劉達鋒

(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實驗學(xué)校,511466)

本文從一道新高考解析幾何試題出發(fā),揭示命題背景，探究題源,挖掘命題的“題根”,達到由例及類、觸類旁通的目的．

一、試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

該題與2016年的四川高考理科數(shù)學(xué)第20題十分相似．

(1)求橢圓E的方程及點T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點,直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值．

這兩題第(2)問的條件類似,|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,|PT|2=λ|PA|·|PB|,容易讓人想起初中所學(xué)的相交弦定理、割線定理、切割線定理．我們知道,橢圓是可以由圓伸長或壓縮得到,那么,橢圓、雙曲線是否也有類似定理?

二、尋根溯源

研究數(shù)學(xué)問題最好的方法也是尋根刨底,找到問題的根源．從基礎(chǔ)入手,由淺入深,層層遞進,找尋方法,挖掘真相．首先來看一下圓的相交弦定理的證明．

證明如圖1，連結(jié)AD,BC,由圓周角定理的推論,得∠A=∠C,∠D=∠B．∴?PAD∽?PCB，∴PB∶PC=PD∶PB,PA·PB=PC·PD.

如圖2，當(dāng)點P在圓外時,就有了割線定理；如圖3，當(dāng)A，B重合一點時,有|PA|2=|PC|·|PD|,即切割線定理．

顯然，想要通過相似三角形來探究橢圓的類似結(jié)論似乎不太可行；考慮通過弦長公式、距離公式直接運算求解,運算量又太大.那么還有沒有更好的方法呢?說到長度距離問題,不得不說直線的參數(shù)方程是解決圓錐曲線中長度距離問題的最佳工具,不妨一試．

三、推廣應(yīng)用

設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),過拋物線內(nèi)一點P作兩條直線與拋物線相交,交點分別為A，B和C，D,則則|PA|·|PB|和|PC|·|PD|有何關(guān)系?

例3已知曲線C:y2=4x，傾斜角互補的兩條直線l1,l2其中l(wèi)1與曲線C交于A，B兩點,l2與C交于M，N兩點,l1與l2交于點P(x0,y0),求證:|PA|·|PB|=|PM|·|PN|.