與以往傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，雖然課堂教學(xué)有了一定的改善和進步，但課堂氛圍還不夠濃厚，精彩度不高，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性偏低。同時，大學(xué)一年級的學(xué)生所處的年齡階段，形象思維強于抽象思維。為了解決這一矛盾，我們從學(xué)生的知識和能力背景出發(fā)，依照科學(xué)研究和知識認知的規(guī)律，構(gòu)建以問題為中心，以學(xué)生為本的高數(shù)課堂教學(xué)實踐，實現(xiàn)了將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和知識運用能力。

一堂高數(shù)課的引入是否恰當(dāng)是一節(jié)課是不是“高效”的核心，有效地創(chuàng)設(shè)情境引入不僅能吸引學(xué)生的興趣和積極性，而且能起到事半功倍的效果。課堂是教學(xué)的主陣地，為了改變以往高數(shù)課堂的填鴨式教學(xué)，從教學(xué)需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的場景和氛圍，從而激發(fā)學(xué)生的共鳴，喚醒學(xué)生的思維認知，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到課堂的各個環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。作者認為“問題情境教學(xué)法”可有效提高課堂效率，問題情境教學(xué)法一般認為是由美國教育學(xué)家布魯納提出的，他指出對學(xué)習(xí)者最有意義的對象一定是學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了對學(xué)習(xí)資料的自身體驗和發(fā)展過程挖掘出來的。為了吸引學(xué)生的思考和興趣，課堂知識點的闡釋需要有相關(guān)的情境展示，而創(chuàng)設(shè)情境不僅要聯(lián)系生活實際，而且要符合學(xué)生的認知水平，讓學(xué)生積極主動參與課堂并思索問題的解決方式。

據(jù)了解，大多高校高數(shù)教師對問題情境教學(xué)模式是有了解的，但具體應(yīng)用到課堂教學(xué)的并不多，原因在于認為情境教學(xué)有些牽強，不能很好地應(yīng)用于高數(shù)課堂。問題情境教學(xué)法需要教師做大量的課前準備，才能將數(shù)學(xué)知識的淵源背景和實際生活場景聯(lián)系起來，這無疑要增加教師的工作量。為此，在課前準備中，教師自身要有淵博的知識儲備，包括對知識淵源的把控，知識點在生活中有哪些應(yīng)用，講授中如何設(shè)疑方便學(xué)生自然融入角色等，這樣方能把問題情境模式運用好，教學(xué)質(zhì)量將有質(zhì)的飛躍。我們建議按章節(jié)把查找相關(guān)知識實際背景的任務(wù)分配到高數(shù)課程組教師，教師經(jīng)過整理后添加到課件中。

2 第一類曲線積分的教學(xué)過程

高數(shù)的課堂教學(xué)不僅要求教會學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，而且要求學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題，從而達到教書育人的目標[1]。在高數(shù)課堂教學(xué)中，教師要突破教材的限制，由實際問題引出抽象的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生在充分了解數(shù)學(xué)知識的同時，注重理論結(jié)合實際，拓展延伸課堂教學(xué)內(nèi)容。我們建議在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—講授新知—解決問題”的教學(xué)模式。

多元函數(shù)積分學(xué)是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的重點和難點，共分為六類：二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分。由于積分類型眾多，學(xué)生特別容易混淆。若能把積分定義和實際問題建立聯(lián)系，讓同學(xué)們體會到進一步學(xué)習(xí)和探究的必要性，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面我們將按照學(xué)生的求知規(guī)律，基于客觀實際，遵循“提出問題—分析問題—解決問題—推廣應(yīng)用”的思路，以“第一類曲線積分”為例，對問題情境教學(xué)模式展開介紹。

2.1 創(chuàng)設(shè)情境

首先，教師PPT展示各種建筑的承重梁設(shè)計、直流特高壓輸電線路等，引出曲線形構(gòu)件質(zhì)量的思考。通過這些生活問題引發(fā)思考，既具有時代氣息，貼近生活，帶給學(xué)生切身體驗，又能激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。進而，著重介紹設(shè)計師設(shè)計項鏈的質(zhì)量[2]：為了美觀，設(shè)計師設(shè)計項鏈的各部分粗細程度往往不一樣，即密度是連續(xù)但不均勻的，但是無論把項鏈放在任何位置，從幾何上看，它都是一個曲線形物體，從而該問題可轉(zhuǎn)化為求解密度不均勻曲線形物體的質(zhì)量問題。學(xué)生們會疑惑：有的曲線形物體（比如項鏈）是有寬度的，為什么可以理解成曲線呢？討論：項鏈的寬度遠遠小于長度，我們把寬度都體現(xiàn)在密度函數(shù)上，比如比較粗的部分，密度函數(shù)取值大一些，比較細的部分，密度函數(shù)取值小一些，所以可以理解為曲線形物體。通過課堂實踐，使學(xué)生深入了解第一類曲線積分的實際背景，將實際問題抽象化和具體化，讓學(xué)生體會到科學(xué)探討的必要性，學(xué)習(xí)積極性進一步提高。

2.2 提出問題

在解決上述問題之前，教師以學(xué)生熟悉的定積分為切入點，利用經(jīng)典的元素法，即“分割—近似—求和—取極限”，求解密度不均勻直細棒的質(zhì)量：當(dāng)我們把直細棒拉伸扭曲就得到密度不均勻的彎曲細棒，進一步探討彎曲細棒的質(zhì)量求解問題，即研究曲線形構(gòu)件的質(zhì)量問題。這里采用由已知探求未知的過程，使學(xué)生運用已有知識逐步遷移解決新的問題。

2.3 講授新知

（1）定義：通過多媒體的動態(tài)演示，讓學(xué)生自然猜想到可以利用經(jīng)典的積分思想來求解彎曲細棒的質(zhì)量，可得到一個和式的極限在解決其它問題時也會用到這種和式的極限，從而拋開問題的背景，抽象出一個數(shù)學(xué)概念，即第一類曲線積分積分的思想告訴學(xué)生可以將生活中的復(fù)雜問題簡單化，把大目標分割成階段性容易實現(xiàn)的小目標，久而久之就可以實現(xiàn)夢想。

（2）性質(zhì)：首先讓學(xué)生回顧定積分和重積分有哪些性質(zhì)，在學(xué)生進行一番大腦思索后，進而和學(xué)生一同分析：第一類曲線積分和定積分、重積分從定義來看都可歸結(jié)為“和式的極限”，是否具有相似的性質(zhì)，最后用簡單明了的語言和具體實例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相應(yīng)的性質(zhì)。

（3）幾何意義：數(shù)形結(jié)合貫穿于整個高數(shù)的知識體系，其核心是通過直觀形象的圖形展示抽象的數(shù)學(xué)語言，使空洞抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、具體化、可視化，方便駕馭數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)[3]。從數(shù)形結(jié)合的視角結(jié)合定積分的幾何意義，給出第一類曲線積分的幾何意義，可描述如下：定積分的幾何意義為曲線梯形的面積，當(dāng)我們把曲邊梯形卷起來（見圖1）就得到一個柱面，原來的高就變成空間直角坐標系的曲面積分范圍由二維坐標系中軸上的閉區(qū)間推廣到三維坐標系中面上的一條曲線。進而展示，幾何意義的實際應(yīng)用（見圖2）：上海復(fù)興藝術(shù)中心的可移動的流蘇幕簾的面積，即柱面的面積。

圖1 第一類曲線積分的幾何意義

圖2 上海復(fù)興藝術(shù)中心流蘇幕簾

（4）計算公式：培養(yǎng)學(xué)生運用融會貫通、相互聯(lián)系、知識遷移的方式學(xué)習(xí)高數(shù)課程。課堂講授中，引導(dǎo)學(xué)生弄清后續(xù)概念和前續(xù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，辨別概念的內(nèi)涵與外延，加深相關(guān)知識的理解和掌握。對于一些具有相似或聯(lián)系的知識模塊，著重引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分它們之間的不同點和相同點，讓學(xué)生能夠全局把握高等數(shù)學(xué)的知識體系。

首先，教師板書寫定積分的應(yīng)用—平面曲線的弧長計算公式以及第一類曲線積分定義公式然后，提出問題：那么這兩種公式是否存在聯(lián)系呢？如何進行分析呢？其實只要認真觀察兩個式子，就會發(fā)現(xiàn)其中的玄機[5]。一是肯定和鼓勵學(xué)生得到的結(jié)論，二是啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索：弧長計算公式和第一類曲線積分都與曲線有關(guān)，前者計算曲線的長度，后者計算曲線的質(zhì)量，從形式上觀察，后者比前者多了一個被積函數(shù)，但是被積函數(shù)是定義在積分曲線上的，所以中的變量和應(yīng)該滿足積分曲線的方程，這樣被積函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，這時可以大膽假設(shè)第一類曲線積分是否也可以轉(zhuǎn)化為定積分來計算呢？引出第一類曲線積分計算方法的定理，利用元素法進行驗證定理的正確性。

2.4 解決問題

將數(shù)學(xué)建模元素融入高數(shù)課堂，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識解決實際生活和生產(chǎn)中涌現(xiàn)的實際問題的能力。做足功課之后，理論指導(dǎo)實踐，解決開篇問題，有始有終地展開教學(xué)—利用第一類曲線積分計算項鏈的質(zhì)量。建立模型：如果項鏈纏繞成半徑為10cm的圓，由項鏈的密度函數(shù)在曲線上的積分，即為項鏈的質(zhì)量。

分析問題：已知線密度在曲線上的積分表示曲線形物體的質(zhì)量。模型中密度函數(shù)是給定的，曲線方程怎么表示呢？引導(dǎo)學(xué)生將實際問題用數(shù)學(xué)語言來描述?？梢园亚€（圓）的參數(shù)方程表示為，運用上面的計算公式可得項鏈的質(zhì)量為：

2.5 歸納總結(jié)

歸納總結(jié)既是教學(xué)課堂的一個重要環(huán)節(jié)，又是學(xué)好高數(shù)的一個重要方法。在教學(xué)任務(wù)的最后階段，教師可以勾畫思維導(dǎo)圖（見圖3），引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，鞏固重難點，總結(jié)課堂中涉及的知識點、技巧、方法等，加強學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)。延伸第一類曲線積分在生活中的應(yīng)用，大型建筑的承重梁設(shè)計，測電壓輸電線路，讓學(xué)生們體會到數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，使學(xué)生能夠?qū)Φ谝活惽€積分有更加深入地直觀認識和理解。同時融入思想政治元素，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于激發(fā)學(xué)生深入思考問題，整合價值觀念，凝聚共同力量。通過第一類曲線積分在鳥巢承重梁的設(shè)計這一偉大工程中的應(yīng)用，切實幫助大學(xué)生樹立中國特色社會主義道路自信、科學(xué)自信、文化自信。

圖3 課堂小結(jié)思維導(dǎo)圖

2.6 教學(xué)效果分析

通過近兩年問題情境教學(xué)模式在本人授課班級的實施，同時在課堂中融入課程思政元素，結(jié)合課上課下的習(xí)題和作業(yè)反饋，綜合過程考核和期末考試情況分析，所作的第一類曲線積分教學(xué)設(shè)計，不僅傳授了課程知識，而且從多維度提高了教學(xué)質(zhì)量，實現(xiàn)了教學(xué)改革的目標。首先，通過具體生活實例引入，讓學(xué)生了解第一類曲線積分的研究背景，即創(chuàng)設(shè)合適的情境提出來源于實際生活的問題；其次，由定積分的實際應(yīng)用出發(fā)進行剖析，與當(dāng)前問題進行類比，讓學(xué)生明確研究思路，即總結(jié)已有知識并進行拓展和創(chuàng)新，明確提出第一類曲線積分概念的必要性；此外，在了解了第一類曲線積分的性質(zhì)和物理意義、幾何意義的基礎(chǔ)上，掌握了第一類曲線積分的計算公式，解決了開篇問題：項鏈質(zhì)量的求解。

3 結(jié)束語

在高數(shù)課堂中，教師按照不同的知識模塊和所授專業(yè)的學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，不僅能夠完備學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，刺激學(xué)生的鉆研欲望，深化學(xué)生的求知意識，推動學(xué)生的創(chuàng)新動機，而且能夠有效地提升高數(shù)課堂的教學(xué)效果。又如在梯度概念的課堂教學(xué)設(shè)計中，通過引入黃河水和瀑布水流向的實例，學(xué)生可以明晰梯度概念的研究背景。高數(shù)教學(xué)模式的改進，一直是高校數(shù)學(xué)教師努力的方向之一，如何進行行之有效的課堂教學(xué)設(shè)計是關(guān)鍵?；趩栴}情境模式的課堂教學(xué)設(shè)計可以有效地促進師生互動，加大學(xué)生參與度，提升學(xué)生學(xué)習(xí)激情，進一步提高教師的教學(xué)質(zhì)量。