龐宇中

在深度學(xué)習(xí)的引領(lǐng)下，從單元整體結(jié)構(gòu)把握內(nèi)容的聯(lián)系，顯示數(shù)學(xué)教學(xué)本應(yīng)具有的研究價值，真正引發(fā)學(xué)生自主、有方向、有價值地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，不僅符合數(shù)學(xué)學(xué)科特征，也對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、核心素養(yǎng)的提升大有裨益。所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。在這個過程中，學(xué)生能掌握學(xué)科核心知識，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會歷史實踐的主人，這是教育部對深度學(xué)習(xí)的定義。

深度學(xué)習(xí)不是教學(xué)模式，而是教學(xué)思想、教學(xué)理念。它要求顯示出教學(xué)本來該有的樣子，能引發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，當(dāng)然這不等同于學(xué)生的自學(xué)，深度學(xué)習(xí)的前提是有教師引領(lǐng)，這其中教學(xué)必然是存在的，學(xué)習(xí)內(nèi)容是有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)單元，這個過程中每個學(xué)生都能沉浸在學(xué)習(xí)中，人人都能有所收獲，深度學(xué)習(xí)的任務(wù)是提高能力，形成優(yōu)良品格，就數(shù)學(xué)而言當(dāng)然包括核心素養(yǎng)的提升。如何讓教學(xué)有深度、有價值，關(guān)鍵在于對課例的整體把握。所以有意義的教學(xué)活動，在建立聯(lián)系的基礎(chǔ)上，要形成結(jié)構(gòu);通過問題引領(lǐng)，體驗交流與頓悟，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生;利用單元整體教學(xué)，發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)點。筆者即以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊——“三角形的初步認識”為例，談?wù)勛陨淼慕虒W(xué)主張。

一、單元整體構(gòu)建

在整體架構(gòu)的過程中，對研究對象來說，首先需要思考以下幾個問題：三角形的知識（內(nèi)容）是按照怎樣的邏輯展開教學(xué)的？理解什么叫“三角形的初步認識”，初步之后干什么？又應(yīng)該如何展開教學(xué)？浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊——“三角形的初步認識”的單元目錄主要包含以下內(nèi)容：1.1認識三角形，主要研究三角形概念及要素關(guān)系，一些簡單的性質(zhì)定理;1.2和1.3是命題證明等語言邏輯，暫且撇開不談;1.4和1.5是全等三角形的相關(guān)內(nèi)容;1.6是尺規(guī)作圖，具體是操作層面上的問題。如果以現(xiàn)階段流行的大概念理念，可以將三角形初步梳理如下：

其中大部分與教材相似，而相似三角形在研究難度上要大于全等三角形，部分學(xué)習(xí)方法是可以與全等三角形進行類比的，因此將相似三角形內(nèi)容置后學(xué)習(xí)，也導(dǎo)致了重心的性質(zhì)延后。而內(nèi)心是圓相關(guān)的內(nèi)容，也是需要延后學(xué)習(xí)的，這也就確定了三角形初步學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

另外，三角形初步之后的進一步研究該如何進行，思考這個問題，對整體把握、深度學(xué)習(xí)有著非常關(guān)鍵的作用，也是形成聯(lián)系架構(gòu)的規(guī)劃方向?？梢詮囊韵氯齻€方面進一步研究，第一，是研究維度加深，例如研究完中線的性質(zhì)，很容易引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想三角形有幾條中線，三條中線可能產(chǎn)生何種特殊的位置關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系，三條中線的交點又會和中線本身，和三角形的其他要素產(chǎn)生何種關(guān)系。以此類推，三條角平分線、三條高線等，持續(xù)深入地挖掘要素之間的關(guān)系;第二，將要素或者圖形特殊化進行研究，也就是所謂的特例的研究，比如等腰三角形、等邊三角形等，在要素特殊化的過程中，要素關(guān)系也會產(chǎn)生相應(yīng)變化，使研究成果更加豐富;第三，關(guān)聯(lián)性的復(fù)雜化，也就是從聯(lián)系上入手，從全等的等量關(guān)系到相似的比例關(guān)系，可以看作一種復(fù)雜化，但也因此大大增加了研究的輻射面，使涵蓋面更加廣泛。

理解清楚前后關(guān)聯(lián)與知識定位，更有助于教師進行單元整體構(gòu)建，讓每一個部分都變成有意圖、有邏輯體系、有育人價值的重要環(huán)節(jié)。

二、邏輯主線生成

在單元整體架構(gòu)下，不難發(fā)現(xiàn)，三角形初步的整個基調(diào)是先研究一個三角形，再研究兩個三角形之間的關(guān)系。三角形作為第一個學(xué)習(xí)的封閉直線型，奠定了后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的導(dǎo)向，依照概念（定義、分類、表示）——性質(zhì)——聯(lián)系（結(jié)構(gòu)）的研究方法確定了幾何研究的邏輯思路，以要素間的關(guān)系為切入點進行性質(zhì)的探究。比如，在教材中可以以三角形的基本要素，即邊與角為例，在通過要素間的關(guān)系定義概念后，即可探究角與角之間有內(nèi)角和為180°的確定的數(shù)量關(guān)系，邊之間有任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系，角與邊之間有大邊對大角的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)然某些更為具體的關(guān)系會在后續(xù)學(xué)習(xí)中繼續(xù)探索。而兩個三角形之間的關(guān)系依照圖形之間的形狀、大小、位置等特征進行定義，初步學(xué)習(xí)中主要研究最特殊的全等關(guān)系，而在研究一個三角形后，即可通過對應(yīng)關(guān)系有效傳遞某些特質(zhì)，這就是三角形初步學(xué)習(xí)所要達到的效果，也就是教師需要有序呈現(xiàn)給學(xué)生的知識邏輯。這樣的認知過程是可復(fù)制的，對后續(xù)特殊三角形或四邊形等其他幾何圖形的學(xué)習(xí)是具有提供類比模板的效果的，這也是對深度學(xué)習(xí)的一個重要導(dǎo)向。而知識邏輯生成的前提是必須符合學(xué)生的認知邏輯，比如學(xué)生更習(xí)慣從單一靜態(tài)圖形到多樣的組合圖形，或者動態(tài)圖形;從簡單的問題上升到復(fù)雜問題;從一般到特殊（有時也會從特例先入手）等，在符合學(xué)生認知邏輯的基礎(chǔ)上的整體架構(gòu)才更能實現(xiàn)其價值，與知識邏輯交相輝映，實現(xiàn)事半功倍的效果。

三、具體內(nèi)容設(shè)計

整體架構(gòu)與邏輯主線的形成是大方向?qū)崿F(xiàn)的重要導(dǎo)向，但每一個課時環(huán)節(jié)也都是至關(guān)重要的，下面就如何教好某一個知識進行深入研究。筆者以基本要素“三角形的重要線段”為例進行教學(xué)設(shè)計，重點解決以下問題：“三角形的重要線段”是如何教學(xué)的？一條線段的教學(xué)，整合起來要達成怎樣的教學(xué)目的？這個過程到底講述了怎樣的數(shù)學(xué)“故事”？揭示了三角形怎樣的空間結(jié)構(gòu)？在認識和學(xué)習(xí)幾何圖形的過程中，給將來學(xué)習(xí)，研究幾何圖形以怎樣的啟示？

（一）內(nèi)容與內(nèi)容解析

本節(jié)課選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“1.1認識三角形”的第二課時。本章是初中階段學(xué)習(xí)的第一個直線型幾何圖形，也是初中第一個具體深入研究的幾何圖形。七年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾何初步以及相交線、平行線的基本內(nèi)容，對幾何已具備學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，針對幾何圖形的重要組成要素：點、線、角等進行了較為深刻的認識，尤其是它們之間的關(guān)系，如大小關(guān)系、位置關(guān)系等，有助于著手研究具體的幾何圖形。作為第一個具體學(xué)習(xí)的幾何圖形，三角形的學(xué)習(xí)對后續(xù)幾何學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的影響。它作為幾何學(xué)習(xí)標志，為幾何學(xué)習(xí)提供了類比與轉(zhuǎn)化對象，形成了幾何學(xué)習(xí)的一般思路，為后續(xù)不論要素學(xué)習(xí)、特殊圖形學(xué)習(xí)，還是其他圖形學(xué)習(xí)提供了方法與理論基礎(chǔ)。三角形三線的學(xué)習(xí)是在三角形定義與基本性質(zhì)學(xué)習(xí)后深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，三角形的基本性質(zhì)主要產(chǎn)生與角、邊等基本要素之間的對應(yīng)關(guān)系，如果研究的視野僅僅聚焦于此，難免太過單調(diào)，也無法體現(xiàn)三角形反映的空間性質(zhì)，因此加入外角、高線、中線和角平分線等研究對象，能大大提高對三角形的認知，使三角形的性質(zhì)變得更加豐富多彩。

對三線的定義，可以仿照三角形的定義，采用“屬+種差”的定義方式，實現(xiàn)研究方法的統(tǒng)一，性質(zhì)的探索依然可以利用三角形性質(zhì)研究時重點打造要素關(guān)系，三線的性質(zhì)反映了三線參與后與三角形本身的要素之間產(chǎn)生的定性、定量關(guān)系，為解決線段相等、角相等、比例相等、面積相等問題提供了新的方法和依據(jù)，更反映了大多數(shù)空間的基本性質(zhì)。因此本節(jié)課的內(nèi)容是平行線、三角形等知識的延續(xù)和深化，同時也為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅實基礎(chǔ)。筆者用如下框圖闡述了三角形三線的知識結(jié)構(gòu)：在具體研究過程中用到了推理的思想，具體體現(xiàn)在類比、歸納和演繹思想上。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：三角形三線的性質(zhì)及其應(yīng)用。

（二）目標與目標解析

本節(jié)課的目標定位為：1.理解中線、高線、角平分線的概念;2.探索并發(fā)現(xiàn)三角形三線的性質(zhì);3.嘗試證明三角形三線的部分性質(zhì);4.能根據(jù)定義或性質(zhì)進行有關(guān)的計算和證明。達成目標1的標志是：學(xué)生能用文字語言、符號語言、圖形語言描述三線的定義，知道性質(zhì)的研究是以定義為出發(fā)點的。達成目標2的標志是：學(xué)生能通過觀察、操作、測量、運算等方法發(fā)現(xiàn)三角形三線的性質(zhì)，能用文字語言和符號語言準確表示性質(zhì)的含義。達成目標3的標志是：學(xué)生能利用已知的知識用符合數(shù)學(xué)邏輯的語言證明部分性質(zhì)成立。達成目標4的標志是：學(xué)生能利用性質(zhì)進行推理證明，解決相關(guān)問題。

（三）教學(xué)問題診斷

小學(xué)已初步接觸過三角形的相關(guān)內(nèi)容，但小學(xué)階段對幾何的學(xué)習(xí)主要停留在實驗幾何的范疇，進入初中通過幾何初步以及平行線的學(xué)習(xí)，進行了一些推理證明的訓(xùn)練，對論證幾何有了一定的認識，但這種訓(xùn)練只是初步的，需要進一步鞏固和提高。另外，對三角形三線的性質(zhì)，基于小學(xué)時的經(jīng)驗和幾何直觀，學(xué)生能猜想出一些，但要無序散漫地尋找，還是有序理性地求索，此乃關(guān)鍵。教學(xué)中要讓學(xué)生在以往經(jīng)驗的引導(dǎo)下自主探索，從要素關(guān)系入手，在特殊條件的引領(lǐng)下進行思考，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，體會其對空間性質(zhì)的深刻影響。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點：三角形三線性質(zhì)的探索與證明。

（四）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：獲得對象。在紙片上任意畫一個三角形，觀察小組內(nèi)所畫三角形是否相同，并說出他們的共同點是什么？（教師將零散的知識塊，串聯(lián)成研究幾何圖形的一般思路）。設(shè)計意圖：通過繪制三角形的過程，重現(xiàn)要素關(guān)系定義幾何圖形的方法，回顧三角形的定義，通過交流共同點回顧三角形的性質(zhì)與分類，熟悉通過要素關(guān)系研究定理的過程，形成研究幾何圖形的一般思路。畫一條線段把所畫的三角形分成兩個三角形。問題一：相互觀察，所畫線段是否一樣？問題二：這樣的線段可以畫幾條？問題三：這些線段有什么共同特點？問題四：隨著點P的改變，被分成的兩個三角形是否發(fā)生了變化？問題五：在變化過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化？設(shè)計意圖：中線、高線、角平分線一定不是憑空出現(xiàn)的，三線之間也必然會有內(nèi)在聯(lián)系，在整體設(shè)計、深入理解的前提下，給出引領(lǐng)三線的重要線段，將視角從基本要素邊上轉(zhuǎn)移到頂點與對邊一點的連線段上，為之后三線的生成提供母體。通過問題串的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生去確定研究對象，思考變化中的不變量，經(jīng)歷性質(zhì)的產(chǎn)生過程，例如三角形的面積之比等于底邊之比等，為后續(xù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)提供了方法指導(dǎo)。

小組討論，當(dāng)點P運動到哪些特殊位置時，可以得到更為特殊的線段AP。設(shè)計意圖：秉承從一般到特殊的理念，引導(dǎo)學(xué)生從不等到相等，從一般的角到特殊角，從變化過程中的最長或最短、最大或最小等角度，進行要素的特殊化處理，在如此系統(tǒng)的操作過程的引領(lǐng)下，中線、高線、角平分線的產(chǎn)生不僅自然，而且統(tǒng)一。給出中線、高線、角平分線的定義。設(shè)計意圖：定義的給出以要素關(guān)系為出發(fā)點，由此可將三線的定義整合，中線是頂點到對邊中點的連線;高線則可看作過頂點作對邊的垂線所產(chǎn)生的垂足與此頂點的連線;同樣的，三角形的角平分線則是角的角平分線與對邊的交點與該角頂點的連線，如此定義也可幫助學(xué)生理解相應(yīng)線段出現(xiàn)的位置差異，如三角形的形外高，同時進一步明確三角形的三線是從頂點出發(fā)的三條線段，也與后續(xù)如中垂線、中位線等概念進行有效區(qū)分。

環(huán)節(jié)二：探索性質(zhì)。接下去分別就三條特殊的線段進行性質(zhì)探索。以高線為例：問題一：若AP為高線，此時被分成的兩個三角形變成何種三角形？問題二：這些三角形的邊、角較一般情況會產(chǎn)生何種新的特征？問題三：對高線你還有其他能想到的嗎？問題四：除了以上的定性關(guān)系，從定量上來看高線還有別的特點嗎？設(shè)計意圖：探索要素關(guān)系是研究性質(zhì)的基本方法，在前面的活動中讓學(xué)生聚焦于被分割的兩個三角形以及它們的要素。在高線的特殊條件加入后，引導(dǎo)學(xué)生觀察要素經(jīng)過條件感染后產(chǎn)生的明顯變化，學(xué)會從邊、角等方面有序羅列，從而發(fā)現(xiàn)如直角三角形、銳角三角形之間的互余關(guān)系，邊之間的定量關(guān)系等。隨后的追問將問題引到更加深沉的地步，比如高線是頂點與對邊交點連線中最短的，引出其重要的度量屬性，而談到面積又會產(chǎn)生化斜為正的重要思想，這樣的發(fā)現(xiàn)過程學(xué)生必然是沉浸其中的。

以中線為例：問題一：若AP為中線，此時被分成的兩個三角形有何特征？問題二：這些三角形的邊、角、周長、面積之間較一般情況會產(chǎn)生何種新的特征？問題三：對中線你還有其他能想到的嗎？設(shè)計意圖：三線性質(zhì)的探索過程是可以相互借鑒的，當(dāng)然除了聯(lián)系之外，也需要體會三者之間存在的差異，相較于高線分成的兩個直角三角形，中線所分的三角形不是特殊三角形，而需要通過中線帶來的直觀的線段相等入手，引導(dǎo)學(xué)生從一般情況發(fā)現(xiàn)的結(jié)論入手，得出并證明三角形之間面積相等的重要結(jié)論，自然的，周長之間的關(guān)系也是容易一并生成的，后續(xù)的追問能讓學(xué)生體會類似中線所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)對旋轉(zhuǎn)對稱的重要作用。

以角平分線為例：問題一：若AP為角平分線，此時被分成的兩個三角形之間會產(chǎn)生何種聯(lián)系？問題二：除了角度相等以外，邊之間是否也存在特殊的關(guān)系呢？問題三：除了研究數(shù)本身以外，還可以從它們的和、差、積、商去研究他們的數(shù)量關(guān)系（展示和差積商，總結(jié)規(guī)律）。設(shè)計意圖：角平分線對三角形的影響是重要，但是生澀的，許多的性質(zhì)定理需要通過后面的知識方可證明，但對定理的發(fā)現(xiàn)，可以為學(xué)生提供思想方法與技術(shù)支持，在幾何畫板展示變化過程中的不變量，更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)角平分線對邊之間比例關(guān)系的影響，提高學(xué)生的探索欲望，也堅定其嘗試證明的決心，真正實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用新知

1.在△ABC 中，D是BC邊上的一點，若S△ABD=S△ADC，則AD是△ABC的（? ? ?）。

A.高線? ? B.中線? ? C.角平分線? ? D.垂直平分線

2.如圖，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，AD平分線∠BAC。過點D作DE⊥AB于點E，則∠ADE的度數(shù)是（? ? ? ）。

A.45°? ? ? ? ? ? B.50°? ? ? ? ? ? C.55°? ? ? ? ? ? D.60°

3.已知△ABC中，AC=5cm，中線AD把△ABC分成兩個小三角形，且△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，你能求出AB的長嗎？設(shè)計意圖：通過性質(zhì)的應(yīng)用及時鞏固性質(zhì)，讓發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)成功著陸，進一步體會三角形三線對三角形的特殊作用。

環(huán)節(jié)四：梳理小結(jié)。問題一：研究對象（三角形的三線）是如何獲得的？問題二：我們是如何研究三線性質(zhì)的？問題三：三線的性質(zhì)有哪些應(yīng)用之處，在應(yīng)用時需要注意哪些要點？問題四：你還可以從哪些角度進一步研究三線的性質(zhì)？設(shè)計意圖：小結(jié)的過程往往就是方法總結(jié)的過程，也是我們進行練習(xí)和架構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，回顧整個研究思路，能進一步鞏固研究幾何的一般套路，在整體統(tǒng)一的認識與學(xué)習(xí)后進一步體會三角形章節(jié)的整體框架，真正做到心中有底，又不失熱情。隨后的追問為學(xué)生提供了新的研究線索，可以從一條到三條之間的聯(lián)系，可以著手于特殊三角形的三線等方面，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情不會隨著課時結(jié)束而終止。

（五）教學(xué)反思

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵遠不止于此，除了課內(nèi)要教給學(xué)生的內(nèi)容以外，教師仍需不斷強化學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情、素養(yǎng)等許多方面，激發(fā)其自主探索的動力，潛移默化中使之領(lǐng)會數(shù)學(xué)的魅力。比如，三角形三線的學(xué)習(xí)中，希望學(xué)生能從中線：面積相等;角平分線：邊的“對稱”比例關(guān)系;高線：距離（最短通路）等方面，體會到研究對象的根本屬性：對象具有對稱性，對象構(gòu)成距離空間，對象的度量特征。這恰恰反映了空間的本質(zhì)，后續(xù)的研究將永遠圍繞三件事展開，在點滴中或許就形成了學(xué)生對幾何研究的整體性了。

四、幾點思考感悟

數(shù)學(xué)知識不是零散的、碎片式、雜亂無章的信息，而是有邏輯、有體系、有結(jié)構(gòu)的知識，基于深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，要充分考慮學(xué)生已有的認知經(jīng)驗，統(tǒng)觀整體的知識架構(gòu)，在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)前的學(xué)習(xí)活動區(qū)聯(lián)想、調(diào)動、激活以往學(xué)習(xí)的經(jīng)驗開展當(dāng)下的學(xué)習(xí)。整體觀念的視角下，三角形三線的學(xué)習(xí)理應(yīng)是一氣呵成的，不是獨立分散的，所以教師不能局限于教材中簡單的性質(zhì)，如今這種大膽的嘗試使獲得的性質(zhì)更具有整體性，能更完整地反映空間本質(zhì)，符合學(xué)生的認知規(guī)律。性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的過程是學(xué)生自主交流、思維碰撞的過程，實現(xiàn)了從直觀到演繹推理的過程，有助于增強學(xué)生的邏輯推理能力和語言表達能力，提高學(xué)習(xí)興趣，沉浸于環(huán)環(huán)相扣的問題解決中，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（宋行軍）