權亭亭 李孝誠

(淮北師范大學數(shù)學科學學院,235000)

本文以兩道數(shù)列高考題為例，對“美學”視角下解題的教學設計進行探究．

一、“數(shù)學美”的幾種典型表現(xiàn)形式及教學價值

數(shù)學是一門自然科學,而美學是一門人文社會科學,看似毫無聯(lián)系的兩門學科,卻彼此聯(lián)系、相互貫通,構成一種“數(shù)學美”.數(shù)學與美是分不開的,“美學”早已作為數(shù)學研究的原則融入到數(shù)學中.

“數(shù)學美”的具體形式包括簡潔性、和諧性、奇異性、對稱性以及邏輯嚴密性等,也就是說,“數(shù)學美”是一種理性、具體、形象、生動的美.如果教師可以在課堂中合理運用“美學”講授數(shù)學高考題,讓學生感受到“數(shù)學美”,那么學生學習數(shù)學的興趣將是穩(wěn)定而持久的.

1.激發(fā)數(shù)學學習興趣

心理學研究表明,學生對于美的各種形式的感受,會使得大腦迅速進入到興奮狀態(tài),產生愉快的心情.如果在教學中靈活應用“數(shù)學美”,這將會使數(shù)學課堂氣氛活躍,提高學生學習數(shù)學的興趣.那么,如何將“數(shù)學美”的思想滲透于課堂中呢?這就要求教師做足課前準備,將數(shù)學與美學有機結合,深入探究“數(shù)學美”，將數(shù)學課堂教學過程設計為發(fā)現(xiàn)“數(shù)學美”,鑒賞“數(shù)學美”,創(chuàng)造“數(shù)學美”的過程,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

2.培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力

“數(shù)學美”的一個重要教學價值是培養(yǎng)學生創(chuàng)造美的能力.要通過引導學生并提示解決問題的思路,使學生發(fā)現(xiàn)美,進而啟發(fā)學生選擇合適的“數(shù)學美”的形式,關聯(lián)問題中的數(shù)學要素,逐步引導出學生認知中的美,完成創(chuàng)造美的過程.這不僅可以提高學生的數(shù)學直覺能力,而且可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

3.提高解決問題能力

“數(shù)學美”是一種形象的美,比如處處對稱的圓、穩(wěn)定的三角形、永不相交的平行線等等.要盡可能地契合學生心理活動轉承啟合的環(huán)節(jié)發(fā)生數(shù)學知識,通過教學設計,達到透過學生的認知方式發(fā)生數(shù)學認識的目的[1].可以從數(shù)學知識、數(shù)學經驗以及“數(shù)學美”多個方面引導學生,從審美的角度分析解題方法的優(yōu)劣,以創(chuàng)造新的解題方法,使問題完美解決,從而提高學生解決問題的能力.

4.陶冶學生思想情操

在數(shù)學教學過程中,往往會強調解題的方法,其實就是數(shù)學的思想,數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識中.數(shù)學題目眾多,學生不可能每個都掌握,因此,應傳遞數(shù)學思想,學生應做到舉一反三.“數(shù)學美”作為一種數(shù)學思想發(fā)揮著潛移默化的作用,要對“數(shù)學美”有深刻的理解,將“數(shù)學美”與教學有機結合,聯(lián)系實際進行探索,幫助學生深化對知識的理解,陶冶學生的思想情操.

二、幾種典型的“數(shù)學美”

1.對稱美

數(shù)學中存在許許多多的對稱美,包括圖形和數(shù)式的結構、數(shù)學的概念、函數(shù)的圖象等等.例如“<,=,>”所連接的兩邊構成對稱美的要素,在數(shù)式的結構中抽象出對稱美,利用不等號的對稱性,引導學生對稱美的審美意向,發(fā)現(xiàn)左右兩邊結構不一致,從而想到解決問題的本質,就是要使左右結構保持一致,想方設法地將其中一邊進行化簡或計算,使問題得以解決.在這一教學過程中,要牢牢把握學生的心理內驅力,將數(shù)學的對稱美滲入到學生的認知中.再如數(shù)學中成對出現(xiàn)的概念,增函數(shù)與減函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、收斂與發(fā)散等等,體現(xiàn)了由一般到特殊的演繹法和由特殊到一般的歸納法,可以將對稱美的思想運用于數(shù)學概念的講解,使學生深入理解數(shù)學概念,感受數(shù)學知識的樂趣.數(shù)學的這種對稱美,不僅給人以視覺上的享受,更為解題提供有利的信息,有助于從創(chuàng)造對稱關系上把握問題的整體性[2].

2.和諧美

格式塔心理學派的奠基人韋特海默在其著作《創(chuàng)造性思維》中論述了創(chuàng)造性思維的核心,他認為:“創(chuàng)造性思維的核心是思維者關注問題的整體,理解問題的內在結構,將部分看作整體,把握整體與部分之間的聯(lián)系”.社會與自然總是想方設法地使自己成為一個和諧的整體,數(shù)學更是這樣,因而反映到數(shù)學上則表現(xiàn)為數(shù)學的和諧美,即多樣性的統(tǒng)一[3].在數(shù)學高考題中,命題者所給出的條件也不是雜亂無章的,是具有一定聯(lián)系的,引導學生探究試題整體與部分的和諧聯(lián)系，是解題的關鍵.

三、高考數(shù)學解題的教學設計示例

1.學情分析

以2021年高考全國乙卷文科第19題和2015年高考安徽卷理科第18題為例.在設計高考數(shù)學習題課時,需要厘清以下幾個問題:首先,這兩道高考題是否有講解的必要?因為在高考沖刺階段,時間是非常緊張的,如果教師在課前沒有將高考題研究透徹,就拿到課堂上去講授,這必定會事倍功半,影響課堂的效率;如果這兩道高考題班上有85%的學生已經掌握,那么這道題也就沒有講解的必要.其次,“數(shù)學美”的思想是否適用于這兩道題?因為“數(shù)學美”只是化繁為簡的一種思想,不是所有的問題都可以通過“數(shù)學美”來求解的.第三,這兩道題的難點在哪里?再者,學生的困惑是什么?根據(jù)對安徽省淮北市某中學的高三班調查發(fā)現(xiàn),班級中只有5%的學生得到滿分,因此,這兩道題有講解的必要.

2.解法分析

對參考答案進行分析,參考答案是借助猜想獲取一個結論,再利用數(shù)學歸納法驗證猜想,這種方法是可行的.但是這種解題方法很麻煩，在高考中,運用這種思路解題,學生一方面要對猜想的結論進行驗證,另一方面又可能對自己的猜想產生懷疑,而且運用數(shù)學歸納法驗證猜想需要進行冗長的計算.在這樣的壓力下,許多學生都出現(xiàn)困惑,影響情緒[4].對參考答案進行否定,這就需要找到一種不同于參考答案的解法,這種解法可以易于學生理解.

(1)對稱美

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

①

②

生1:①式是n項和,②式只有一項,故可以將① 式化簡為一項,這樣兩邊進行比較更容易一些.

師:比較兩邊的大小,需要將一邊化簡成一個具體的表達式進行比較.但是① 式并不是一個等差或等比數(shù)列,那么如何將① 化簡為一項呢?

從“數(shù)學美”的形式看,不等號的對等性正是一種“對稱美”的體現(xiàn).在化簡的定勢思維下,學生可以想到將左右兩邊化簡為形式結構相同的表達式,從而達到解題的目的.由此可以看出,數(shù)學中的“對稱美”很好地使學生發(fā)現(xiàn)解決此類題型的思路.

(2)和諧美

師:給大家5分鐘的時間思考一下這個題目,要證明不等式,能否通過將數(shù)量值放大或者縮小,將其變成一種相等的關系呢?(不等與相等兩者之間是相對的),首先將不等式分成兩部分

①

②

生1:我們想用放縮法對①式和②式進行放縮,可是①式過于復雜,是n項積,而②式只有一項,太簡單.

③

④

式是一個整體,我不知道接下來該如何比較.

整個教學設計的過程意在促進學生產生“分項放縮”的數(shù)學觀念,從“數(shù)學美”的形式看,將不等號通過分項放縮,直至放縮到相等,這正是一種“和諧美”的體現(xiàn).在“和諧美”的審美意向指導下,將④式作為目標,通過分項放縮改變條件③的形式,把握整體與部分之間的聯(lián)系,引導學生完成“完形”的心理內驅力.因此,在解題教學過程中,滲透“對稱美”與“和諧美”的審美意向是非常重要的.在數(shù)學“對稱美”與“和諧美”的審美意向的支持下,將難點一層層鋪墊與展開,步步引導與啟發(fā),體現(xiàn)了教師在數(shù)學問題解決過程中處理問題的創(chuàng)造性[5].