陶新芝

(江蘇省昆山中學(xué),215300)

課本中的例題和習(xí)題具有示范性和延展性,是訓(xùn)練學(xué)生思維,提升解題能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的核心生長(zhǎng)點(diǎn)．開展課本典型例、習(xí)題的探究性教學(xué),有利于減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),有助于學(xué)生跳出題海．本文對(duì)一道課本習(xí)題的教學(xué)進(jìn)行探究．

問題函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),將其推廣可得:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

一、課堂教學(xué)片斷

1.巧用平移轉(zhuǎn)化，探索問題解決

師:請(qǐng)從圖象變換的角度說(shuō)明推廣結(jié)論中條件與結(jié)論之間的關(guān)系．

學(xué)生小組討論結(jié)果:當(dāng)a≥0,b≥0時(shí)，函數(shù)y=f(x+a)-b的圖象向右平移a個(gè)單位,再向上平移b個(gè)單位,可得函數(shù)y=f(x)的圖象;函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,可推得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱.當(dāng)a<0,b<0時(shí),函數(shù)y=f(x+a)-b的圖象向左平移a個(gè)單位,再向下平移b個(gè)單位,可得函數(shù)y=f(x)的圖象;函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,可推得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱.

師:函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)用符號(hào)語(yǔ)言怎樣刻畫?

生:f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]?f(x+a)+f(-x+a)=2b.

師:根據(jù)以上分析如何求解本題第(1)問?

學(xué)生小組討論結(jié)果如下:

方法1(待定系數(shù)法)

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)P(a,b),則函數(shù)y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數(shù).

由奇函數(shù)的定義可得(x+a)3+(-x+a)3-3(x+a)2-3(-x+a)2-2b=0，即

(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0.

故函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心是(1,-2).

方法2(圖象變換法)

因?yàn)閥=f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3(x-1)-2,所以y=f(x+1)+2=x3-3x.由于y=f(x+1)+2=x3-3x是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心是(1,-2).

師:類比原題結(jié)論,完成第(2)問．

生:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

師:用符號(hào)語(yǔ)言刻畫函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

生:f(-x+a)=f(x+a).

本題看似簡(jiǎn)單,若深入挖掘可以得到一些新的結(jié)論,進(jìn)而拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維空間,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.問題特殊化,探尋思維新生長(zhǎng)點(diǎn)

學(xué)生小組討論結(jié)果:由三次函數(shù)y=f(x)=ax3+bx2+c+d是奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,猜測(cè)三次函數(shù)y=f(x)=ax3+bx2+c+d是中心對(duì)稱圖形,設(shè)對(duì)稱中心為是點(diǎn)P(m,n),則f(x+m)+f(-x+m)=2n,代入f(x)=ax3+bx2+cx+d化簡(jiǎn)得：(3am+b)x2+am3+bm2+cm+d=n.由此可知

3.變換視角,拓展學(xué)生思維空間

師:若函數(shù)f(x)是定義在集合D上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,若函數(shù)f(x)定義在集合D上且具有最大值和最小值,則f(x)max+f(x)min=0.類比推廣,定義在集合D上的函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱,若函數(shù)f(x)是定義在集合D上具有最大值和最小值,則f(x)max+f(x)min=( ).

生:f(x)max+f(x)min=2b.

師:若函數(shù)f(x)是定義在集合D上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,若函數(shù)f(x)在集合D上有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn),則有f(0)=0,類比推廣,若定義在集合D上函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,若函數(shù)D上有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則有( )：

生:f(a)=0.

4.學(xué)以致用,揭示高考題神秘面紗

(A)f(x-1)-1 (B)f(x-1)+1

(C)f(x+1)-1 (D)f(x+1)+1

例2(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( )

(A)0 (B)m(C)2m(D)4m

二、教學(xué)反思

1.鉆研教材,充分挖掘例習(xí)題的育人價(jià)值

課本是教師上課之本,學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知之本,也是高考專家命題之本.分析教材是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ),是教師上課的前奏.對(duì)教材分析是否到位,不僅關(guān)系到能否發(fā)揮教材的作用,也會(huì)直接影響教師的課堂教學(xué)質(zhì)量[1].教學(xué)中,應(yīng)注重對(duì)課本例題和習(xí)題的開發(fā)利用,對(duì)典型的例題和習(xí)題進(jìn)行挖掘、聯(lián)想、推廣、引申，得到綜合性強(qiáng)、形式新穎的問題,訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)新性,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.教師主導(dǎo),用問題激活整個(gè)教學(xué)過(guò)程

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要通過(guò)教師組織教學(xué)活動(dòng)來(lái)引領(lǐng)．在教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)問題是學(xué)生思維的發(fā)動(dòng)機(jī),因此要用精心設(shè)計(jì)的一系列問題來(lái)引導(dǎo)教學(xué)進(jìn)程．根據(jù)課程內(nèi)容提出有研究?jī)r(jià)值的問題,問題的提出要以學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平為基礎(chǔ),但不能僅靠回憶或復(fù)述就能解決,而要能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)整合,啟發(fā)學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容探究,引發(fā)學(xué)生深度思考,從而使學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)．

3.學(xué)生主體,在活動(dòng)中提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)是能動(dòng)的,是依賴于大腦機(jī)能而存在的,具有很強(qiáng)的主體性,他人無(wú)法替代．?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累,數(shù)學(xué)能力需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,僅依賴教師講授是不行的,更重要的是尊重學(xué)生的主體地位,依靠學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)活動(dòng),并在活動(dòng)中認(rèn)真思考．在教學(xué)活動(dòng)中,要給學(xué)生足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)進(jìn)行自主探究、合作討論和展示交流,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮主觀能動(dòng)性,在分析和探究中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升．