貴州 楊 勇 葉紅艷

邊界磁場(chǎng)問(wèn)題包含復(fù)雜的幾何關(guān)系，通常情況下是求解速度、磁場(chǎng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值，為了避免進(jìn)行復(fù)雜的幾何運(yùn)算，本文結(jié)合高考試題進(jìn)行分析，應(yīng)用動(dòng)量定理分解法“秒殺”一些常見(jiàn)的邊界問(wèn)題，提升解題效率。

磁場(chǎng)問(wèn)題是高考的必考題，帶電粒子通常是垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是學(xué)生非常熟悉的運(yùn)動(dòng)之一。若要增加帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的高度和難度，必然有邊界磁場(chǎng)的出現(xiàn)，邊界磁場(chǎng)問(wèn)題也就成為了高考考查的熱點(diǎn)及難點(diǎn)。為了能夠有效地突破一些常見(jiàn)的邊界問(wèn)題，筆者結(jié)合近幾年高考常見(jiàn)的邊界磁場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行分析，應(yīng)用動(dòng)量定理分解法速解邊界磁場(chǎng)問(wèn)題。

在高中階段，動(dòng)量定理常應(yīng)用在恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)中，在變力或曲線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用相對(duì)較少。力的沖量是力相對(duì)時(shí)間的積累，這個(gè)積累等于物體動(dòng)量的變化，因此分析和理解這個(gè)累加的意義，對(duì)處理變力作用下的一些復(fù)雜問(wèn)題具有意想不到的效果。

如圖1所示，一質(zhì)點(diǎn)以速度為v、半徑為R做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度與水平方向的夾角為θ，根據(jù)動(dòng)量定理有FΔt=mΔv

圖1

由于合外力的方向隨時(shí)間變化，把合外力分解為水平方向和豎直方向，則有Fx=Fsinθ，F(xiàn)y=Fcosθ

水平方向根據(jù)動(dòng)量定理有-FxΔt=mΔvx

豎直方向根據(jù)動(dòng)量定理有FyΔt=mΔvy

從兩個(gè)方向的分析結(jié)果可以看出，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)水平方向的速度變化影響豎直方向的位移分量，豎直方向的速度變化量影響水平方向的位移分量。

一、動(dòng)量定理分解法求解邊界磁場(chǎng)中的速度問(wèn)題

圖2

( )

【解析】根據(jù)題意，以速度大小為v1射入的粒子水平位移為R，豎直方向的速度變化為Δvy=v1-0；以速度大小為v2射入的粒子水平位移為x=R+Rcos60°，豎直方向的速度變化為Δvy=v2sin60°-0，由動(dòng)量分解法得qΔvxBΔt=mvy-mvy0

當(dāng)Δt→0時(shí)，x=vxΔt，則有qBx=mvy-mvy0

結(jié)合題意得qBR=mv1；qB(R+Rcos60°)=mv2sin60°

【答案】B

【評(píng)價(jià)】本題常用的解法是先確定圓心，然后找到半徑，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力，把向心力的公式寫(xiě)出來(lái)，計(jì)算出速度之比。相比之下，應(yīng)用動(dòng)量定理分解法避免了分析復(fù)雜的幾何關(guān)系，只要掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有這樣的特點(diǎn)，即豎直方向的速度變化量影響水平方向的位移，就可以直接“秒殺”問(wèn)題。

【例2】如圖3所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM′和NN′是它的兩條邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖3所示方向垂直射入磁場(chǎng)。要使粒子不能從邊界NN′射出，則粒子入射速率v的最大值可能是多少？

圖3

【解析】帶電粒子不能從NN′邊界射出的條件為運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與NN′邊界相切，由于帶電粒子的帶電性質(zhì)未知，所以當(dāng)帶電粒子帶正電時(shí)，進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力的作用下向上偏轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡與NN′剛好相切時(shí)，由動(dòng)量定理分解法得qBd=mv-mvcos45°，則

當(dāng)粒子帶負(fù)電時(shí)，有-qBd=-mv-mvcos45°，則

【評(píng)價(jià)】對(duì)于邊界磁場(chǎng)引起的速度極值為題，只要抓住臨界位置，根據(jù)射入速度方向與射出方向，利用動(dòng)量定理分解法可以快速解題，避免了復(fù)雜的幾何和三角函數(shù)的運(yùn)算，為考試爭(zhēng)取更多的時(shí)間。對(duì)于其他邊界磁場(chǎng)出現(xiàn)的速度以及速度極值計(jì)算，讀者可以參考上述的分析方法進(jìn)行嘗試，可能會(huì)達(dá)到意想不到的效果。

二、動(dòng)量定理分解法求解邊界磁場(chǎng)中的磁場(chǎng)極值問(wèn)題

【例3】(2021年全國(guó)甲卷第25題)如圖4所示，長(zhǎng)度均為l的兩塊擋板豎直相對(duì)放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子自電場(chǎng)中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，不計(jì)重力。

圖4

(1)求粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離；

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍；

(3)若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與擋板MN的最近距離。

(2)如圖5所示，由洛倫茲力提供向心力，有

圖5

圖6

【評(píng)價(jià)】綜上分析，已知帶電粒子的速度大小和運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合動(dòng)量定理的正交分解法，可使問(wèn)題得到快速的解決，相比應(yīng)用常規(guī)方法而言，動(dòng)量定理分解法可以達(dá)到解題效率高、方法簡(jiǎn)便等效果。常規(guī)解法是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解能力，但當(dāng)學(xué)生具有一定的學(xué)習(xí)能力時(shí)，適當(dāng)?shù)赝卣菇忸}的思維和方法，有助于提高學(xué)生的解題能力和發(fā)展學(xué)生的思維能力。

三、動(dòng)量定理分解法處理常規(guī)邊界磁場(chǎng)問(wèn)題

圖7

( )

A.粒子一定帶正電

B.當(dāng)α=45°時(shí)，粒子也垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)

【答案】ACD

【評(píng)價(jià)】根據(jù)題意可以求出半徑，結(jié)合已知量同樣可以求出速度的大小，所以對(duì)于A、C兩個(gè)選項(xiàng)是屬于比較常規(guī)的考查，而D選項(xiàng)主要考查學(xué)生對(duì)帶電粒子在邊界磁場(chǎng)中最大距離的判斷，也就是比較弦長(zhǎng)，結(jié)合題意，弦最長(zhǎng)就是直徑，則根據(jù)勾股定理即可計(jì)算出來(lái)。本題主要難點(diǎn)在B選項(xiàng)，常規(guī)的解法是畫(huà)圖，找?guī)缀侮P(guān)系，根據(jù)計(jì)算的半徑討論是否滿足條件，由于幾何關(guān)系復(fù)雜，容易弄錯(cuò)。應(yīng)用動(dòng)量定理的分解方法處理，只要抓住初始速度的方向和射出速度的方向，將動(dòng)量定理分解法求得的結(jié)果與實(shí)際結(jié)合，看是否滿足條件即可?？梢?jiàn)動(dòng)量定理分解法的優(yōu)勢(shì)是不用進(jìn)行復(fù)雜的幾何關(guān)系運(yùn)算，具有“秒殺”結(jié)論的效果。

四、總結(jié)