宋永山，高 盟，陳青生

（1.山東科技大學山東省土木工程防災減災重點實驗室，山東青島 266590；2.山東科技大學土木工程與建筑學院，山東青島 266590；3.華東交通大學江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西南昌 330013）

引言

高鐵建設快速發(fā)展，列車運行速度不斷提高，其產(chǎn)生的環(huán)境振動污染也逐漸加劇，列車軌道及沿線地基隔振減振措施成為研究熱點［1-4］。

波阻板（wave impedance block，WIB）作為一種有效隔振方法自其提出便受到了廣泛關(guān)注。1991年，Schmid等［5］首次提出可以通過在一定深度處埋設剛性障礙物人工實現(xiàn)高鐵振動影響的減小。并與剛性墻對高鐵振動隔振效果比較，證明了該方法的有效性。Yang等［6］對彈性地基中列車荷載作用下空溝、填充溝、WIB隔振效果及其設計參數(shù)進行研究，發(fā)現(xiàn)WIB有良好隔振效果。高廣運等［7］建立飽和地基2.5維有限元模型，分析空溝、混凝土墻和WIB隔振效果，同樣得到WIB隔振效果最好的結(jié)論。為深入研究WIB隔振措施對高鐵振動頻帶衰減影響，Takemiya等［8-9］建立WIB隔振數(shù)值分析模型，發(fā)現(xiàn)WIB對低于15.3 Hz的低頻段有較好隔振效果。李志江等［10］對比彈性地基中實體WIB與蜂窩WIB隔振效果，認為蜂窩WIB隔振效果更好，但實體WIB對0～10 Hz的低頻振動更有效。時剛等［11］建立彈性地基邊界元模型，分析了WIB對Rayleigh波的隔振能力，并討論了WIB埋深、厚度等參數(shù)影響。周鳳璽等［12］建立彈性地基-飽和多孔介質(zhì)WIB模型，分析了一種含液飽和多孔WIB的地基隔振性能。田抒平等［13-14］發(fā)展了一種帶孔WIB填充Duxseal的隔振方法，分別建立二維均質(zhì)、分層彈性地基邊界元模型分析了隔振材料直徑、厚度和埋深等對隔振效果的影響。WIB的隔振效果、參數(shù)設計等得到了充分研究，一些新興WIB隔振材料也被發(fā)展。然而，這些研究往往將地基視為彈性或飽和兩項介質(zhì)，以簡化復雜的動力問題，這與實際工程相差較大。

在實際工程中，由于地下水位開挖、滲水和地下水補給，地基多為孔隙中含有少量氣泡的準飽和土［15］。Richart等［16］進行試驗時發(fā)現(xiàn)飽和度對準飽和土中波的傳播有重要影響。近年來，準飽和地基中振動傳播理論逐漸發(fā)展。Vardoulakis等［17］基于固-流-氣系統(tǒng)建立了準飽和介質(zhì)場和動態(tài)本構(gòu)方程以研究準飽和介質(zhì)中簡諧波振動響應規(guī)律，建立了VB理論；Bardet等［18］通過對比VB理論及Biot理論應用范圍，發(fā)現(xiàn)VB理論在某些情況下會失效，因此基于Biot理論推導了準飽和介質(zhì)中P波傳播速度和衰減近似表達式；Yang［19］基于Biot理論推導斜向SV波在準飽和地基中傳播方程，對其傳播特性進行了研究。在國內(nèi)，李保忠等［20］基于Biot理論，對準飽和介質(zhì)中體波傳播特性進行研究，并分析飽和度變化對橫觀各向同性介質(zhì)中體波振動響應的影響，得到三種體波衰減受飽和度影響較大而SH波不受飽和度影響的結(jié)論；夏唐代等［21-22］同樣基于Biot理論對準飽和介質(zhì)瑞利波特征方程進行推導，發(fā)展了不同透水邊界條件、飽和度變化對瑞利波傳播速度、位移響應的影響。王瀅等［23］推導準飽和地基中內(nèi)源瞬態(tài)荷載動力響應解答，發(fā)現(xiàn)飽和度變化對內(nèi)源爆炸荷載產(chǎn)生的襯砌位移、應力和孔壓有較大影響。以上研究表明，地基飽和度變化對振動傳播特性有較大影響，P波、瑞利波、體波等在準飽和介質(zhì)中的傳播特性研究不斷完善，但高鐵移動荷載產(chǎn)生的振動傳播及隔振，因其復雜性及計算難度較大，相關(guān)研究還未見報道。

因此，建立準飽和地基-高鐵列車-WIB隔振模型，推導準飽和地基2.5維有限元波動方程，分析高鐵移動荷載作用下準飽和地基WIB隔振效果?；贐iot波動理論，考慮飽和度因素，建立準飽和孔隙流體平衡方程；主要理論分析過程包括利用Fourier變換得到載荷和準飽和地基頻域控制方程，通過Fourier反變換得到地面振動的時域解。編制Fortran程序，計算不同列車速度下準飽和地基WIB隔振效果，分析飽和度對WIB隔振效果、隔振頻率的影響。對飽和度95%的準飽和地基中WIB主要隔振設計參數(shù)埋深、寬度、厚度和彈性模量等進行了研究。

1 準飽和地基理論推導

1.1 準飽和土體基本方程

對于準飽和多孔介質(zhì)，孔隙流體是水和空氣的混合物，氣泡以閉合形式存在于孔隙流體，因此可將其近似視為均質(zhì)孔隙流體［19］。其體積模量可表示為：

式中：Kf為孔隙中混合流體體積模量；Kw為孔隙水體積模量；pa為絕對孔隙壓力。對于孔隙度n和飽和度Sr可以表征為：

式中：Vv為孔隙體積；Vt為總體積；Vw為孔隙水體積。

由式（1）可知，飽和度改變對K f影響極大，因此飽和度對準飽和土的影響必須加以考慮，且有重要實踐意義。根據(jù)Biot方程，可以得到準飽和介質(zhì)中孔隙流體控制方程和平衡方程：

式中：p表示孔壓；ρf為孔隙流體密度；u，W分別為固體骨架和孔隙流體的位移矢量，W表示固體骨架的體積應變和流體含量的增量W=n（u-w），kd為動力滲透系數(shù)。g=9.8 m/s2。

為求解控制方程，對式（3）、式（4）進行Fourier變換并考慮土骨架控制方程［7］，得準飽和地基頻域內(nèi)控制方程：

式中：F=（nkd）/（iωρf gn-ω2kdρf）；λ、μ為固體骨架Lame常數(shù)，λc=λ（1+2βi），μc=μ（1+2βi）；β為土體的阻尼系數(shù)；ρ為總密度；ω為圓頻率；‘～’表示頻域內(nèi)的量。

1.2 邊界條件

對準飽和土體邊界條件，應考慮應力、位移邊界條件、邊界孔隙壓力和流體流量，表達式包括：

（1）位移邊界條件：

（2）應力邊界條件：

（3）流勢（不排水）邊界條件：

（4）流量（排水）邊界條件條件：

式中：vn，q分別表示流體的流速和流量。

1.3 軌道及荷載模型

將軌道簡化為直接鋪設在地基上的歐拉梁，并將其在高鐵列車荷載作用下產(chǎn)生的微小變形看做整體變形，可得軌道的動力方程為：

式中：ur為軌道的振動位移；E I為軌道的彎曲剛度；m為軌道的總質(zhì)量；fIT，p0分別為地基接觸點的反力和外加荷載。p0δ(x-ct)為作用在軌道上的荷載。

對式（10）進行Fourier變換可得：

式中：上標x，t分別表示波數(shù)域和頻域中的變量。

表示成矩陣形式為：

式中：U TT為軌道所處坐標系中3個方向的位移向量。

建立準飽和地基中列車模型如圖1所示。列車荷載作用在軌道上，沿y軸正方向行駛。對于運行速度c，自振頻率ω0的列車荷載，其在時域內(nèi)表達式為：

圖1 列車荷載模型圖Fig.1 The train load model

式中：pn1，pn2分別為車體的前后輪對重；Li為車廂長度；an，bn分別為前后軸之間的距離；δ為Dirac函數(shù)。

變換到頻域內(nèi)，可表示為：

2 2.5維有限元推導

對式（5a）及式（7）應用伽遼金法，可得：

對式（15）第一項進行分部積分后帶入物理方程，可得

將式（16）帶入式（15），可得

整理式（17），可得

模型采用四節(jié)點等參單元離散，其形函數(shù)為：

單元變形可通過節(jié)點位移進行表示，如下所示：

式（18）沿y方向進行波數(shù)展開，得頻域-波數(shù)域內(nèi)表達式，用矩陣形式表示為：

式中，“—”表示波數(shù)域中的量，各矩陣具體表示為：

式中：*表示共軛；N為形函數(shù)；e表示個體單元；η，ξ為局部坐標；∣J∣為Jocobi行列式，其余表達式包括：

對式（5b）和式（8）同樣應用伽遼金法得：

對式（22）進行分部積分并帶入物理方程，可得

沿y方向進行波數(shù)展開后得：

各矩陣具體表示形式：

其中，BS=（-iξx?/?y?/?z）T，其余符號同前一致。因此，組成整體剛度矩陣：

3 模型驗證

對準飽和地基2.5維有限元模型進行退化驗證，當準飽和地基的ρf→0和n→0時，準飽和介質(zhì)退化為彈性介質(zhì)。建立橫截面為100 m×20 m的半空間模型模擬地基，地基表面作用移動速度為60 m/s的點荷載。地基土參數(shù)包括土體密度2 500 kg/m3，剪切波速100 m/s，泊松比0.47，阻尼系數(shù)0.05。

如圖2所示，對移動點荷載正下方1 m處水平方向與豎直方向位移進行監(jiān)測，對數(shù)據(jù)進行歸一化處理（乘以2πρVs2/p）并與Eason等［24］得到的解析解進行對比。結(jié)果吻合較好，證明了文中理論和模型的可靠性。

圖2 2.5維有限元模型驗證Fig.2 Verification of 2.5-dimensional finite element model

4 準飽和地基WIB隔振效果

建立列車-軌道-準飽和地基-WIB有限元模型，如圖3所示。軌道為鋪設在地基上的Euler梁，寬度B取為3 m，模型底部及四周邊界采用人工粘彈性邊界。假定垂直軌道方向截面連續(xù)，且每個截面上土體及結(jié)構(gòu)材料特性一致。其中，軌道中心設置為坐標原點。2.5維有限元模型長為100 m，高為20 m，共劃分為1 610個單元，1 704個節(jié)點，其中軌道中心位置網(wǎng)格劃分進行加密，其余部分適當加粗。

圖3 2.5維有限元模型Fig.3 2.5-dimensional finite element model

為分析準飽和地基飽和度變化及WIB參數(shù)對其隔振效果影響，以秦沈客運專線工程實例［25］進行算例分析。列車參數(shù)取國產(chǎn)“先鋒號”的有關(guān)數(shù)據(jù)，拖車長為25.5 m，共2輛；動車長為26.6 m，共4輛，其中2輛動車和一輛拖車構(gòu)成1個單元，列車總長158.4 m，共12個輪對，列車平均軸重12 674.46 kg。軌道彎曲剛度E I=13.254 MN·m2，重m=540 kg/m。WIB埋深k為1 m，寬度e為6 m，厚度t為1 m，彈性模量E為33 000 MPa。其余準飽和土體參數(shù)及WIB參數(shù)見表1。

表1 準飽和地基及WIB計算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of nearly-saturated ground and WIB

為對WIB隔振效果進行評價，采用振幅衰減系數(shù)作為隔振效果分析重要指標，定義如下：

4.1 飽和度對x方向位移振幅衰減系數(shù)影響

列車速度一直是高鐵振動的重要研究內(nèi)容，因此算例中考慮不同列車速度下WIB隔振效果，包括低速30 m/s，基本運行速度70 m/s，高速運行速度300 m/s。并結(jié)合地基土剪切波速100 m/s，考慮產(chǎn)生共振的列車臨界速度105 m/s進行分析。根據(jù)工程中對準飽和土（飽和度≥95%）的定義，分析飽和度為95%，96%，97%，98%，99%，100%時不同列車速度下準飽和地基中WIB隔振效果。其中，飽和度為100%時為飽和地基。

如圖4所示，為準飽和地基中不同飽和度變化對WIB隔振系數(shù)AX的影響。當列車速度為30、70、300 m/s時隨飽和度減小，波阻板隔振系數(shù)明顯增大。列車速度為30、70 m/s時甚至出現(xiàn)AX大于1的情況，說明此時加入波阻板，對地面x方向位移幅值有增大影響，工程設計中應加以考慮。列車速度為30 m/s，距離軌道中心12 m處，飽和度為95%與100%時AX相差1.75倍，意味著將準飽和地基作為飽和地基進行計算時，將帶來75%的誤差。這與準飽和地基飽和度下降使高鐵移動荷載產(chǎn)生的地面振動位移增大的現(xiàn)象一致。

圖4 不同飽和度下WIB隔振系數(shù)A XFig.4 Isolation coefficient A X of WIB of different saturations

對于不同速度的列車荷載，隨著列車速度增加，波阻板隔振性能越好，地基飽和度對波阻板隔振性能影響減小。波阻板的隔振原理可以表述為在軟土地基中插入剛性基礎后，振動波通過軟土地基與波阻板的分界面時只有高于受約束的剪切頻率才能在上部傳播。也就是說波阻板存在截止頻率，對截止頻率以下的波有隔振效果。波阻板截止頻率的計算可由式（26）得到：

式中：f表示波阻板截止頻率；cp為上部土體壓縮波的波速；h為上部土層的厚度。

高速的高鐵列車產(chǎn)生振動加速度增大，在截止頻率以下的振動加速度增大，使波阻板隔振效果增強。波阻板對于高速運行的高鐵列車將有更好的隔振效果。列車速度為105 m/s時，波阻板隔振性能最好，說明此時不僅波阻板的截止頻率起到作用，波阻板與地基形成復合地基，通過增大地基剪切波速還減小了高鐵移動荷載與地基的共振作用。

4.2 飽和度對z方向位移振幅衰減系數(shù)影響

對于準飽和地基中波阻板對z向位移振幅衰減系數(shù)的影響，飽和度減小，波阻板隔振性能增強，如圖5所示。從波阻板隔振機理的角度進行解釋，波阻板具有良好隔振性能主要是由于其對波的反射、散射作用，并且定義了波阻抗比α研究隔振材料的隔振性能：

式中：ρ1v1為分界面上第1種介質(zhì)的波阻抗；ρ2v2為第2種介質(zhì)的波阻抗；ρ為介質(zhì)的密度；v為波速。

在波阻板波阻抗不變的情況下，準飽和地基由于氣體的存在使高鐵列車移動荷載產(chǎn)生的地基中橫向波速增大、縱向波速減小，從而導致了準飽和地基飽和度減小使波阻板橫向位移振幅衰減系數(shù)增大、豎向位移振幅衰減系數(shù)減小的復雜變化。觀察圖5可知，當距離軌道中心距離小于3 m時，飽和度變化對z方向波阻板隔振性能影響較小。此時，在波阻板寬度范圍內(nèi)，列車移動荷載產(chǎn)生的豎向位移振幅的減小主要由波阻板的反射作用控制，研究表明，準飽和地基飽和度對波阻板反射作用影響不明顯。地面振動響應位置超過波阻板寬度后，波阻板對z方向位移衰減效果隨地基飽和度減小而增強。飽和度為95%時，隔振性能最好，從飽和地基減小至飽和度99%時波阻板隔振性能的增加遠大于飽和度從99%減小至95%，這與王瀅等［23］研究結(jié)果一致。

圖5 不同飽和度下WIB隔振系數(shù)A RFig.5 Isolation coefficient A R of WIB of different saturations

4.3 準飽和地基WIB隔振頻帶研究

以70 m/s速度運行的高鐵列車為研究對象，研究不同飽和度變化對WIB隔振頻帶的影響。圖6～圖9分別為距離軌道中心0、5、10、20 m（x=0 m，x=5 m，x=10 m，x=20 m），飽和度為95%，100%無WIB及有WIB地基地面振動的頻譜曲線，以此分析WIB隔振后地面振動的頻率分布。由圖6可知，WIB對0-35 Hz頻率有明顯隔振效果，加速度值衰減明顯。對比圖6～圖9中（a）、（b）不同飽和度的WIB隔振地基，對于無WIB的地基，飽和度減小，加速度呈現(xiàn)增大現(xiàn)象，而加入WIB后飽和度減小對隔振頻率加速度有一定減小作用，這與上文結(jié)論一致。但WIB隔振后殘余頻帶卻隨飽和度減小而增大，如圖7所示，飽和度為100%時WIB隔振后頻帶為0～11 Hz，飽和度為95%時WIB隔振后頻帶為0～13 Hz。圖8、圖9顯示W(wǎng)IB雖對低頻隔振效果較好，但隔振后仍殘留較多2～4 Hz頻率。

圖6 x=0 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.6 Frequency spectrum curve of WIB when x=0 m

圖7 x=5 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.7 Frequency spectrum curve of WIB when x=5 m

圖8 x=10 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.8 Frequency spectrum curve of WIB when x=10 m

圖9 x=20 m處WIB隔振頻譜曲線Fig.9 Frequency spectrum curve of WIB when x=20 m

4.4 準飽和地基WIB參數(shù)分析

根據(jù)以上研究發(fā)現(xiàn)，飽和度從100%減小至95%時WIB隔振效果呈遞進關(guān)系，S r=95%時隔振效果與飽和時差別最大，因此分析飽和度為95%時WIB隔振效果。其中用k表示W(wǎng)IB埋深，e表示W(wǎng)IB寬度，t表示W(wǎng)IB厚度，E表示W(wǎng)IB彈性模量。研究WIB參數(shù)變化對隔振效果的影響，Woods［26］表明振幅衰減系數(shù)AR對WIB隔振具有較好評價效果，因此將其作為評價指標。

圖10（a）為WIB不同埋深時隔振效果，由圖可知，WIB埋深對WIB隔振效果影響較大，且并不是埋深越深WIB隔振效果越好，觀察其變化規(guī)律可知，WIB埋深為1 m時隔振效果較好。圖10（b）為不同WIB寬度時隔振效果，WIB隔振效果隨寬度增加隔振效果增強，但WIB寬度達到6 m后隔振效果增加效果不再明顯。圖10（c）為不同WIB厚度的隔振效果，厚度為0.5 m時WIB隔振效果較差，厚度大于1 m后WIB隔振效果明顯較好，AR值均低于0.4，當WIB厚度為1.5 m時隔振效果最好。圖10（d）為不同彈性模量時WIB隔振效果，WIB彈性模量越大，WIB隔振效果越好。

圖10 Sr=95%時WIB參數(shù)對隔振效果影響Fig.10 Influences of WIB parameters for vibration isolation effect when S r=95%

5 結(jié)論

文中基于Biot波動方程，推導準飽和土2.5維有限元波動方程，為工程計算高鐵移動荷載作用下準飽和地基WIB隔振效果提供了更為合理的解決方案。通過數(shù)值算例研究了不同列車速度時飽和度變化對WIB隔振效果的影響，并分析了飽和度為95%的準飽和地基中WIB設計最優(yōu)參數(shù)值。得到如下主要結(jié)論：

（1）準飽和地基中，高鐵移動荷載作用下波阻板x方向位移振幅減振效果基本隨飽和度減小而增大，S r=95%時相較于100%最大差值達1.75倍，將產(chǎn)生75%的誤差。

（2）WIB對0～35 Hz頻率有明顯減小作用，WIB對加速度幅值隔振效果隨飽和度減小而增強，但WIB隔振后距離軌道中心20 m處仍殘留2～4 Hz頻率。

（3）飽和度為95%的準飽和地基中，WIB參數(shù)變化對其隔振效果的影響主要表現(xiàn)為：隔振效果隨WIB埋深增大呈現(xiàn)出先增大后減小的變化，埋深1 m時隔振效果最好；隔振效果隨WIB寬度增大而增大，但寬度大于6 m后隔振效果變化幅度較?。徊煌琖IB厚度，除0.5 m厚度外，WIB隔振效果均較好；WIB隔振效果隨其彈性模量增大而增強。