張玉峰， 蘇 濤， 郭 倩， 何勁飛， 周奇勛

(西安科技大學電氣與控制工程學院， 陜西 西安 710054)

1 引言

隨著高速旋轉(zhuǎn)電機不斷向更高功率密度、更小體積發(fā)展，電機繞組的載流能力與電機高速運行下的散熱問題成為制約其發(fā)展的重要因素，而高溫超導(High Temperature Superconducting，HTS)帶材因其出色的載流能力以及極小的熱損耗為高速旋轉(zhuǎn)電機的發(fā)展提供了新的可能，HTS帶材在交變電流和交變磁場環(huán)境下的損耗特性研究也成為超導電機研究領(lǐng)域內(nèi)的熱點問題[1-5]。HTS帶材的交流損耗根據(jù)其所添加電流、磁場條件可分為磁化損耗和傳輸損耗。其中，本文重點研究的傳輸損耗定義為：HTS帶材在無外部磁場的條件下僅傳輸交變電流時所產(chǎn)生的交流損耗稱為傳輸損耗[6-8]。目前，在高速電機相關(guān)研究中，各類高速電機頻率已達到104Hz及以上[9]，而超導電機作為研究熱點，目前電機頻率已經(jīng)達到kHz以上并具有繼續(xù)提高的趨勢[10]。并且，在kHz交變電流范圍內(nèi)，已有針對HTS帶材傳輸損耗特性展開的研究[11,12]。而在目前高速電機向更高功率、更高頻率發(fā)展的趨勢下，應用于超導電機的HTS帶材在MHz頻率下的傳輸損耗對電流頻率及幅值的依賴性還有待明確。因此，對于MHz頻率下HTS帶材的傳輸損耗特性展開相關(guān)研究，在高速電機領(lǐng)域極為必要。

本文建立了基于H公式的HTS帶材多層結(jié)構(gòu)的仿真模型，進行了1 MHz電流頻率范圍內(nèi)傳輸損耗的數(shù)值仿真?？紤]到臨界電流是超導體重要的邊界參數(shù)之一，仿真中以其作為參變量研究超導帶材在工程應用時可能的最大損耗變化規(guī)律?；诜抡娼Y(jié)果，研究了傳輸損耗對電流幅值及頻率的依賴性，得出了MHz頻率內(nèi)電流頻率及幅值變化對多層HTS帶材傳輸損耗的影響情況和損耗變化規(guī)律。研究結(jié)論可為MHz頻率下的高速超導電機研究提供參考，同時為相關(guān)領(lǐng)域中高頻交變電流工況下的HTS帶材損耗特性研究提供借鑒。

2 基于H公式的HTS模型

本文以上海超導生產(chǎn)的第二代HTS帶材為對象，進行了多層結(jié)構(gòu)的建模。所建多層結(jié)構(gòu)二維截面圖如圖1所示。所建模型包括了銅穩(wěn)定層、銀保護層、柔性基底層和超導層，各層位置分布以及厚度比例已在圖1中標注。

圖1 HTS帶材多層結(jié)構(gòu)截面圖Fig.1 Section diagram of multilayer structure of HTS tape

圖2為三維視角下HTS帶材多層結(jié)構(gòu)分布圖，如圖2中標注所示，傳輸損耗仿真所需交變電流從垂直于多層帶材橫截面的方向進行添加。

圖2 三維下HTS帶材結(jié)構(gòu)分布圖Fig.2 Structure distribution of HTS tape in 3D

為了說明HTS多層模型的傳輸損耗變化情況，建立了與多層模型具有相同橫截面積，分別由銅帶材填充的銅薄膜模型和僅有超導材料填充的超導薄膜模型，用來進行傳輸損耗的對比分析。以上兩種模型二維截面圖如圖3所示。

圖3 銅薄膜模型和超導薄膜模型截面圖Fig.3 Cross sections of copper film model and HTS film model

在所建多層結(jié)構(gòu)HTS帶材和其他模型基礎(chǔ)上，借助有限元仿真軟件Comsol，本文建立了基于H公式的HTS帶材電磁仿真模型[13,14]。

2.1 基于H公式的控制方程

仿真中基于H公式的控制方程由麥克斯韋方程推導得出，首先，根據(jù)法拉第定律有：

(1)

B=Bself+Bext

(2)

式中，E為電場強度；B為總磁通密度；Bself為自場磁通密度；Bext為外場磁通密度。

由式(1)可得：

(3)

H=Hs+Hext

(4)

式中，H為總磁場強度；Hs為自場磁場強度；Hext為外場磁場強度；μ為磁導率。

根據(jù)安培定律和歐姆定律有：

▽×H=J

(5)

E=ρJ

(6)

式中，J為電流密度；ρ為HTS帶材電阻率。

將式(5)、式(6)代入式(3)即可得到基于H公式的方程的一般形式：

(7)

式中，μ0為真空磁導率；μr為材料相對磁導率。

對于超導層而言，有E-J冪次定律：

(8)

即超導層電阻率：

(9)

式中，Ec為HTS臨界電場標準，Ec=10-4V/m；n為E-J冪次定律擬合指數(shù)；Jc為HTS臨界電流密度。

2.2 多層結(jié)構(gòu)傳輸電流條件

HTS帶材各層傳輸電流約束方程：

(10)

Im=pIc0

(11)

式中，Im為HTS帶材傳輸電流幅值；Ic0為HTS帶材最大臨界電流；S為多層結(jié)構(gòu)中每一層的橫截面積；p為歸一化電流比值，p=Im/Ic0；f為交變電流頻率。

為了計算HTS帶材每一層單位時間內(nèi)的傳輸損耗，有：

(12)

式中，Q為HTS帶材單位時間內(nèi)的傳輸損耗。

因此，HTS帶材單位時間內(nèi)各層總傳輸損耗為：

QTot=QCu+QAg+QHTS+QSub

(13)

式中，QTot為總交流損耗，即總傳輸損耗；QCu為銅穩(wěn)定層傳輸損耗；QAg為銀保護層傳輸損耗；QHTS為超導層傳輸損耗；QSub為柔性基底層傳輸損耗。

2.3 基于Comsol的系統(tǒng)控制方程

通常在基于H方法的三維電磁場問題中，H方法的待求解變量為磁場強度H=(Hx,Hy,Hz),其對應的電場強度E=(Ex,Ey,Ez)，電流密度J=(Jx,Jy,Jz)。當僅考慮二維電磁場進行仿真建模時，磁場強度H的z方向分量為0，電場強度E的x，y方向分量為0，即在二維情況下磁場強度H=[Hx(x,y),Hy(x,y),0]，電場強度E=[0,0,E(x,y)]。將二維情況下的磁場強度向量和電場強度向量代入式(3)、式(5)中，可得二維情況下H方法中電流密度表達式以及電場強度表達式：

(14)

(15)

將式(14)、式(15)代入基于H方法的系統(tǒng)控制方程式(7)可得其在二維情況下完整形式：

(16)

得出基于H方法的控制方程后，本文利用Comsol有限元仿真軟件中的PDE偏微分方程模塊，實現(xiàn)將基于H方法的控制方程轉(zhuǎn)換為Comsol有限元仿真軟件中的控制方程形式。軟件中給出了PDE模塊偏微分方程的標準形式為：

(17)

(18)

式中，u為非獨立變量的矢量形式；ea為質(zhì)量系數(shù)矩陣；da為阻尼系數(shù)；F為源項；Γ為通量向量。

將基于H方法二維控制方程式(16)代入式(17)可得出Comsol下PDE模塊系統(tǒng)控制方程為：

(19)

2.4 基于Comsol的多層結(jié)構(gòu)二維仿真模型

在Comsol的二維瞬態(tài)模型下建立的基于H公式的HTS帶材多層結(jié)構(gòu)仿真模型如圖4所示。模型采用圓形求解域模擬超導帶材所處無限大空氣域，并采用自由三角形網(wǎng)格對空氣域進行剖分。

圖4 HTS帶材二維仿真模型Fig.4 2D simulation model of HTS tape

圖5為HTS帶材多層結(jié)構(gòu)局部放大圖，超導層采用寬厚比為100∶1的矩形，各層的位置分布以及厚度比例如圖4中標注所示，每層的寬度以及厚度均已剖分為固定數(shù)量的線段。帶材傳輸電流以逐點約束的形式添加。

圖5 HTS帶材多層仿真模型局部圖Fig.5 Local diagram of multilayer simulation model of HTS tape

表1為HTS帶材多層結(jié)構(gòu)中各層電阻率、厚度等相關(guān)參數(shù)。

表1 HTS帶材有限元仿真參數(shù)Tab.1 Finite element simulation parameters for HTS tapes

3 傳輸損耗特性仿真及分析

3.1 傳輸損耗對交變電流頻率的依賴性

圖6為傳輸損耗與交變電流頻率的相關(guān)性曲線。圖6(a)和圖6(b)分別為交變電流幅值0.5Ic0和Ic0。這里采用Brandt方程(式(20))進行了傳輸損耗的解析計算，并對超導薄膜模型、銅薄膜模型和超導多層模型進行了仿真計算，具體公式如下：

圖6 傳輸損耗頻率依賴性曲線圖Fig.6 Frequency-dependent curve of AC transport current loss

(20)

式中，Qtrans為傳輸損耗。

由圖6可知，四種模型損耗計算結(jié)果均與電流頻率呈正相關(guān)。傳輸損耗受電流頻率和幅值的共同影響，為了更好地描述傳輸損耗在不同頻率內(nèi)的變化情況，綜合考慮HTS帶材中趨膚效應的影響和傳輸損耗的變化趨勢，定義頻率低于104Hz為中低頻區(qū)域，頻率高于105Hz為高頻區(qū)域，而104～105Hz區(qū)域為不同電流條件下傳輸損耗變化的過渡區(qū)域。其中，基于H公式的超導薄膜模型與Brandt方程的計算結(jié)果表現(xiàn)出高度的一致性。銅薄膜模型仿真結(jié)果顯示銅薄膜模型傳輸損耗在中低頻段遠高于其他模型損耗，而在高頻段低于其他超導模型損耗。而基于H公式的超導多層模型，雖然在中低頻段中損耗曲線和其他超導模型保持一致，但當電流頻率增加到104Hz以上時，其損耗增加速率不斷減小，損耗曲線不斷逼近銅薄膜模型。并且超導多層模型損耗結(jié)果與超導薄膜模型和Brandt計算模型損耗結(jié)果具有較大差別。

由上述分析可知，當電流頻率處在中低頻段時，銅穩(wěn)定層等金屬層對超導多層模型的傳輸損耗不造成顯著影響，但當電流頻率處在104Hz以上的高頻段時，銅穩(wěn)定層等金屬層的傳輸損耗貢獻不可被忽略，并且說明在高頻段內(nèi)，Brandt方程不再適用于超導多層模型的傳輸損耗計算。

除此之外，同頻率下高幅值電流體現(xiàn)出更高的傳輸損耗，并且，傳輸電流為0.5Ic0時，損耗曲線斜率從頻率105Hz處開始減小，而傳輸電流為Ic0時，曲線斜率則從頻率104Hz處開始減小，說明傳輸損耗的頻率依賴性一定程度受到電流幅值的影響，并且傳輸電流幅值越高，影響越顯著。

圖7為超導多層模型各層傳輸損耗頻率依賴性曲線。

圖7 各層傳輸損耗頻率依賴性曲線圖Fig.7 Frequency-dependent curve of AC transport current loss for each layer

由圖7可得，多層帶材各層損耗在中低頻段時均與電流頻率呈正相關(guān)，其中銅穩(wěn)定層的損耗增長速率最快。但當頻率增加到105Hz以上時，除銅穩(wěn)定層外各層傳輸損耗均呈現(xiàn)不斷減小的趨勢，并且隨著頻率的增加，減小速率不斷增加。

圖8為超導多層模型各層傳輸損耗占比分布圖。由圖8可知，隨著電流頻率增加，銅穩(wěn)定層損耗占比由0.13%增加到97.77%，逐漸占據(jù)傳輸損耗主導地位，超導層損耗占比則由99.86%不斷減小到2.12%，其余各層損耗貢獻極小并基本保持穩(wěn)定。

圖8 各層傳輸損耗占比分布圖Fig.8 AC transport current loss ratio of each layer

為進一步研究圖7、圖8中各層傳輸損耗及損耗占比的變化規(guī)律，圖9給出多層結(jié)構(gòu)HTS模型電流密度隨電流頻率變化的數(shù)值對比圖。由圖9可知，在電流頻率從50 Hz增加到1 MHz過程中，超導層電流密度與頻率變化呈負相關(guān)，其余各層均與頻率呈正相關(guān)。其中最靠近帶材表面的銅層電流密度增幅最大，由1.55×106A/m2增加到5.04×108A/m2。而超導層電流密度則由2.94×1010A/m2下降到9.59×109A/m2。在整個頻率變化過程中，銅層電流密度由總電流密度的0.005 3%增長到4.95%，而超導層電流密度則由99.99%下降至94.20%。

圖9 各層電流密度數(shù)值對比圖Fig.9 Comparison diagram of current density values of each layer

圖8和圖9的數(shù)據(jù)變化說明，隨著頻率變化，各層電流分布發(fā)生明顯變化，銅穩(wěn)定層渦流電流顯著增加，銅穩(wěn)定層的渦流損耗也明顯增加，而超導層電流明顯減小，超導層損耗也隨頻率增加而降低。

綜上分析，在中低頻段中，超導層損耗為傳輸損耗主要來源但其損耗貢獻隨頻率增加不斷減小。而在高頻段中，銅穩(wěn)定層損耗顯著增加，其損耗貢獻逐漸取代超導層在傳輸損耗中占據(jù)主導地位。以上結(jié)果反映出多層結(jié)構(gòu)超導帶材的傳輸損耗具有較強的電流頻率依賴性，結(jié)合圖9中各層電流密度的數(shù)值變化，說明頻率變化引起的各層電流分布變化是造成傳輸損耗變化規(guī)律發(fā)生改變的主要原因。

3.2 傳輸損耗的交變電流幅值依賴性

圖10為傳輸損耗電流幅值依賴性曲線圖，圖10(a)和圖10(b)分別為交變電流頻率50 Hz和1 MHz。這里同樣采用Brandt方程進行了傳輸損耗的解析計算，并對超導薄膜模型、銅薄膜模型和超導多層模型進行了仿真計算。

圖10 傳輸損耗幅值依賴性曲線圖Fig.10 Amplitude-dependent curve of AC transport current loss

由圖10數(shù)據(jù)變化規(guī)律可知，四種模型損耗計算結(jié)果均與電流幅值呈正相關(guān)。其中，基于H公式的超導薄膜模型與Brandt方程的計算結(jié)果表現(xiàn)出高度的一致性。而銅薄膜模型傳輸損耗在工頻環(huán)境中遠高于其他模型損耗，在高頻下與超導薄膜模型損耗差異不斷增大。而基于H公式的超導多層模型，在工頻下?lián)p耗曲線與超導薄膜模型損耗曲線高度吻合，但在高頻下隨著電流幅值增加其損耗不斷逼近銅薄膜模型并保持較高的一致性，同時與超導薄膜模型及Brandt公式的傳輸損耗計算結(jié)果差異不斷增大。

由圖10數(shù)據(jù)分析可知，超導多層模型傳輸損耗對電流幅值的依賴性取決于電流頻率，電流幅值的增長，并不能對傳輸損耗中不同層的損耗貢獻產(chǎn)生決定性影響。

圖11為超導多層模型各層傳輸損耗幅值依賴性曲線。由圖11可得，多層帶材各層損耗均與電流幅值呈正相關(guān)，傳輸損耗整體表現(xiàn)為各層高頻下?lián)p耗均高于工頻。

圖11 各層傳輸損耗幅值依賴性曲線圖Fig.11 Amplitude-dependent curve of AC transport current loss for each layer

圖12為超導多層模型各層傳輸損耗占比分布圖。由圖12可得，工頻下超導層損耗始終占據(jù)主導地位，而高頻下傳輸損耗主要來源于銅穩(wěn)定層，并且隨著電流幅值增加銅穩(wěn)定層損耗占比明顯減小，超導層損耗占比明顯增加。說明電流頻率越高，電流幅值變化對傳輸損耗的影響越大。

圖12 各層傳輸損耗占比分布圖Fig.12 AC transport current loss ratio of each layer

為了進一步研究圖11、圖12中各層傳輸損耗及傳輸損耗占比的變化規(guī)律，圖13給出了HTS多層模型電流密度隨電流幅值變化的數(shù)值對比圖。由圖13數(shù)據(jù)變化規(guī)律可知，隨著電流幅值的增加，HTS多層模型中各層的電流密度均有不同程度的增長。其中銅層的電流密度由4.63×107A/m2增加到了4.92×108A/m2，電流密度占比由3.89%增加到4.59%。相比于前面得到的電流密度隨頻率變化的規(guī)律，幅值變化導致的各層電流密度的增長幅度均較小，并且多層結(jié)構(gòu)超導帶材中各層的電流分布沒有產(chǎn)生明顯變化。

圖13 各層電流密度數(shù)值對比圖Fig.13 Comparison diagram of current density values of each layer

圖12和圖13的數(shù)據(jù)變化說明，傳輸電流幅值的改變并沒有改變超導帶材各層電流的分布情況，雖然傳輸交變電流幅值的變化也導致了傳輸損耗發(fā)生數(shù)值變化，但并沒有對傳輸損耗的變化規(guī)律產(chǎn)生決定性影響。

綜上分析，傳輸損耗對電流幅值的依賴性較小，傳輸損耗的變化規(guī)律仍主要取決于傳輸損耗的電流頻率特性。

4 結(jié)論

本文考慮了HTS帶材的實際多層結(jié)構(gòu)，借助Comsol軟件建立了基于H公式的HTS帶材多層結(jié)構(gòu)二維仿真模型，在50 Hz到1 MHz的頻率范圍內(nèi)對不同幅值、不同頻率交變電流的傳輸損耗進行了數(shù)值仿真，研究了傳輸損耗對電流頻率及幅值的依賴性，并對HTS帶材的損耗變化規(guī)律進行了討論。仿真結(jié)果表明：

(1)HTS帶材傳輸損耗對電流頻率的依賴性大。在中低頻段中，超導層損耗為傳輸損耗主要來源但其損耗貢獻隨頻率增加不斷減?。欢诟哳l段中，銅穩(wěn)定層損耗顯著增加逐漸取代超導層在傳輸損耗中占據(jù)主導地位。并且，隨著銅穩(wěn)定層損耗貢獻的增加，Brandt計算模型不再適用于高頻下HTS多層帶材傳輸損耗的計算。

(2)傳輸損耗對電流幅值的依賴性小。研究表明電流幅值的變化并不能對傳輸損耗變化規(guī)律產(chǎn)生決定性影響，幅值變化僅對傳輸損耗數(shù)值大小產(chǎn)生影響，傳輸損耗的變化規(guī)律往往取決于傳輸損耗的電流頻率特性。

綜上所述，本文通過研究多層結(jié)構(gòu)HTS帶材在MHz頻率內(nèi)傳輸損耗對電流頻率及幅值的依賴性，說明了在實際商用多層帶材結(jié)構(gòu)中，銅穩(wěn)定層等金屬層的傳輸損耗貢獻不可被忽略。研究結(jié)果可為HTS帶材在MHz頻率內(nèi)傳輸損耗特性的研究提供參考。