李清華， 王寶娟

(煙臺(tái)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái)264005)

1 引 言

“新工科(Emerging Engineering Education)”以培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新性卓越工程人才為主要目標(biāo)，對(duì)教學(xué)方式提出了新要求.工科的線性代數(shù)教學(xué)不僅要緊密結(jié)合產(chǎn)業(yè)背景和專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，更重要的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的興趣，強(qiáng)化教師的引導(dǎo)，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，實(shí)現(xiàn)以產(chǎn)出為導(dǎo)向的OBE(Outcomes-based Education)教學(xué)改革[1].傳統(tǒng)課堂教學(xué)面臨多重挑戰(zhàn)：一方面多數(shù)線性代數(shù)教學(xué)方式難以充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)方式難以跳出理論抽象性的掣肘，對(duì)于產(chǎn)業(yè)應(yīng)用案例引入較少，授課內(nèi)容缺乏生動(dòng)性，信息化輔助教學(xué)方式單一，使得講授內(nèi)容沒(méi)有完全激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，教學(xué)內(nèi)容不能有效結(jié)合產(chǎn)業(yè)實(shí)際情景，例如囿于人工演算局限性，出現(xiàn)矩陣等運(yùn)算往往不能超過(guò)4階運(yùn)算的問(wèn)題，使得學(xué)生難以完全理解教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，更難以培養(yǎng)學(xué)生線性代數(shù)的應(yīng)用能力.因此，改進(jìn)傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)以適應(yīng)“新工科”要求成為一個(gè)亟待探究的問(wèn)題.

線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式的改革是國(guó)內(nèi)近年研究的重要主題，主要圍繞信息技術(shù)的運(yùn)用展開(kāi)，特別隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的加持，混合式課堂環(huán)境的支撐，線性代數(shù)教學(xué)改革探索不斷豐富.在教學(xué)模式方面，將翻轉(zhuǎn)課堂應(yīng)用到線性代數(shù)的課堂教學(xué)中，改變教師角色，組織和引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，促進(jìn)OBE(Outcomes-based Education)和教學(xué)質(zhì)量的提高[2]；在教學(xué)內(nèi)容方面，針對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)院代表的信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)對(duì)線性代數(shù)課堂的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革，突出理論與實(shí)踐相結(jié)合，強(qiáng)化線性代數(shù)的學(xué)科應(yīng)用以及加強(qiáng)對(duì)編程語(yǔ)言的訓(xùn)練[3-4].其中，研究線性代數(shù)教學(xué)中的概念可視化處理，可以促進(jìn)學(xué)生具象化學(xué)習(xí)和提升結(jié)合案例的實(shí)踐能力，成為教學(xué)改革研究中有價(jià)值的探索領(lǐng)域.目前已有文獻(xiàn)中多使用MATLAB等專(zhuān)用軟件來(lái)處理線性代數(shù)中的概念可視化問(wèn)題，應(yīng)用領(lǐng)域多集中在矩陣的運(yùn)算部分.但是學(xué)界對(duì)計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言Python編程開(kāi)發(fā)知識(shí)點(diǎn)可視化的實(shí)踐研究較少.本研究聚焦線性代數(shù)抽象概念具象化的教學(xué)課程改革，引入Python編程語(yǔ)言設(shè)計(jì)，探究一種促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性與應(yīng)用能力提升和符合“新工科”要求的教學(xué)設(shè)計(jì).

2 可視化教學(xué)設(shè)計(jì)的探索與實(shí)踐

大學(xué)生具象思維特征顯著，他們更喜歡接受和理解具體形象的知識(shí)，而線性代數(shù)理論較為抽象，難以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，本研究以“新工科”教學(xué)要求，對(duì)線性代數(shù)的傳統(tǒng)課堂模式進(jìn)行改革，用實(shí)例引入理論，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，將線性代數(shù)理論進(jìn)行形象化，使得理性的知識(shí)化為感性的實(shí)例，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

Python作為目前人工智能領(lǐng)域中的一門(mén)重要編程語(yǔ)言，應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、云計(jì)算、數(shù)據(jù)分析、自動(dòng)化運(yùn)維等多工業(yè)領(lǐng)域，特別在圖形界面開(kāi)發(fā)上具有明顯優(yōu)勢(shì).同時(shí)，Python語(yǔ)言具有簡(jiǎn)單靈活、擴(kuò)展性強(qiáng)、開(kāi)源、免費(fèi)等特點(diǎn)，只要學(xué)生具備計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)能力，就容易激發(fā)興趣.本研究使用Python語(yǔ)言，將線性代數(shù)教學(xué)中部分應(yīng)用非常廣泛的內(nèi)容可視化處理，以當(dāng)今熱議的人臉識(shí)別和圖像處理應(yīng)用領(lǐng)域?yàn)槔?，將矩陣的基本運(yùn)算、特征值與特征向量、奇異值分解三個(gè)知識(shí)主題相關(guān)理論結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)應(yīng)用過(guò)程分為三個(gè)階段，以適應(yīng)不同知識(shí)需求的學(xué)生.課前老師通過(guò)混合課堂線上發(fā)布課件和Python主要源碼；課上老師主要現(xiàn)場(chǎng)演示可視化程序，也可以引導(dǎo)學(xué)生分享操作；課后老師布置挑戰(zhàn)性的進(jìn)階題目，學(xué)生修改代碼來(lái)探索和創(chuàng)新，從而加深知識(shí)的理解和應(yīng)用.

2.1 矩陣的基本操作與圖像處理

圖像中的每個(gè)像素值就是矩陣的每個(gè)元素值，可以說(shuō)，圖像可以用矩陣來(lái)表示，所以對(duì)數(shù)字圖像的處理實(shí)際就是對(duì)矩陣的處理.一張彩色圖像可以是一個(gè)矩陣，只不過(guò)此矩陣的每一個(gè)點(diǎn)不是單個(gè)數(shù)值，而是一個(gè)3元素的數(shù)組，這3個(gè)元素是RGB值，R(RED)為紅色，G(GREEN)為綠色，B(BLUE)為藍(lán)色，范圍為0～255，所以一張彩色圖像可以視為3矩陣疊加形成，如圖1，其中1個(gè)矩陣就是1個(gè)通道.灰度圖屬于單通道圖像，像素的灰度值范圍為0～255，用來(lái)可視化矩陣，如圖2是一張512×512的灰度圖像，對(duì)應(yīng)一個(gè)512×512的矩陣，元素值就是灰度值0～255.

圖1

圖2

在課堂實(shí)際操作中，用數(shù)字圖像來(lái)可視化矩陣，可以幫助學(xué)生很好的理解矩陣的基本操作，如加法、減法和數(shù)乘等操作[5].學(xué)生們可以通過(guò)對(duì)這些圖像矩陣的基本運(yùn)算，得出最直觀的運(yùn)算結(jié)果，從而去鞏固和加深矩陣知識(shí).

在python 3.0及以上版本中調(diào)用下表中函數(shù)時(shí)，需要先在python中安裝OpenCV模塊來(lái)使用其中的庫(kù)函數(shù).具體操作：運(yùn)行命令提示符(即cmd)，使用‘cd’命令進(jìn)入python安裝路徑下的scripts目錄中，如C:Program FilesPython35Scripts，然后輸入命令：pip3 install opencv-python，加載成功之后，在IDLE中輸入import cv2.

2.1.1 矩陣的加法

通過(guò)改變圖像的亮度可以幫助理解矩陣的加法.在工業(yè)情景的實(shí)際操作中，改變圖像亮度是一種使圖像更加符合規(guī)范的修復(fù)手段，對(duì)于圖像矩陣圖3(a)的每一個(gè)元素，加上一樣的增量，若增量為正，如100，則亮度提升，如圖3(b)所示；反之，增量為負(fù)，如-100，則亮度降低，如圖3(c)所示.

圖3 (a)—(c)原圖與加上增量之后對(duì)比圖

安裝OpenCV模塊，在Python IDLE中調(diào)用函數(shù)add_demo實(shí)現(xiàn)圖像矩陣的加法，格式和說(shuō)明見(jiàn)表1.

表1 函數(shù)add_demo調(diào)用和說(shuō)明表

以上矩陣的加法是在一張圖像矩陣的基礎(chǔ)上加上一個(gè)所有元素都一樣的矩陣，可用來(lái)調(diào)節(jié)圖片的亮度.兩個(gè)圖像矩陣相加的結(jié)果，運(yùn)行如圖3(d)所示.

2.1.2 矩陣的數(shù)乘

矩陣的數(shù)乘也可以改變圖像的對(duì)比度：將原圖像矩陣乘以一個(gè)大于1的數(shù)，如1.5，就可以提升圖像的對(duì)比度；反之，矩陣乘以一個(gè)小于1的數(shù)，如0.5，就可以降低對(duì)比度.如圖4所示.

圖3(d)兩張圖像相加的圖示 圖4 圖像對(duì)比度改變的圖示

調(diào)用如下函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像矩陣的對(duì)比度的改變，格式見(jiàn)表2.

表2 函數(shù)contrast_brightness _demo調(diào)用和說(shuō)明表

在此函數(shù)中，改變其中的c值就可以改變圖像矩陣的數(shù)乘大小從而改變圖像對(duì)比度；改變其中的b值即相當(dāng)于給圖像矩陣作加法，改變圖像亮度.

2.1.3 矩陣的減法

矩陣作差，會(huì)收獲到圖片反轉(zhuǎn)的效果，圖5(a)是原矩陣與純白圖像作差.白色圖像的矩陣所有元素都為255.部分矩陣的計(jì)算演示以及結(jié)果如下：

調(diào)用函數(shù)subtract _demo實(shí)現(xiàn)圖像矩陣的加法，格式和說(shuō)明如表3所示.

表3 函數(shù)subtract _demo調(diào)用和說(shuō)明表

以上矩陣的減法是元素都一樣的矩陣減去一個(gè)圖像矩陣，可以得到圖片反轉(zhuǎn)的效果.下面是兩個(gè)不一樣的圖像矩陣相減的結(jié)果，如圖5(b)所示.

(a) (b)

2.1.4 矩陣的乘法

卷積在信號(hào)處理中應(yīng)用廣泛.在人工智能領(lǐng)域中，由卷積層組成的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Convolutional Neural Network，CNN)是一種非常重要的深度學(xué)習(xí)研究方法.在圖像處理領(lǐng)域中，卷積運(yùn)算(也稱(chēng)為濾波運(yùn)算)主要用到了矩陣的乘積和線性運(yùn)算，具體公式如下：

其中，G是原圖像，F(xiàn)是濾波器矩陣(Filter，也稱(chēng)卷積核)，H為濾波之后的圖像.直白了說(shuō)，卷積和加減乘除一樣，也是一種運(yùn)算，其根本操作是將兩個(gè)矩陣的其中一個(gè)先平移，然后再與另一個(gè)矩陣相乘后的累加和.

在實(shí)際應(yīng)用中，銳化、模糊和邊緣的濾波器卷積矩陣最常用[6]，具體分別是

調(diào)用OpenCV庫(kù)函數(shù)cv2.filter2D，格式與說(shuō)明見(jiàn)表4.

(1)絞車(chē)由1臺(tái)功率300 kW的交流變頻電機(jī)驅(qū)動(dòng)，減速箱設(shè)有兩擋，手動(dòng)換擋，可實(shí)現(xiàn)擋內(nèi)無(wú)級(jí)調(diào)速，并通過(guò)換擋實(shí)現(xiàn)較大扭矩或較大轉(zhuǎn)速。可以實(shí)現(xiàn)在高速擋時(shí)絞車(chē)輸出較高轉(zhuǎn)速和較大的提升力，滿足快速提下鉆要求，節(jié)約輔助作業(yè)時(shí)間，提高效率；在處理孔內(nèi)事故或超深孔鉆進(jìn)時(shí)，可選擇低速擋，絞車(chē)輸出大扭矩和較低轉(zhuǎn)速，實(shí)現(xiàn)以較小功率滿足不同工況各種作業(yè)要求。絞車(chē)變速范圍大，提升能力強(qiáng)。

表4 函數(shù)cv2.filter2D調(diào)用和說(shuō)明表

三種濾波器其對(duì)應(yīng)的處理效果見(jiàn)圖6.在教學(xué)中，老師可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)多個(gè)濾波器矩陣，改變kernel的值，輸出原圖像的卷積后的結(jié)果圖，加強(qiáng)對(duì)矩陣乘法的理解.

圖6 濾波器的銳化、模糊以及浮雕效果圖示

圖像的旋轉(zhuǎn)也可以理解為矩陣的乘法或者線性變換，其原理見(jiàn)圖7，把點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，可以用如下公式表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程：

圖7 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)示意圖 圖8 圖像旋轉(zhuǎn)圖示

調(diào)用函數(shù)srotate實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的圖像旋轉(zhuǎn)，運(yùn)行效果如圖8所示，調(diào)用函數(shù)格式和說(shuō)明見(jiàn)表5.

表5 函數(shù)srotate調(diào)用和說(shuō)明表

在教學(xué)中，可以讓學(xué)生課下嘗試改變其中旋轉(zhuǎn)角度angle，計(jì)算矩陣乘法，然后運(yùn)行程序，深刻地理解旋轉(zhuǎn)中的矩陣乘法原理.

2.2 特征值與特征向量和人臉識(shí)別

特征值和特征向量是線性代數(shù)中的重要概念，有著很強(qiáng)的應(yīng)用背景，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)和圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘等研究領(lǐng)域中.特征臉?lè)ㄊ且环N比較典型的人臉識(shí)別算法，其核心是PCA，也就是主成分分析方法.眾所周知，圖像、文本等非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)都是很高維度的，直接對(duì)這些高維數(shù)據(jù)操作將非常困難，也很難提取典型特征.PCA是一種線性降維算法，基本原則是將高維矩陣特征通過(guò)投影矩陣線性變換得到低維矩陣特征，是人臉識(shí)別和圖像重構(gòu)常用技術(shù)之一[7].一個(gè)矩陣A的特征向量就是經(jīng)過(guò)線性變換y=Ax之后，向量方向保持不變，只發(fā)生了伸縮和變形，其伸縮的比例就是特征值[8].

在特征臉?lè)ㄖ校瑢⑤斎氲娜四槇D像向量經(jīng)過(guò)一系列處理和計(jì)算得到一個(gè)協(xié)方差矩陣，計(jì)算這個(gè)矩陣的特征值和特征向量，得到的這些特征向量就可以看作一個(gè)圖像，即特征臉，實(shí)際就是一些臉部的特征.這些特征臉是特征子空間的一組基，對(duì)訓(xùn)練集的每一張人臉來(lái)說(shuō)，都是這些特征臉的線性組合[9]，如圖9所示.通過(guò)特征臉將輸入圖片向量化，得到特征向量，然后對(duì)比此向量與樣本庫(kù)中人臉向量的歐氏距離，依據(jù)給定閾值判斷是否屬于同一個(gè)人.

圖9 通過(guò)特征臉權(quán)重來(lái)代表人臉圖片的特征

通過(guò)10輪交叉驗(yàn)證特征臉?lè)ㄔ贠RL人臉庫(kù)上的識(shí)別精度.此庫(kù)包含40個(gè)不同人的400張圖像，所有圖像都是灰度圖并且以BMP格式存儲(chǔ).將數(shù)據(jù)集的部分人臉用來(lái)訓(xùn)練模型，選取小部分用來(lái)測(cè)試，以此驗(yàn)證此方法的精度.

表6 函數(shù)調(diào)用格式和說(shuō)明表

部分人臉數(shù)據(jù)集和運(yùn)行效果如圖10所示.

圖10 從左到右依次為：ORL部分人臉數(shù)據(jù)集、平均臉、識(shí)別結(jié)果

通過(guò)這10次的交叉驗(yàn)證，最后得到的驗(yàn)證準(zhǔn)確度為96.5%，為較好水平，即通過(guò)少量的樣本可以得到不錯(cuò)的結(jié)果，說(shuō)明此法能較好地保留主要特征，在圖像降維上有不錯(cuò)的結(jié)果.

在教學(xué)中，教師推送相關(guān)資料，學(xué)生自己建一個(gè)人臉數(shù)據(jù)庫(kù)或者使用已建好的人臉數(shù)據(jù)集，調(diào)整image的數(shù)據(jù)或者驗(yàn)證次數(shù)，查看平均特征臉以及識(shí)別結(jié)果.學(xué)生根據(jù)運(yùn)行結(jié)果試驗(yàn)此方法的準(zhǔn)確度，感受識(shí)別過(guò)程中的數(shù)學(xué)原理，從而更好地理解特征值和特征向量的實(shí)際作用與意義.

2.3 奇異值分解與圖像壓縮

為了高效存儲(chǔ)和傳輸圖像數(shù)據(jù)，工業(yè)上常用圖像壓縮技術(shù)來(lái)減少圖像的多余信息.數(shù)字圖像壓縮是通過(guò)減少圖像矩陣的數(shù)據(jù)量，用較少的量來(lái)還原原來(lái)圖像的一門(mén)技術(shù).使用矩陣的分解獲得圖像矩陣的前k個(gè)特征值進(jìn)行恢復(fù)該圖像，在k值取的得當(dāng)?shù)那闆r下，圖像的品質(zhì)不會(huì)受太大損失，卻大大節(jié)省了存儲(chǔ)空間.

在實(shí)際中，圖像矩陣一般都不是方陣，所以相比特征值分解，奇異值分解有著更廣泛的應(yīng)用.奇異值分解可以把矩陣分解為多個(gè)秩為1的矩陣之和[10]，形如：

其中的σ就是奇異值，u和v分別表示列向量.等式右邊的每一項(xiàng)uvT都是秩為1的矩陣.

把奇異值按照σ1≥σ2≥…≥σr排列，留下相對(duì)大的奇異值，去除小的奇異值，來(lái)近似描述圖像矩陣.在實(shí)際操作中，前10%甚至1%的奇異值之和可以占全部的99%.因此矩陣可以用最大的k個(gè)奇異值與對(duì)應(yīng)向量來(lái)近似代表，即：

調(diào)用Numpy庫(kù)函數(shù)和svd_restore函數(shù)，可以將一張灰度圖進(jìn)行奇異值分解，然后輸出保留不同奇異值個(gè)數(shù)的圖像，對(duì)比所占存儲(chǔ)空間大小和輸出效果，如圖11所示，第一張為原圖，其余為分別保留1，5，10，20，50，100，150個(gè)奇異值之后復(fù)原的圖像.

圖11 原圖與復(fù)原后的圖像對(duì)比示意圖

調(diào)用函數(shù)格式和說(shuō)明見(jiàn)表7.

表7 函數(shù)調(diào)用格式和說(shuō)明表

由輸出的圖像信息可得，原圖尺寸為512×512，保存這張圖需要存儲(chǔ)512*512=262144個(gè)像素點(diǎn)，有26萬(wàn)之多，在計(jì)算機(jī)中實(shí)際占空間為160KB.這張圖有512個(gè)奇異值，將他們從小到大排序之后，排在最后的較小的奇異值對(duì)整張圖片貢獻(xiàn)不大，故可以舍去.由輸出圖可以明顯看出，僅保留前20個(gè)奇異值就可以清晰看到人臉特征，但是顯然不夠清楚.如果選擇保留前50個(gè)奇異值，圖片占用存儲(chǔ)空間會(huì)稍微大一點(diǎn)但清晰度會(huì)上升.此時(shí)圖片有50*(1+512+512)=51250個(gè)像素點(diǎn)，僅為原來(lái)圖片像素點(diǎn)個(gè)數(shù)的19.6%，在實(shí)際文件保存中，所占存儲(chǔ)空間為120KB，為原圖的75%.因此可以看出，奇異值分解可以在保留原圖主要特征的基礎(chǔ)上對(duì)圖像壓縮，節(jié)省了很多存儲(chǔ)空間.

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生課下在實(shí)際演練中更換自己的圖片和奇異值個(gè)數(shù)，對(duì)自己的圖像進(jìn)行壓縮，充分理解奇異值分解的過(guò)程和意義，加深知識(shí)的理解.

3 教學(xué)效果

本研究在部分班級(jí)采用了知識(shí)點(diǎn)的可視化教學(xué)，內(nèi)容包括但不限于矩陣的基本運(yùn)算、特征值與特征向量、奇異值分解.教學(xué)效果顯示，相比于其他并行的傳統(tǒng)教學(xué)課堂，實(shí)施教學(xué)改革的課堂學(xué)生學(xué)習(xí)效率更高，學(xué)生平均成績(jī)最高，如圖12所示.其中高分段學(xué)生顯著更多，不及格人數(shù)是最少的.此外，在學(xué)習(xí)體驗(yàn)方面，學(xué)生們對(duì)教師課堂評(píng)價(jià)的百分位，從2017年的30.14%(改革前)增長(zhǎng)到2019年的59.33%(改革后)，也說(shuō)明改革后的課堂能更受歡迎，學(xué)生參與度更高，從而課堂效率更高.

圖12 三種教學(xué)模式下的學(xué)生成績(jī)對(duì)比(灰度等級(jí)最高的為改革后的教學(xué)課堂)

囿于研究投入和部分理論抽象的天然性，Python等語(yǔ)言和軟件的應(yīng)用無(wú)法展示全部的線性代數(shù)內(nèi)容，也不能完全取代理論講解的主導(dǎo)地位，但是這種可視化的教學(xué)設(shè)計(jì)一定程度上可以幫助學(xué)生在課中或者課后更好地理解知識(shí)內(nèi)容.

4 結(jié) 論

本研究利用Python實(shí)現(xiàn)對(duì)線性代數(shù)部分理論概念的可視化，將抽象的知識(shí)具象為感性的應(yīng)用實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂的教學(xué)效率.可視化突出了線性代數(shù)在人臉識(shí)別以及圖像處理領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用，課堂中引入概念可視化能夠適應(yīng)學(xué)生們的不同學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，尊重他們不同的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，滿足學(xué)生及時(shí)反饋和課堂討論的需求.學(xué)生在實(shí)際操作中，不僅能夠掌握理論上的知識(shí)，也能更深入地接觸社會(huì)中的實(shí)際應(yīng)用，有利于提高他們的科學(xué)素養(yǎng)，提高社會(huì)責(zé)任感.知識(shí)點(diǎn)可視化是線性代數(shù)教學(xué)改革中具有價(jià)值和意義的探索和實(shí)踐.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).