周碧蓉， 屈改珠

(1.寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，浙江 寧波315211； 2.渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 渭南714099)

1 引 言

自從1695年在Leibniz和L’Hospital的信件來(lái)往中提到非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展歷史已經(jīng)有三百多年，引起了許多學(xué)者的研究興趣.在二十世紀(jì)中后期，分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究更是有了較快的發(fā)展.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比較于整數(shù)階導(dǎo)數(shù)而言具有全局性，更能幫助從整體上去了解一個(gè)函數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì).目前分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義方法有許多種[1-2]，其中包括Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)，Caputo型導(dǎo)數(shù)以及Grunwald-Letnikov型導(dǎo)數(shù).本文中用到的Caputo導(dǎo)數(shù)是在Grunwald-Letnikov型導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上的一種改進(jìn)，并且當(dāng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為整數(shù)時(shí)與Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)的定義是等價(jià)的.但含有Caputo導(dǎo)數(shù)的方程可以更容易的借助拉普拉斯變換來(lái)進(jìn)行求解.

分?jǐn)?shù)階偏微分方程有著更為廣泛的應(yīng)用，尤其是在流體動(dòng)力學(xué)等方面，分?jǐn)?shù)階方程能更清晰的表達(dá)其中所蘊(yùn)含的實(shí)際物理意義.對(duì)方程精確解的研究也是分?jǐn)?shù)階偏微分方程發(fā)展過(guò)程中的熱門(mén)話題之一.構(gòu)造整數(shù)階偏微分方程的精確解的方法有很多，比如，首次積分法、李群對(duì)稱(chēng)法[3]、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法、試探函數(shù)法[4]和不變子空間法[5-6]等.經(jīng)過(guò)學(xué)者們的不斷研究探討，發(fā)現(xiàn)這些方法也可以同樣的應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階偏微分方程[7-8].

不變子空間法最初是由Galaktionov和Svirshchevski[9]提出并對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究發(fā)展，而后Gazizov和Kasatkin[10]等人將這一方法推廣到了分?jǐn)?shù)階偏微分方程中，構(gòu)造求解得到了它們的精確解.不變子空間法是利用偏微分方程的不變子空間構(gòu)造出方程解的一般形式，將求偏微分方程的精確解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求解常微分方程組的問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化了構(gòu)造精確解的難題.

文章的第二節(jié)和第三節(jié)分別回顧了分?jǐn)?shù)階微積分算子的一些計(jì)算性質(zhì)以及不變子空間方法，第四節(jié)則是求解了幾類(lèi)非線性薄膜方程的精確解，最后得到了結(jié)論.

2 分?jǐn)?shù)階微積分計(jì)算基本性質(zhì)

本節(jié)將回顧分?jǐn)?shù)階微積分理論中的一些基本定義性質(zhì)和運(yùn)算法則.

定義1[11]函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville積分可表示為

其中t>0，α>0，且

定義2[11]函數(shù)f(t)的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可表示為

其中t>0，α>0，n為正整數(shù).

Caputo型導(dǎo)數(shù)相較于其他的定義方法而言更有利于方程的求解.

性質(zhì)1[11]上述的Caputo型微分算子滿足以下的一些性質(zhì)：

特別地，當(dāng)0<α<1時(shí)，有

3 不變子空間法

在求解整數(shù)階微分方程的精確解時(shí)，不變子空間是一個(gè)強(qiáng)而有力的計(jì)算工具.而在經(jīng)過(guò)Gazizov和Kasatkin等人的研究計(jì)算后，不難發(fā)現(xiàn)，仍可以相應(yīng)的使用不變子空間法來(lái)構(gòu)造并解得分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解.

對(duì)于方程

定義3[9]若對(duì)算子F，一個(gè)n維線性組合的子空間Wn滿足F(Wn)?Wn，則稱(chēng)Wn為F的不變子空間.

假設(shè)Wn=L{f1(x)，f2(x)，…，fn(x)}為F[u]的不變子空間，那么方程有形如

u(x,t)=C1(t)f1(t)+C2(t)f2(t)+…+Cn(t)fn(t)?Wn

的解.其中Ci(t)為關(guān)于t的任意函數(shù).

將解代入原方程則能得到一個(gè)n維的常微分方程組

其中Ψi滿足：

F[u]=Ψ1(C1，…，Cn)f1+…+Ψn(C1，…，Cn)fn.

求解該常微分方程組后便能得到精確解的具體形式.

性質(zhì)2[11]對(duì)于一個(gè)n階線性常微分方程

L[y]=y(n)+a1y(n-1)+…+any=0，

其中ai為任意常數(shù)，并且n≤2k+1.若滿足:

u(x,t)=C1(t)f1(t)+C2(t)f2(t)+…+Cn(t)fn(t)，L[F[u]]|L[u]=0=0，

那么Wn=L{f1(x)，f2(x)，…fn(x)}在算子F下保持不變.

4 分?jǐn)?shù)階薄膜方程的精確解

這一部分將用不變子空間法構(gòu)造一類(lèi)分?jǐn)?shù)階非線性薄膜方程

的一些精確解，其中β1，β2，β3都為常數(shù).

(i)取β3=a1(1-β1-β2)，則方程變?yōu)?/p>

(1)

由性質(zhì)2可得該算子F在子空間W2=L{1，e-a1x}下保持不變，即該方程有以下形式的指數(shù)型解

u(x,t)=C1+C2e-a1x，

其中C1，C2為關(guān)于t的函數(shù)，將該形式的解代入方程可得

則相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階常微分方程組為

情形1: 當(dāng)β1+β2=1時(shí)，有

(2)

易得C1=const=c，那么有

(3)

其中Eα，β(z)為Mittag-Leffler函數(shù):

因此，通過(guò)求解不變子空間所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階常微分方程組(2)得到了該方程的一類(lèi)精確解

情形2: 當(dāng)β1+β2=0時(shí)，有

(4)

由方程組(4)中的第一個(gè)方程可解得

將其代入第二個(gè)方程得:C2=t-α，因此，分?jǐn)?shù)階薄膜方程的精確解為

(ii)取β1=β3=0，β2=1，則方程變?yōu)?/p>

(5)

可以求得該方程有不變子空間W3=L{1，sinx，cosx}.所以方程有(5)如下形式的解

u(x,t)=C1+C2sinx+C3cosx，

(6)

C1，C2，C3為關(guān)于t的函數(shù)，將形如(6)的解代入方程(5)可得

F[u]=-C1C2sinx-C1C3cosx.

相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階常微分方程組為

(7)

不妨設(shè)C2(0)=C3(0)=1，則對(duì)方程組(7)求解可得

所以方程(5)有精確解

u(x,t)=c+Eα，1(-ctα)sinx+Eα，1(-ctα)cosx.

(iii)取β3=0，那么方程變?yōu)?/p>

(8)

通過(guò)性質(zhì)2可知該算子F在子空間W5={1，x，x2，x3，x4}下保持不變，即方程具有如下形式的解

u(x,t)=C1+C2x+C3x2+C4x3+C5x4，

C1，C2，C3，C4，C5為關(guān)于t的函數(shù)，將其代入方程(8)可得

所以在該不變子空間下的分?jǐn)?shù)階常微分方程組為

首先可解得

則依次可解得

由此可以得知該類(lèi)分?jǐn)?shù)階薄膜方程具有精確解

其中

5 結(jié) 論

借助不變子空間法，拉普拉斯變換以及Mittag-Leffler函數(shù)的一些基本性質(zhì)，得到了分?jǐn)?shù)階非線性薄膜方程的指數(shù)型、三角函數(shù)型和多項(xiàng)式型的解.當(dāng)然，通過(guò)不同類(lèi)型的子空間，就可以解得不同類(lèi)型的精確解.這樣一來(lái)，可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的不變子空間，使得不變子空間的應(yīng)用范圍有了大幅度的擴(kuò)展.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).