左得奇，蔣良濰，駱 達，杜美玲，葛學軍

（1.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031；2.高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川成都 610031；3.中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031）

引言

數(shù)值分析是巖土靜、動力問題不可或缺的研究手段之一，人工邊界的設(shè)置及動力作用輸入方法將直接影響數(shù)值計算結(jié)果的合理性。因此，各類人工邊界和地震動輸入方法相繼被提出。人工邊界可分為全局人工邊界和局部人工邊界，Lysmer等［1］首先提出了以黏性理論為基礎(chǔ)的局部人工邊界，其概念清楚、應用方便，但精度較低，容易出現(xiàn)低頻失穩(wěn)問題；Deeks等［2］進一步發(fā)展提出了黏彈性人工邊界，其引入彈簧單元以模擬地基恢復力，克服了黏性邊界低頻失穩(wěn)的問題；劉晶波等［3］推導了三維形式的黏彈性人工邊界并將其應用于地下土-結(jié)構(gòu)的相互作用的計算中；廖振鵬等［4］提出了一種對一般無限域模型具有普遍適應性的人工透射邊界，入射波由一維單側(cè)波動的疊加構(gòu)成，其具有實用性廣、與有限元方法結(jié)合方便的優(yōu)點，但也存在低頻失穩(wěn)問題；在全局人工邊界方面，Ungless［5］首先提出了無限元思想；Kim［6］和Yun［7］利用無限元方法在頻域和時域內(nèi)研究了二維、三維層狀土-結(jié)構(gòu)的相互作用，其具有使用方便、前處理工作量小的優(yōu)勢；此外，動力作用輸入方式與人工邊界條件的設(shè)置密切相關(guān)，劉晶波等［8］提出了基于黏彈性人工邊界的地震動輸入方法；杜修力等［9］考慮場地自由場效應推導了下臥剛性基巖條件下的地震動輸入方法；馬笙杰等［10］則對黏彈性人工邊界設(shè)置及地震動輸入方法進行了詳細對比分析；趙武勝等［11］通過分析人工邊界相互作用推導了地震波垂直及斜入射條件下地震動輸入方法，并以無限元為例進行了正確性驗證，上述地震動輸入方法多為基于動力人工邊界推導得出，適用于動靜分算的動力分量計算。

對于線彈性、小變形問題，可分別利用靜、動力邊界計算靜、動力響應分量，再疊加得到完整解。由于土體是一種非線性材料，在力學作用下可能發(fā)生非線性響應甚至塑性變形，疊加原理將不再適用，為此研究者提出了靜-動力統(tǒng)一人工邊界。劉晶波等［12］基于彈性半無限空間中靜力問題基本解對黏彈性人工邊界進行節(jié)點約束剛度修正，提出了黏彈性靜-動力統(tǒng)一人工邊界，使得靜、動力分析能夠連續(xù)的進行；高峰等［13］通過對比研究發(fā)現(xiàn)，該靜-動力統(tǒng)一人工邊界應用于初始地應力生成誤差較大，并提出了一種基于有限元靜力邊界節(jié)點支反力的黏彈性人工邊界設(shè)置方法。

由上可知，目前人工邊界的研究主要以黏彈性人工邊界為主，因其在低頻問題中計算穩(wěn)定性好、效率較高，通過邊界條件轉(zhuǎn)化［13］、引入邊界等效節(jié)點力［9-11］等方法，使得其能廣泛應用于各類巖土動力問題，而其直接應用于靜力計算時精度較低、邊界設(shè)置較為繁瑣，前處理工作量較大。無限元在理論上滿足在無窮遠處位移為零，波傳至無窮遠處衰減為零的客觀性條件，部分耦合了靜、動力計算，且邊界設(shè)置較為簡單、應用方便，大量研究將其直接應用于靜力計算（如初始應力狀態(tài)生成［14-16］）和動力計算（內(nèi)、外源振動問題［14-16］），王飛等［17］基于ABAQUS無限元的靜力計算結(jié)果具有可信性的前提，將文獻［11］中的地震動輸入方法引入無限元人工邊界。但實際上，巖土動力計算中，第一步為進行初始應力狀態(tài)生成即地應力平衡，平衡后位移近似為零，而應力狀態(tài)的合理性往往被忽略，無限元應用于靜力步驟的計算精度會直接影響初始應力狀態(tài)，由于在體力荷載作用下，靜力無限元是通過引入邊界節(jié)點力以模擬無限域?qū)τ邢抻虻募s束支承作用，但目前關(guān)于該節(jié)點力與靜力邊界是否等效的研究較少；在動力計算中，無限元是一種黏性吸收邊界，其無法模擬地基的彈性恢復力及內(nèi)行波輸入，因此，有必要研究基于無限元進行改進的靜-動力統(tǒng)一人工邊界。

基于此，簡要介紹了ABAQUS靜、動力無限元人工邊界的基本理論，結(jié)合二維水平地基模型算例，分析無限元直接應用于初始地應力計算單元節(jié)點支承剛度的合理性及計算精度，提出引入靜力等效節(jié)點力以提高無限元靜力及內(nèi)源計算精度的方法；為使得無限元人工邊界能應用于需要考慮模型靜、動力綜合效應的內(nèi)、外源振動問題，推導內(nèi)、外源振動問題中需施加的邊界等效節(jié)點力，編制相關(guān)計算程序，提出基于無限元的靜-動力統(tǒng)一人工邊界，并對該邊界的正確性進行模型算例驗證。

1 靜、動力無限元人工邊界作用原理

根據(jù)振動源與研究區(qū)域的位置關(guān)系，可將巖土動力分析問題大致分為內(nèi)源振動和外源振動，根據(jù)波場相對于模型邊界的傳播方向，可將模型總波場分解為內(nèi)行波場和外行波場［19］。內(nèi)源振動問題的振動源位于研究區(qū)域內(nèi)部，如基礎(chǔ)振動引起的土中動應力分析等，波源向外部的無限、半無限區(qū)域輻射能量，這個過程屬于外行波的散射問題；外源振動的振動源位于研究區(qū)域之外，如地震引起地基和上部結(jié)構(gòu)的振動分析等，該類問題可分解為從外部無限域的內(nèi)行波輸入和研究區(qū)域內(nèi)部動力響應產(chǎn)生的外行波散射。由上可知，計算模型進行人工邊界截斷時，內(nèi)源振動只需考慮外行波的吸收，而外源振動條件下，外行波吸收和內(nèi)行波輸入均需考慮。

ABAQUS動力分析中，將無限單元與有限單元結(jié)合使用，所關(guān)心的研究區(qū)域（近場有限域）以有限元模擬，而采用無限元模擬遠場無限域。當非體力荷載（如集中力等）作用時，靜力無限元邊界基于Zienkiewicz等［18］的靜力計算分析理論，設(shè)定距模型計算區(qū)域無窮遠處位移為零，且假設(shè)從有限元-無限元交界面至無窮遠處，位移呈線性分布。通過引入滿足上述假定條件的映射坐標系以及具有二次收斂速度的位移插值函數(shù)，使得無限元成為能夠應用于靜力計算的邊界［20］。當體力荷載（如重力等）作用時，ABAQUS程序因無法在無限元中定義體力，以在有限元-無限元邊界自動插入節(jié)點力的方式體現(xiàn)無限域?qū)τ邢抻虻募s束支承作用，但插入的節(jié)點力只為使模型處于某一力學平衡狀態(tài)，而程序并不判斷插入的節(jié)點力是否代表真實狀態(tài)［20］，即不檢驗其是否對應于變形體真實位移，故體力荷載作用下直接用無限元進行初始應力分析有可能獲得不正確的計算結(jié)果。

ABAQUS動力無限元通過在有限元-無限元邊界節(jié)點設(shè)置一系列法向及切向的阻尼器，模擬半無限空間介質(zhì)的輻射阻尼［20］，其參考了Lysmer等［1］的黏性邊界理論，依據(jù)彈性介質(zhì)中S波、P波的波動方程，推導出反射波為零條件下的邊界阻尼系數(shù)。由此可見，動力計算中無限元人工邊界是一種無靜剛度的黏性吸收邊界，不能模擬地基的彈性恢復力以及內(nèi)行波的能量輸入。

針對ABAQUS靜、動力無限元邊界所存在的問題，論文開展了靜、動力統(tǒng)一人工邊界改進方法研究。靜力問題從二維水平地基內(nèi)初始地應力計算精度出發(fā)，探討無限元對體力荷載作用問題的適用性及改進方法，進一步在此基礎(chǔ)上推導內(nèi)、外源振動問題相應的邊界等效節(jié)點力公式，對應利用半無限地基表面施加動力荷載和底部輸入地震動的兩種典型情況進行驗證。

2 無限元邊界初始地應力生成精度探討

2.1 分析模型

由上節(jié)分析可知，將ABAQUS無限元直接應用于體力荷載作用下的初始應力狀態(tài)生成，可能會帶來不正確的結(jié)果。為此，建立二維彈性水平地基模型（圖1）進行算例驗證，模型側(cè)面及底面設(shè)置厚度L2=50 m的無限元人工邊界，有限元主模型區(qū)域50 m×50 m，網(wǎng)格尺寸0.5 m，有限元、無限元區(qū)域分別采用CPE4、CINPE4單元，地基土密度ρ=2 000 kg/m3、彈性模量E=200 MPa、泊松比v=0.25［10］。

圖1 計算模型示意圖Fig.1 Calculation model（unit：m）

對模型施加重力荷載，利用ABAQUS的Geostatic分析步進行地應力平衡，計算模型尺寸與計算精度呈正相關(guān)，采用模型尺寸調(diào)整系數(shù)ξ探討邊界位置對計算結(jié)果的影響，ξ定義為主模型調(diào)整后尺寸（L+2L1）與原尺寸（L0）之比即ξ=（L+2L1）/L0，分別按照ξ=1，2，3，4，5，10，15確定有限元計算區(qū)域，按0.5 m網(wǎng)格尺寸對模型進行剖分。考察主模型中心沿路徑BE的豎向應力，并與理論解答σyy=γ（50-y）作對比（γ為地基土重度，y為計算點縱坐標），記錄計算耗時以研究模型尺寸對計算結(jié)果及效率的影響，具體方案如表1所示，其中K0為ξ=1并施加靜力邊界條件（兩側(cè)和底部分別采用滾軸、固定邊界）的計算結(jié)果。

表1 無限元邊界條件下模型尺寸對計算結(jié)果影響工況表Table 1 Effect size model calculation condition table membered infinite boundary conditions m

2.2 計算結(jié)果

經(jīng)地應力平衡后，K0～K7模型位移量值均小于10-7m，僅從位移大小角度來看，地應力平衡效果均較好。然而考察主模型區(qū)域豎向應力分布（圖2，圖3）、計算精度及耗時（圖4）隨ξ的變化可知：

圖2 不同模型尺寸下主模型區(qū)域豎向應力云圖Fig.2 Vertical stress contour of the main model with different model sizes

（1）施加傳統(tǒng)靜力邊界條件的K0模型計算結(jié)果與理論解完全一致，無限元邊界條件下計算精度受模型邊界遠近影響，若地應力平衡結(jié)果要滿足工程要求，邊界需要達到主模型區(qū)域15～20倍以上的遠置距離。當ξ=1時，豎向應力明顯偏離自重應力理論分布，呈現(xiàn)出沿中軸線BE向模型兩側(cè)邊界逐漸減小的形式，BE路徑豎向應力與理論值的最大相對誤差達-33.6%；隨著ξ增大，邊界逐漸遠置，豎向應力分布趨于橫向均勻，逐漸接近理論（靜力邊界條件下）結(jié)果；當ξ=15時，模型尺寸已達750 m×750 m，豎向應力與理論值最大相對誤差仍有-6.1%，僅近似滿足工程精度要求。

（2）豎向應力計算誤差與深度基本呈正相關(guān)，即ABAQUS靜力無限元自動插入節(jié)點力的等效剛度與靜力邊界剛度的差異隨深度增加而變大。若需將誤差控制在工程允許誤差（5%以內(nèi)），ξ=1時，僅2.5 m深度范圍內(nèi)的計算結(jié)果可信（圖3）；而按傳統(tǒng)經(jīng)驗取3～5倍主模型區(qū)域尺寸設(shè)置邊界進行建模（圖4中粉紅色區(qū)域ξ=3～5），計算結(jié)果可信深度范圍為8.5～14 m，仍難以滿足主模型全區(qū)域的精度需要。

圖3 各模型沿路徑BE豎向應力分布情況Fig.3 Vertical stress distribution along path BE

用圖4中所示的三次多項式對相對誤差曲線進行擬合，得到尺寸調(diào)整系數(shù)ξ與誤差百分比ω的擬合函數(shù)（決定系數(shù)0.982）。根據(jù)擬合函數(shù)進行外延，若誤差控制在5%，ξ應不小于20，計算量急劇增加，因此有必要提出一種適用于主模型區(qū)域高精度、高效率分析的靜力無限元邊界改進方法并使之能應用于動力計算的初始狀態(tài)生成。

圖4 豎向應力誤差和計算耗時與尺寸調(diào)整系數(shù)關(guān)系Fig.4 The relationship between vertical stress error，calculation time and size adjustment coefficient

3 基于無限元的靜-動力統(tǒng)一人工邊界改進方法

3.1 靜力無限元邊界改進

3.1.1 基于靜力邊界等效節(jié)點力的無限元剛度修正

體力荷載作用下，ABAQUS無限元靜力計算產(chǎn)生誤差的根本原因是程序引入的節(jié)點力等效剛度與靜力狀態(tài)的實際邊界剛度不匹配，因此，若考慮在施加無限元人工邊界的同時，對有限元-無限元邊界節(jié)點施加傳統(tǒng)靜力邊界（滾軸、固定）計算得到的邊界支反力，由于邊界支承剛度相等，主模型區(qū)域受力狀態(tài)應與靜力邊界條件下完全一致。下面對其進行理論驗證：

靜力計算中，總體平衡方程為

式中：K為剛度矩陣；U為位移向量；F為節(jié)點力向量。

將式（1）寫成如下形式：

式中：KI、KIB、KBI、KBI為剛度矩陣的分塊子矩陣；UI、UB分別表示模型內(nèi)部與邊界節(jié)點的位移；FI、FB分別表示模型內(nèi)部與邊界節(jié)點的節(jié)點力。

由于邊界及內(nèi)部節(jié)點力一部分由外荷載引起，一部分由約束反力引起，式（2）可以進一步表示為

式中：上標f表示外荷載引起的節(jié)點力分量；而上標r表示約束引起的節(jié)點力分量，在施加靜力邊界時即為靜力邊界約束引起的節(jié)點力，而施加無限元邊界時則為無限元邊界引起的節(jié)點力。

施加靜力邊界UB=0時，由于邊界節(jié)點在約束或指定位移方向不會對邊界以內(nèi)節(jié)點產(chǎn)生節(jié)點力［13］，故F rI=0，于是

可解得

將F rB代回式（3），仍可解得UB=0，且原UI的解也不變，上述推導從物理角度可解釋為對模型施加約束條件和對模型施加與約束條件UB=0相對應的等效節(jié)點力F rB是等效的，因此可在需要去除靜力約束的情況下，施加相應的約束反力以達到不改變原靜力平衡狀態(tài)的目的，下文將F rB稱為靜力等效節(jié)點力。

而當施加無限元人工邊界時，程序自動插入的節(jié)點力FINFB并不一定滿足FINFB=F rB，故將FINFB代回式（4）不一定得到真實位移邊界條件UB=0，計算所得的應力狀態(tài)亦不一定與靜力邊界一致。若在施加無限元人工邊界的同時，對主模型區(qū)域與無限元交界面處一并施加靜力等效節(jié)點力F rB，則主模型區(qū)域的應力場將保持與靜力邊界條件下一致。

3.1.2 模型驗證

由上節(jié)推導可知，可引入靜力等效節(jié)點力以提高無限元的初始地應力場計算精度，具體實現(xiàn)步驟為：（1）建立有限元模型，對模型施加靜力邊界條件，計算完成后，提取模型左、右及底部支座反力即靜力等效節(jié)點力。（2）去除靜力邊界，施加無限元人工邊界、導入步驟（1）中計算所得的應力場并施加有限元-無限元靜力等效節(jié)點力即可完成初始地應力生成，靜力等效節(jié)點力在后續(xù)分析過程中保持不變。

為方便對比，取第2.1節(jié)中尺寸調(diào)整系數(shù)ξ=1的模型進行驗證。將施加靜力等效節(jié)點力前后的計算結(jié)果、誤差連同理論解繪入圖5，由圖可知，僅設(shè)置無限元邊界的模型豎向應力誤差可達-33.6%，而采用文中引入靜力等效節(jié)點力方法與理論解完全一致，說明引入靜力等效節(jié)點力的方法是合理的。

圖5 引入靜力等效節(jié)點力方法與僅設(shè)置無限元邊界計算所得豎向應力Fig.5 Vertical stress difference between the static equivalent nodal force and the infinite boundary

3.2 靜-動力統(tǒng)一人工邊界等效節(jié)點力分析

3.2.1 內(nèi)源振動問題

對于需要考慮靜、動力綜合效應（即靜動力合算）的內(nèi)源振動問題，動力計算只需考慮外行波吸收，無需考慮內(nèi)行波輸入，而無限元本身可較好地模擬半無限空間的輻射阻尼以吸收外行波，因此僅需保證靜力計算精度，故內(nèi)源振動問題的等效節(jié)點力等于靜力等效節(jié)點力：式中：下標α為主模型區(qū)域邊界位置；β為等效節(jié)點力方向。

3.2.2 外源振動問題

對于靜動力合算的外源振動問題，則需滿足靜力計算精度并同時考慮外行波吸收和內(nèi)行波輸入。其中，外行波吸收可由無限元本身解決，對于內(nèi)行波輸入，需克服人工邊界的能量吸收才能由域外透射至域內(nèi)，文獻［11］考慮無限域與有限域之間的相互作用力和克服人工邊界的阻尼力，導出了外源振動條件下用于地震動輸入的等效節(jié)點力公式（下文稱之為動力等效節(jié)點力）；靜力計算部分可采用上文第3.2.1節(jié)靜力等效節(jié)點力方法以保證精度，故外源振動條件下，靜-動力統(tǒng)一人工邊界等效節(jié)點力應為模擬內(nèi)行波輸入的動力等效節(jié)點力和保證靜力計算精度的靜力等效節(jié)點力共同組成。

將動力等效節(jié)點力［11］與靜力等效節(jié)點力（式（6））疊加即得到外源振動條件下靜-動力統(tǒng)一人工邊界的等效節(jié)點力，下面以（以圖1為例）給出平面剪切S波和壓縮P波沿y方向從模型底部垂直向上傳播時，有限元-無限元邊界等效節(jié)點力計算公式。

平面P波垂直向上傳播時，考慮底部入射波f1和地表反射波f2，則無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界等效節(jié)點力，在主模型左側(cè)AD邊界為：

主模型右側(cè)C F邊界：

主模型底部DF邊界：

同理可得剪切S波垂直向上傳播時等效節(jié)點力為：

主模型左側(cè)A D邊界：

主模型右側(cè)CF邊界：

主模型底部BE邊界：

式中：下標l、r、b分別表示模型左側(cè)、右側(cè)和底面；x、y分別表示x，y方向；A i為對應節(jié)點的控制面積；λ為第一Lamé常數(shù)。

3.3 實現(xiàn)流程及適用性驗證

3.3.1 實現(xiàn)流程

靜、動力等效節(jié)點力可分別基于式（6）和式（11）～式（22）進行編程計算。對于內(nèi)源振動問題，等效節(jié)點力即為靜力等效節(jié)點力，對于外源振動問題，等效節(jié)點力則由靜力等效節(jié)點力和動力等效節(jié)點力共同組成。完整的靜、動力統(tǒng)一人工邊界實現(xiàn)流程如圖6所示，文中研究以Python語言編制等效節(jié)點力輸入程序。

圖6 靜-動力統(tǒng)一人工邊界計算實現(xiàn)流程Fig.6 The implementation method of static-dynamic unified artificial boundary

3.3.2 內(nèi)源振動問題驗證

仍考慮第2.1中的二維水平地基模型，靜力荷載僅為重力，在模型地表中心B點施加如圖7所示的動荷載，峰值200 kN，作用時間0.5 s，計算時長4 s，對模型施加內(nèi)源振動問題對應的等效節(jié)點力（式6），求解時間步長為0.001 s。為驗證計算結(jié)果準確性，另建立一遠置邊界模型作為近似理論解答，根據(jù)文獻［19］的建議，監(jiān)測點到人工邊界的最近距離應大于求解時間與波速乘積的一半，設(shè)置模型尺寸為1 280 m×640 m，采用傳統(tǒng)靜力邊界條件，材料參數(shù)、單元尺寸及類型均與主模型區(qū)域一致。首先進行地應力平衡，隨后進行動力計算。

圖7 輸入動荷載時程Fig.7 Dynamic load time history

考慮到地應力平衡后模型位移近似為零，位移響應主要取決于動力荷載，應同時考察模型應力與位移響應，監(jiān)測模型B點的豎向位移及中心G點（深度24.75 m）的豎向應力時程，分別如圖8（a）和（b）所示。由圖可知，采用靜-動力統(tǒng)一人工邊界方法計算結(jié)果與遠置邊界基本一致，精度良好；除此之外，采用文中方法耗時305 s，僅為遠置邊界模型耗時（86 631 s）的3.52%，因此該方法應用于靜、動力合算問題可極大提高計算效率。

圖8 沖擊荷載作用下B點位移及G點豎向應力響應時程Fig.8 Displacement response of point B and the vertical stress response of point G

3.3.3 外源振動問題驗證

（1）計算模型及工況

基于第2.1中的二維水平地基模型，靜力荷載僅為重力，底部x方向根據(jù)地震位移時程曲線（圖9，最大幅值0.01 m），利用式（17）確定的等效節(jié)點力輸入地震波，計算時長4 s，計算對比3種邊界形式下模型動力響應差異，其中，工況Ⅰ為傳統(tǒng)無限元人工邊界；工況Ⅱ為主模型側(cè)面施加文獻［11］所推得的動力等效節(jié)點力，但不考慮靜力等效節(jié)點力；工況Ⅲ為主模型側(cè)面施加本文所提出的靜-動力統(tǒng)一人工邊界。

圖9 輸入波位移時程曲線Fig.9 The displacement time history of seismic wave

首先進行地應力平衡，隨后進行動力計算。監(jiān)測模型頂部A、B、C點和底部E、F、G點位移時程以及內(nèi)部G點的豎向應力時程。

（2）計算結(jié)果分析

由彈性波動理論可知，當?shù)卣鸩ù怪毕蛏蟼鞑ブ恋乇頃r，反射波與入射波幅值大小及方向均應一致，地表位移幅值為輸入波的2倍；剪切波在傳播過程中，不會引起單元正應力而僅引起切應力，因此單元正應力應基本保持不變，即等于前期的靜力計算結(jié)果。可由上述2項規(guī)律，判斷各邊界條件下位移及應力計算結(jié)果的合理性。

頂部A、B、C點及底部D、E、F點的位移響應情況分別如圖10（a）～（f）所示，由圖可知：

（1）工況Ⅰ由于僅設(shè)置了無限元人工邊界而未考慮靜、動力等效節(jié)點力，地表位移（圖10（a））響應顯著偏小，同時模型底部（圖10（d））未出現(xiàn)地表反射波，均與理論響應曲線差別較大，地表A、B、C三點間同步性較差，模型底部D、E、F點間也出現(xiàn)類似情況，說明該邊界條件會造成波動場的不均勻；

圖10 模型頂部及底部測點位移響應時程Fig.10 Displacement response of the top and bottom points

（2）分別考慮了動力等效節(jié)點力和靜、動力等效節(jié)點力的工況Ⅱ、工況Ⅲ，頂部及底部位移響應均與理論值基本相同，且地表A、B、C點及底部D、E、F點響應時程曲線同步性較好，說明波的傳播是均勻的，僅從位移角度來看，2種邊界條件下的計算精度均較好。

3種工況下，G點豎向正應力響應分別如圖11（a）～（c）所示，由圖可知：

圖11 模型中部G點單元豎向應力響應時程Fig.11 Vertical normal stress response of element in position G

（1）工況Ⅰ和工況Ⅱ單元豎向正應力響應量值（-326.2 kPa）均與理論值（-495.0 kPa）差異較大，其應力波動基準值與理論值相比均較小，精度較低；

（2）工況Ⅲ單元豎向正應力響應量值均穩(wěn)定在理論值附近，波動最大幅值僅為理論值的0.011%，可見，采用本文靜-動力統(tǒng)一人工邊界獲得的應力響應是可靠的。

由以上分析可知，雖然工況Ⅱ邊界條件下的位移響應與理論值基本一致，但應力響應出現(xiàn)較大失真。巖土動力計算中，第一步往往是地應力平衡，動力加載前模型位移很?。ǎ?0-5m），動位移響應主要取決于動力荷載，然而由于初始地應力的誤差影響后續(xù)動應力響應結(jié)果精度。

3.3.4 邊界條件適用性探討

從監(jiān)測點位移及應力響應與理論解對比可知，工況Ⅰ位移、應力響應量值及規(guī)律均明顯偏離理論解，因此傳統(tǒng)直接設(shè)置無限元的邊界條件不適用于外源振動問題；工況Ⅱ位移響應與理論解基本一致但初始地應力出現(xiàn)較大系統(tǒng)誤差，因此得到的動應力響應并不可靠，工況Ⅱ邊界條件僅適用于靜、動力分算的外源振動問題；采用文中的無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界（工況Ⅲ）的位移及應力響應均與理論解相符，且可根據(jù)求解問題的類型考慮按需引入靜力、動力等效節(jié)點力，使得其對靜力問題和靜、動力分算（合算）的內(nèi)、外源振動問題均具有較強適用性。綜上，3種工況對應的邊界條件對應的適用范圍如表2所示。

表2 常用人工邊界設(shè)置方法及其對巖土靜、動力問題適用性Table 2 The common artificial boundary′s applicability to rock and soil static and dynamic problems

4 結(jié)論

通過分析ABAQUS靜、動力無限元理論，利用二維水平地基模型，分析討論了無限元直接應用于體力荷載初始應力計算時的精度較差且對模型尺寸要求大的局限性，針對性的提出了引入靜力等效節(jié)點力的改進方法，建立了無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界并進行了算例驗證，得出以下結(jié)論：

（1）因ABAQUS靜力無限元引入節(jié)點力等效剛度與靜力邊界的差異，無限元邊界直接應用于體力荷載下初始地應力的計算結(jié)果誤差較大。算例表明，50 m×50 m水平地基的豎向自重應力計算結(jié)果嚴重偏小，最大相對誤差可達-33.6%；邊界遠置方法雖能一定程度改善精度，但所需的模型尺寸過大、計算效率極低。故有必要研究適用于無限元人工邊界的高精度、高效率的改進方法。

（2）以無限元應用于靜力工況及內(nèi)、外源振動的普遍適用性為目標，基于模型約束條件和對應節(jié)點力的等效性，提出引入靜力等效節(jié)點力提高初始應力計算精度的方法，并通過模型計算驗證了其具有與傳統(tǒng)靜力邊界一致的效果；進一步基于彈性波動理論考慮有限域-無限域相互作用和邊界阻尼效應，推導了內(nèi)、外源振動條件下的等效節(jié)點力，提出了無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界并編制了相應的等效節(jié)點力輸入程序。

（3）針對半無限地基表面的動力加載和地基深部振動向地表傳播的兩種典型內(nèi)、外源振動情況，以模型位移與應力響應為監(jiān)測量驗證了無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界的有效性，分析了傳統(tǒng)無限元與僅考慮動力等效節(jié)點力的邊界條件對靜、動力合算問題的局限性，論文提出的無限元靜-動力統(tǒng)一人工邊界對內(nèi)、外源振動的靜、動力分（合）算問題均可具有較好的適用性。