周雨潔，宋旭明，鄒 卓，唐 冕

（1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410075；2.杭州市交通規(guī)劃設(shè)計研究院有限公司，浙江杭州 310000）

引言

矮塔斜拉橋憑借美觀、經(jīng)濟(jì)和剛度大和施工方便等優(yōu)點，在修建梁式橋跨度過大、采用斜拉橋不夠經(jīng)濟(jì)或者主塔高度受限時具有獨特的優(yōu)勢，近年來得到廣泛關(guān)注和應(yīng)用。橋梁在地震作用下的響應(yīng)分析是設(shè)計過程中的重要任務(wù)，目前常用的研究方法有綜合運用反應(yīng)譜法和動力時程分析法進(jìn)行分析［1-4］和傳統(tǒng)pushover分析法［5-6］。在矮塔斜拉橋抗震性能研究中，研究者大多仍采用反應(yīng)譜和時程分析法，如Qu等［7］使用時程分析法研究獨塔單索面矮塔斜拉橋樁土相互作用對結(jié)構(gòu)動力特性及地震響應(yīng)的影響，歐陽碩［8］采用反應(yīng)譜法和時程分析法對環(huán)形矮塔斜拉橋進(jìn)行確定性地震激勵分析。

近年來，推倒分析方法作為一種結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)的近似計算方法，可以追蹤結(jié)構(gòu)從屈服到極限狀態(tài)的整個非彈性變形過程，以其概念簡明、操作簡便、能用圖形方式直觀地表達(dá)結(jié)構(gòu)的抗震能力與需求等特點，正逐漸受到重視和推廣。［9］

21世紀(jì)初，Chopra等［10-11］提出考慮高階模態(tài)影響的模態(tài)Pushover方法（modal pushover analysis，MPA），并運用此法對規(guī)則和非規(guī)則建筑進(jìn)行了抗震需求評估。目前，MPA法在建筑領(lǐng)域有較為成熟的應(yīng)用，在橋梁領(lǐng)域的研究始于Paraskeva等［12］將MPA引入橋梁抗震分析當(dāng)中，并結(jié)合實例分析得出MPA較傳統(tǒng)pushover方法更為精確。魏標(biāo)［13］等運用MPA法對4座非規(guī)則連續(xù)梁進(jìn)行橫橋向地震位移需求的求解，通過與非線性時程分析對比，發(fā)現(xiàn)MPA能夠合理的估計地震位移需求；曹颯颯［14］等運用MPA法和時程分析法對某多聯(lián)合連續(xù)梁進(jìn)行地震響應(yīng)分析，發(fā)現(xiàn)MPA法可以對多聯(lián)連續(xù)梁橋進(jìn)行有效的抗震性能評估；申現(xiàn)龍等［15］以實際工程為例，通過與非線性時程分析對比，驗證了Pushover方法用于CFST拱橋縱向地震需求評估的可行性。宋力等［16］采用MPA法與時程分析法對大跨度塔斜拉橋進(jìn)行Pushover分析，驗證了MPA法用于大跨度斜拉橋抗震性能評估的合理性。

在以往的研究者中，推倒分析多針對于連續(xù)梁橋、拱橋和常規(guī)斜拉橋，而運用于對矮塔斜拉橋進(jìn)行抗震性能的研究較少，對采用MPA法對大跨徑混合體系多塔矮塔斜拉橋的抗震性能研究少有相關(guān)文獻(xiàn)。文中以某混合體系多塔矮塔斜拉橋為工程背景，分別研究結(jié)構(gòu)彈性和彈塑性階段地震響應(yīng)，探討推倒分析對于多塔矮塔斜拉橋抗震計算的適用性。

1 MPA法相關(guān)理論

1.1 基本原理與假定

推倒分析的基本思想是用具有一定分布規(guī)律的側(cè)向力來模擬地震作用，通過將此側(cè)向力不斷單調(diào)遞增作用于結(jié)構(gòu)來分析結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。計算時先建立結(jié)構(gòu)有限元模型，使用等效的側(cè)向力逐漸將結(jié)構(gòu)推至事先確定的目標(biāo)位移，研究結(jié)構(gòu)在推覆過程中的彈塑性力學(xué)性能，由此評估整體結(jié)構(gòu)或局部構(gòu)件是否達(dá)到抗震設(shè)計的目標(biāo)性能。

推倒分析理論基于以下2個假定［17］：（1）結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)只受基本振型控制，可用等效單自由度體系（SDOF）代替原結(jié)構(gòu)多自由度體系（MDOF）進(jìn)行分析；（2）結(jié)構(gòu)沿高度方向的變形由位移形狀向量?表示。在整個推覆過程中，形狀向量?不會隨著結(jié)構(gòu)的變形而變化。

1.2 等效自由度的轉(zhuǎn)換

用結(jié)構(gòu)的頂點位移Xt（t）和形狀向量?來表示結(jié)構(gòu)的位移向量X（t）：

定義單自由度體系的位移X*（t）為：

則可以得到多自由度結(jié)構(gòu)相應(yīng)的單自由度體系運動微分方程：

式中：M*、C*、K*分別為單自由度體系的等效質(zhì)量矩陣、等效阻尼矩陣、等效剛度矩陣?（t）為地震地面加速度；?*（t）為單自由度體系的加速度；?（t）為單自由度體系的速度。

其中：

式中：M、C、K為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；I為單位向量。

在振型向量已知的情況下，單自由度體系的基底剪力和位移關(guān)系曲線可由多自由體系的基底剪力和頂點位移關(guān)系曲線轉(zhuǎn)化求得。通過多自由度體系與等效單自由度體系的轉(zhuǎn)化關(guān)系，對原結(jié)構(gòu)進(jìn)行推倒，求得等效單自由度體系在地震作用下的位移，反算出原結(jié)構(gòu)的目標(biāo)位移，然后再次對原結(jié)構(gòu)推覆至目標(biāo)位移即可評價結(jié)構(gòu)的抗震性能。

1.3 模態(tài)推倒分析理論

模態(tài)推倒分析（MPA）由Chopra等［10-11］提出，并被驗證應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)是可行的。MPA分別采用與各階模態(tài)相應(yīng)的側(cè)向力模式推倒結(jié)構(gòu)，計算相應(yīng)于各階模態(tài)的地震響應(yīng)，最后通過組合各階模態(tài)的地震響應(yīng)，得到結(jié)構(gòu)總地震響應(yīng)。MPA的基本實施步驟如下：

（1）建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，計算結(jié)構(gòu)的動力特性，主要是結(jié)構(gòu)的自振周期Tn和模態(tài)向量?n；

（2）對于第n階模態(tài)，采用側(cè)向力模式對m?n結(jié)構(gòu)進(jìn)行推倒，得到結(jié)構(gòu)的Vb-u曲線，其中，m為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，Vb為總的基底剪力，u為控制點位移；

（3）將Vb—u曲線轉(zhuǎn)化成A—D能力譜曲線，即令：

其中，Mn為模態(tài)參與質(zhì)量，Mn=(?Tnm I)2/(?Tnm?n)，I為單位向量；Γn為模態(tài)參與系數(shù)，Γn=?TnmI)/(?Tnm?n)，I為單位向量；?m為控制點對應(yīng)的?m值；

（4）將能力譜與非彈性需求譜組合后，可以求得第n階模態(tài)的模態(tài)位移和基底剪力；

（5）按照一定方式組合上一步各模態(tài)的地震響應(yīng)，得到結(jié)構(gòu)總地震響應(yīng)。

1.4 矮塔斜拉橋推倒分析實施

目前，針對多塔矮塔斜拉橋的抗震性能研究多采用反應(yīng)譜法和動力時程分析法，文中將推倒分析方法應(yīng)用于多塔矮塔斜拉橋地震響應(yīng)的求解，具體思路如下：

（1）將推倒分析方法應(yīng)用于多塔矮塔斜拉橋彈性地震響應(yīng)的求解，在此階段分別運用傳統(tǒng)推倒分析和模態(tài)推倒分析（MPA）對多塔矮塔斜拉橋全橋進(jìn)行推倒分析，然后將推倒分析結(jié)果與反應(yīng)譜分析和線性時程分析結(jié)果對比。

（2）在進(jìn)行彈性階段的求解之后，評估傳統(tǒng)模式推倒分析和MPA法能否較為準(zhǔn)確的求解彈性地震響應(yīng)，并判斷是否應(yīng)用這兩種方法進(jìn)一步求解多塔矮塔斜拉橋的彈塑性地震響應(yīng)。

（3）進(jìn)行彈塑性階段地震響應(yīng)求解，控制點的選取、側(cè)向推覆力模式、振型的選擇、以及結(jié)果組合方式均與彈性階段推倒分析相同，性能點求解方法分別采用ATC-40能力譜法［18］和Chopra改進(jìn)能力譜法，將這兩種方法的求解結(jié)果與非線性時程分析對比，研究推倒分析是否能夠較為準(zhǔn)確的求解多塔矮塔斜拉橋的彈塑性地震響應(yīng)。

推倒分析方法的主要工作是求得側(cè)向荷載模式下結(jié)構(gòu)的力-位移關(guān)系曲線，以及評價結(jié)構(gòu)抗震性能。具體的實施步驟如圖1所示［19］。

圖1 推倒分析計算步驟圖Fig.1 Step diagram of pushover analysis and calculation

文中以矮塔斜拉橋為工程背景對推倒分析進(jìn)行適用性研究，具體分析步驟為：

（1）根據(jù)橋梁工程背景，利用有限元軟件SAP2000建立模型；

（2）對橋梁進(jìn)行反應(yīng)譜分析，并根據(jù)加速度反應(yīng)譜，利用SersmoArtif軟件合成7條人工地震波，對該橋進(jìn)行線性時程分析；

（3）將地震反應(yīng)譜放大3倍，再合成7條人工地震波作為地震動輸入，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時程分析；

（4）對結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈性推倒分析，并將結(jié)果與反應(yīng)譜和線性時程結(jié)果對比分析，探究傳統(tǒng)推倒和模態(tài)推倒在多塔矮塔斜拉橋地震分析中的優(yōu)劣；

（5）對結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性推倒分析，并將結(jié)果與非線形時程結(jié)果對比分析，討論模態(tài)分析中2種計算方法對該橋在塑性狀態(tài)下的精確程度。

2 工程背景及有限元分析

2.1 工程背景

某多塔矮塔斜拉橋跨徑組合為（120+2×210+120）m，三塔四跨式，B、C、D三個主墩，其中C主墩塔梁墩固結(jié)，B、D主墩設(shè)支座，塔梁固結(jié)，形成剛構(gòu)-連續(xù)混合體系。該橋橋型布置如圖2所示。索塔采用獨柱式鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，截面為八邊形，塔高35 m，主塔截面順橋向等寬段厚5 m，塔底10 m范圍，寬度由5 m漸變到6 m，橫橋向3 m寬。斜拉索為單索面雙排索，采用Φs15.2 mm型環(huán)氧涂層鋼絞線拉索體系，在塔上采用分絲管式索鞍通過，梁上索距4.0 m，塔上索距1 m。橋塔立面布置圖見圖3（a）。主梁為預(yù)應(yīng)力混凝土變截面箱梁，采用整幅式斜腹板單箱三室截面。箱梁頂板寬38.50 m，底板寬16～19 m，懸臂長8.25 m?？缰薪孛媪焊?.1 m，支點截面梁高7.3 m；中腹板厚0.65 m，邊腹板厚1.2 m。詳細(xì)數(shù)據(jù)見圖4（a）。主墩采用鋼筋混凝土花瓶式橋墩，縱橋向厚度5.5 m，墩頂5 m和墩底3 m范圍內(nèi)為實心，其余為空心，壁厚順橋向和橫橋向均為1.2 m。主墩下接5.5 m厚的承臺，平面尺寸為15 m（橫）×25 m（縱），承臺下設(shè)15-Φ2.5 m群樁基礎(chǔ)，布置3排，每排5根。主墩立面圖詳見圖3（b），主墩和橋塔關(guān)健截面圖詳見圖4（b）、（c）。

圖2 橋型立面布置圖Fig.2 Layout of bridge elevation（unit：cm）

圖3 橋塔及主墩立面布置圖Fig.3 Layout of tower and main pier elevation（unit：cm）

圖4 主梁、主墩和主塔截面圖Fig.4 Sectional drawing of main beam，main pier and main tower（unit：cm）

2.2 有限元模型

采用有限元程序SAP2000建立空間有限元模型，主梁、主塔和橋墩均用梁單元，斜拉索采用桁架單元，主梁和斜拉索以及橋塔與拉索錨固區(qū)用主從關(guān)系模擬，綜合考慮地質(zhì)條件，以及研究目的，忽略樁基礎(chǔ)和相鄰引橋耦聯(lián)振動的影響，故直接對墩底進(jìn)行固結(jié)處理。C墩的塔梁墩固結(jié)；B和D墩的塔梁固結(jié)，主梁與主墩之間設(shè)置一般支座，忽略支座的非線性，墩塔采用mander本構(gòu)；A和E墩約束主梁橫向位移，全橋有限元模型如圖5所示。在主墩墩底、主塔與主梁以及C號墩梁的交界處采用全約束，其余的墩梁之間橫豎向平動和繞縱橋向轉(zhuǎn)動予以約束。文中研究時采用軸力彎矩（PMM）相關(guān)的集中數(shù)值鉸模擬，塑性鉸的位置設(shè)置在該橋各墩墩底、剛構(gòu)橋墩的墩頂。由于矮塔斜拉橋主塔剛度較小，同時在反應(yīng)譜分析和線性時程分析時發(fā)現(xiàn)各塔塔頂位移遠(yuǎn)大于墩頂位移，為了研究在地震作用下主塔屈服的可能性，在各主塔塔底也設(shè)置了塑性鉸。

圖5 全橋有限元模型Fig.5 Finite element model of full bridge

2.3 地震波的選取

根據(jù)本橋地震安全性評價報告，橋位區(qū)50年10%超越概率動峰值加速度大于0.05 g，地震動反應(yīng)譜特征周期為0.4 s，對應(yīng)地震基本烈度為Ⅵ度，按Ⅶ度設(shè)防，本橋橋址區(qū)場地類別屬Ⅱ類。經(jīng)過試算發(fā)現(xiàn)，在Ⅶ度E2地震作用下，該橋橫向和縱向均處于彈性狀態(tài)，因此在進(jìn)行反應(yīng)譜分析時，根據(jù)Ⅶ度E2設(shè)計加速度反應(yīng)譜，利用SersmoArtif軟件合成7條人工地震波，地震波加速度反應(yīng)譜曲線與設(shè)計加速度反應(yīng)譜曲線對比圖如圖6所示。由此可知，人工地震波加速度反應(yīng)譜和設(shè)計加速度反應(yīng)譜匹配性良好。

圖6 E2加速度反應(yīng)譜對比圖Fig.6 E2 acceleration response spectrum comparison chart

為了研究推倒分析在該橋的彈塑性地震響應(yīng)的適用性，有必要進(jìn)行非線性時程分析，為后續(xù)分析提供對比依據(jù)，試算后，將Ⅶ度E2地震反應(yīng)譜放大3倍后該橋進(jìn)入塑性狀態(tài)，人工地震波加速度反應(yīng)譜曲線與3倍Ⅶ度E2設(shè)計反應(yīng)譜曲線對比如圖7所示，兩者依舊匹配性良好。

圖7 放大的加速度反應(yīng)譜對比圖Fig.7 Magnified acceleration response spectrum comparison chart

2.4 動力特性分析

根據(jù)SAP2000全橋有限元模型，運用多重Ritz向量法計算出結(jié)構(gòu)的自振特性，取其前100階振型，此時結(jié)構(gòu)順橋和橫橋向的振型參與質(zhì)量已達(dá)到95%以上。將縱橫向振型參與質(zhì)量大于1%的模態(tài)參數(shù)分別列入表1～表2。

表1 縱向主要振型Table 1 Main vibration mode in longitudinal direction

表2 橫向主要振型Table 2 Main vibration mode in horizontal direction

3 彈性推倒分析

傳統(tǒng)Pushover分析是一種估算結(jié)構(gòu)彈塑性地震響應(yīng)的近似方法，其計算精度受加載模式的影響，不如時程分析法，但優(yōu)點是可避免地震波選擇的不確定性，同時通過設(shè)置推倒終止指標(biāo)，可一定程度上反映結(jié)構(gòu)的抗震能力［20］。但對于高階模態(tài)對結(jié)構(gòu)抗震性能影響較大的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)推倒分析往往失真，因此研究人員提出多模態(tài)推倒分析方法及其改進(jìn)方法對結(jié)果進(jìn)行修正，MPA法優(yōu)勢突出：考慮高階振型影響，且計算過程無需計算各階模態(tài)實時動力特性，用SAP2000、MIDAS等即可實施［21］。文中首先對全橋順向和橫向分別進(jìn)行傳統(tǒng)荷載模式推倒分析和模態(tài)推倒分析（MPA），然后將分析結(jié)果與反應(yīng)譜和線性時程結(jié)果進(jìn)行對比，評估多塔矮塔斜拉橋處于彈性狀態(tài)下2種推倒分析方法的精確性。

對該矮塔斜拉橋分別進(jìn)行順橋向和橫橋向的反應(yīng)譜分析和線性時程分析，反應(yīng)譜分析采用前100階振型，線性時程分析時阻尼選用瑞利阻尼，順橋向瑞利阻尼選擇第1階和第10階模態(tài)計算，橫橋向瑞利阻尼選擇第4階和第18階模態(tài)計算。經(jīng)計算時程分析地震波的選取和瑞利阻尼的取值是合理的。

3.1 傳統(tǒng)荷載模式推倒分析

在進(jìn)行傳統(tǒng)荷載模式推倒分析時，控制點選取結(jié)構(gòu)最大位移處，即順橋向的中塔C塔頂，橫橋向的邊塔B塔頂。側(cè)向推覆力模式選取6種側(cè)向荷載分別進(jìn)行推倒，性能點使用能力譜法進(jìn)行求解，由于處于彈性階段，能夠準(zhǔn)確的求解性能點。傳統(tǒng)荷載模式推倒分析縱橫向性能點求解如圖8所示，易知在傳統(tǒng)荷載模式下橫縱向均處于彈性狀態(tài)。

圖8 縱橫向性能點求解圖Fig.8 Schematic diagram of solving performance points in the vertical and horizontal direction

順橋向與橫橋向推倒分析性能點求解結(jié)果如表3所示，普遍認(rèn)為時程分析法是較為準(zhǔn)確的分析方法，但反應(yīng)譜法的求解效率更高，從表中易看出時程與反應(yīng)譜相差不大，故選取反應(yīng)譜法的結(jié)果作為基準(zhǔn)。綜合順橋向和橫橋向傳統(tǒng)模式推倒分析的性能點求解結(jié)果，可以看出反應(yīng)譜和傳統(tǒng)推倒分析的求解有較大的偏差，甚至在順橋位移偏差均值達(dá)到183%。究其原因，傳統(tǒng)推倒分析方法一般對結(jié)構(gòu)在第一階振型控制下的地震響應(yīng)有較好預(yù)測，但多塔矮塔斜拉橋除第一階振型外，高階振型對地震響應(yīng)也有較大影響，因此傳統(tǒng)模式推倒分析不適合求解多塔矮塔斜拉橋的地震響應(yīng)。

表3 傳統(tǒng)分析性能點的求解對比結(jié)果Table 3 Solution comparison results of performance points in traditional analysis

3.2 多模態(tài)推倒分析（MPA）

在進(jìn)行多模態(tài)推倒分析時，應(yīng)選取參與質(zhì)量大于1%，且保證所選振型模態(tài)參與質(zhì)量總和大于90%的振型。計算時順橋向選擇第1、3、6、10、29、36階，總的振型參與質(zhì)量系數(shù)達(dá)到94.9%；橫橋向選擇第4、8、12、13、15、18、51階，總振型參與質(zhì)量系數(shù)達(dá)到91.3%；控制點選取各階模態(tài)振型位移最大的節(jié)點，具體見表4。性能點使用能力譜法進(jìn)行求解，最后運用SRSS方法組合各階模態(tài)結(jié)果求得結(jié)構(gòu)總地震響應(yīng)。

表4 各階模態(tài)控制點位置Table 4 Position of control points of each mode

考慮到各階模態(tài)所選控制點位置不同，在求解結(jié)構(gòu)總地震響應(yīng)時性能點統(tǒng)一轉(zhuǎn)換成C塔頂。由表5 MPA分析性能點的彈性求解知，MPA法求解偏差不大，且順橋向、橫橋向的位移偏差值僅在1%以內(nèi)，可以看出，針對該橋型MPA法在評估位移響應(yīng)值時精確度滿足工程要求。對關(guān)鍵位置分別用反應(yīng)譜、時程分析法和MPA法計算地震響應(yīng)，從圖9可知：反應(yīng)譜和MPA分析在順橋向地震響應(yīng)的求解偏差基本在20%之內(nèi)，經(jīng)計算C墩和C塔的位移和內(nèi)力的求解偏差基本在5%之內(nèi)。

圖9 反應(yīng)譜、線性時程分析及MPA法內(nèi)力對比圖Fig.9 Internal forces of response spectrum method，elastic time history analysis method and MPA method

表5 MPA分析性能點的彈性求解對比結(jié)果Table 5 Elastic solution comparison results of performance points in MPA analysis

由于本橋為混合體系矮塔斜拉橋，只有C墩的塔梁墩固結(jié)，縱橋向其他墩都是活動支座，因此在順橋向所選的模態(tài)參與質(zhì)量較大的6階振型中，A和E墩位移為0，并未產(chǎn)生振動，B和D墩分別只在29階和36階才有結(jié)果，產(chǎn)生局部振動，因此出現(xiàn)求解偏差。在多選擇2個縱向活動墩產(chǎn)生振動的模態(tài)進(jìn)行推倒計算之后，發(fā)現(xiàn)縱向活動墩的位移和內(nèi)力求解偏差減小至10%以內(nèi)。而在橫橋向地震響應(yīng)的求解中反應(yīng)譜與MPA推倒分析的偏差基本都在15%之內(nèi)，因此，MPA法對橫橋向地震響應(yīng)的求解準(zhǔn)確性較高。綜合上述分析，可得對彈性狀態(tài)下的混合體系矮塔斜拉橋進(jìn)行地震評估時MPA法較傳統(tǒng)推倒法更為精準(zhǔn)。

4 彈塑性推倒分析

通過上面對比分析，易知傳統(tǒng)推倒分析在求解該橋型彈性階段地震響應(yīng)有很大偏差，隨后在彈塑性地震響應(yīng)分析中僅采用MPA法。在實施MPA法時，模態(tài)的選擇、控制點的選取和模態(tài)結(jié)果組合方式與彈性模態(tài)推倒分析相同，但性能點求解分別采用ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法，將求解結(jié)果與非線性時程分析結(jié)果對比，研究MPA推倒分析方法在混合體系矮塔斜拉橋彈塑性地震響應(yīng)分析中的適用性。

考慮到各階模態(tài)所選控制點位置不同，采用同上處理。在圖7所示的3倍Ⅶ度E2地震波作用下，進(jìn)行非線性時程分析，將其結(jié)果（7條波平均值）作為標(biāo)準(zhǔn)來探究該橋在塑性狀態(tài)下ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法的求解準(zhǔn)確性。由非線性時程知，在順橋向地震作用下，僅在中墩C墩底出現(xiàn)塑性鉸；而在橫橋向地震作用下，中墩C首先出現(xiàn)塑性鉸，之后中塔塔底出現(xiàn)塑性鉸，最后兩邊塔塔底出現(xiàn)塑性鉸，而在其他位置未出現(xiàn)塑性鉸。這表明在橫向地震作用下塔底相較于主墩頂更薄弱，在設(shè)計中應(yīng)對塔底進(jìn)行特殊處理加強。

4.1 順橋向分析

順橋向MPA法性能點求解圖示見圖10（a），可以看出順橋向僅第3階推倒分析性能點進(jìn)入塑性狀態(tài)。下面分別運用ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法求解第3階推倒性能點，求解圖示見圖11。組合各階模態(tài)推倒結(jié)果，結(jié)構(gòu)在3倍Ⅶ度E2地震下的性能點求解偏差見表7（a），可知：ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法的求解偏差都在20%之內(nèi)，且2種方法的求解偏差相差很小。

圖10 縱橫向性能點求解圖Fig.10 Schematic diagram of solving performance points in the vertical and horizontal direction

圖11 第3階推倒性能點求解圖Fig.11 Solution graph of the third-order downturn performance point

非線性時程和MPA法所計算的各關(guān)鍵位置的地震響應(yīng)如圖12所示。由圖12順橋向分析可知：ATC-40法和Chopra的求解偏差相當(dāng)，對位移的求解偏差較小，基本在15%之內(nèi)；對塔內(nèi)力的求解偏差基本在25%之內(nèi)；對墩底彎矩的求解偏差較大，C墩和D墩墩底彎矩偏差超過30%，但是用推倒分析來評估地震下的墩底內(nèi)力會較為保守。

圖12 非線性時程分析、ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法內(nèi)力對比圖Fig.12 Internal forces of non-linear time history analysis method，ATC-40 capacity spectrum method and Chopra improved capacity spectrum method

表6中順橋向可得MPA對墩底塑性轉(zhuǎn)角的求解偏差也很大，其原因與建模時采用的軸力彎矩（PMM）相關(guān)鉸有一定關(guān)系。2種方法計算時墩軸力變化幅度不同，MPA法分析時墩軸力變化幅度較小，而非線性時程分析時變化幅度大。在墩底取相同的彎矩值時，時程分析恒載軸力與動軸力組合后的值較小，軸力彎矩（PM）屈服面上的屈服彎矩相對較小，從而塑性鉸轉(zhuǎn)角比MPA法分析時大。

表6 塑性轉(zhuǎn)角求解偏差Table 6 Plastic turning angle solution deviation rad

4.2 橫橋向分析

圖10（b）得出僅第4、8、12階推倒分析性能點進(jìn)入塑性狀態(tài)，采用與順橋向同樣的方法，分別求出結(jié)構(gòu)在3倍7度E2地震下ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法的位移、基底剪力以及該橋各關(guān)鍵位置的地震響應(yīng)。

由表7（b）知，ATC-40法和Chopra的求解偏差相當(dāng)，且控制點位移偏差都在10%之內(nèi)，而塔底彎矩的求解偏差較大，雖然B墩和C墩墩底彎矩偏差有50%，但采用模態(tài)推倒分析塔底內(nèi)力會比較保守。此外各墩墩底內(nèi)力的求解偏差都在20%之內(nèi)。MPA對塑性轉(zhuǎn)角的求解偏差出現(xiàn)和順橋向同樣的現(xiàn)象。

由表7可知，ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法的求解偏差都在25%之內(nèi)，且兩種計算方法求解偏差之間相差很小，可見兩者在多塔矮塔斜拉橋的塑性地震響應(yīng)求解方面基本具有良好的統(tǒng)一性。

表7 MPA分析性能點的彈塑性求解對比結(jié)果Table 7 Elastoplastic solution comparison results of performance points in MPA analysis

該橋進(jìn)入塑性狀態(tài)后，兩種計算結(jié)果在縱橫向基底剪力與非線性時程偏差較大，均在15%以上，說明這兩種性能點求解方法在對基底剪力的預(yù)測存在誤差，可能由于多塔矮塔斜拉橋的結(jié)構(gòu)特性，將總響應(yīng)性能點統(tǒng)一到C塔頂后，忽略其他模態(tài)控制點的影響，造成內(nèi)力預(yù)測出現(xiàn)偏低現(xiàn)象，建議運用ATC-40和Chopra法計算混合體系多塔斜拉橋地震下內(nèi)力響應(yīng)時，需要綜合考慮其他模態(tài)控制點的影響。從控制點位移來看，通過這兩種計算方法算出來的結(jié)果偏保守，且偏差均在10%以下，因此針對該橋的地震位移響應(yīng)預(yù)測分析依舊是可靠的。MPA法對混合體系多塔矮塔斜拉橋評估關(guān)鍵響應(yīng)量還是能做出有效評估的，與時程分析相比，時間大大縮短，可用于此類橋梁的初步抗震設(shè)計。

5 結(jié)論

文中以一座混合體系多塔矮塔斜拉橋為背景，對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行6種傳統(tǒng)荷載模式推倒分析和多模態(tài)推倒分析（MPA），通過與反應(yīng)譜法和非線性時程分析結(jié)果進(jìn)行比對，探究推倒分析對彈性狀態(tài)和彈塑性狀態(tài)混合體系矮塔斜拉橋地震響應(yīng)求解的適用性，得到以下結(jié)論：

（1）混合體系多塔矮塔斜拉橋的地震響應(yīng)不僅由一階振型控制，因此傳統(tǒng)模式推倒分析不能準(zhǔn)確求解矮塔斜拉橋彈性地震響應(yīng)?？紤]高階振型的模態(tài)推倒分析可較準(zhǔn)確地預(yù)測矮塔斜拉橋的彈性地震響應(yīng)。

（2）MPA法能夠較準(zhǔn)確地求解多塔矮塔斜拉橋關(guān)鍵位置的彈塑性地震響應(yīng)，偏差基本在20%之內(nèi)。雖然部分位置偏差略大，但是模態(tài)推倒分析法的求解結(jié)果更為保守。

（3）ATC-40能力譜法和Chopra改進(jìn)能力譜法的求解偏差都在25%之內(nèi)，且兩種計算方法求解偏差之間相差很小，可見兩者在多塔矮塔斜拉橋的塑性地震響應(yīng)求解方面基本具有良好的統(tǒng)一性。

（4）在塑性狀態(tài)下，兩種計算方法得出的縱橫向基底剪力與非線性時程偏差較大，由于多塔矮塔斜拉橋的結(jié)構(gòu)特性，經(jīng)簡化處理后，忽略其他模態(tài)控制點的影響，造成內(nèi)力預(yù)測出現(xiàn)偏低現(xiàn)象，建議采用ATC-40和Chopra法計算混合體系多塔斜拉橋地震下內(nèi)力響應(yīng)時，需要綜合考慮其他模態(tài)控制點的影響。