薄 強， 王麗芳， 張玉旺， 郭彥杰， 張 云

(1.中國科學院電工研究所， 北京 100190； 2.中國科學院電力電子與電氣驅動重點實驗室， 北京 100190； 3.中國科學院大學， 北京 100049； 4.清華大學電機工程與應用電子技術系， 北京 100084)

1 引言

無線充電技術在電動汽車、醫(yī)療、電子產(chǎn)品等領域的研究與應用越來越引起關注[1-4]。其中，電動汽車無線充電系統(tǒng)的工作頻率一般在幾十或幾百kHz，高頻下實心導線趨膚效應、鄰近效應嚴重，線圈損耗大，為降低線圈損耗提高系統(tǒng)效率，無線充電系統(tǒng)的線圈往往采用Litz 線繞制。Litz 線是由多股相互絕緣的細導線扭轉纏繞而成，高頻下各細導線上的電流分布較為平均，可以同時減弱趨膚效應和鄰近效應的影響。發(fā)射線圈和接收線圈的電阻值對無線充電系統(tǒng)的傳輸效率有關鍵影響。Litz 線高頻電阻的計算是無線充電系統(tǒng)線圈優(yōu)化設計的基礎。

Litz線的結構使得直接使用有限元仿真建模過于復雜，剖分網(wǎng)格的數(shù)目太多，計算規(guī)模十分龐大，浪費時間和計算資源。目前，已有相關文獻對Litz線線圈高頻電阻的計算進行研究。文獻[5-7]通過解析計算消除空間扭轉效應，并采用有限元或數(shù)值仿真模型進行計算；文獻[8-10]針對利茲線的非理想特性和扭轉結構，采用部分元件等效和有限元結合的方法對功率損耗進行了計算；文獻[11,12]應用畢奧-薩伐爾定律對平面矩形螺旋線圈中的磁場進行解析計算，經(jīng)過一系列數(shù)學推導后采用開爾文函數(shù)來進行利茲線高頻電阻的計算；文獻[12-14]將Litz線等效為具有復數(shù)電導率和復數(shù)磁導率的實心導線，然后代入有限元仿真模型進行計算；文獻[15,16]引入宏觀復數(shù)磁導率的概念來評估由于鄰近效應引起的Litz線渦流損耗，并采用基于均勻化的有限元分析進行計算。但是，上述計算方法的適用對象均為理想Litz線，實際工程應用中的Litz線測量得到的電阻值均大于上述計算方法得到的電阻值。進一步地，對于實際Litz線，文獻[17]通過對理想Litz線和平行束導線的電阻值進行線性擬合來計算實際Litz線的電阻值；文獻[18]引入不均勻系數(shù)的概念，可以基于理想Litz線電阻值來計算實際Litz線電阻值。當系統(tǒng)中有多個線圈時，其他線圈產(chǎn)生的交變磁場會在待求解線圈中產(chǎn)生感應電阻，而對于雙D(Double-D，DD)線圈，還需要考慮兩個線圈之間的耦合感應電阻。但是文獻[17,18]均沒有考慮線圈之間電磁場的相互耦合作用對電阻值的影響，這會給實際Litz線電阻的準確計算帶來誤差。

本文針對電動汽車無線充電系統(tǒng)，提出一種無線充電系統(tǒng)實際Litz線平面線圈高頻電阻的計算方法，以提高線圈高頻電阻計算的準確性。所提計算方法不僅考慮了線圈自身結構參數(shù)對電阻值的影響，還考慮了不同線圈之間的電磁場相互耦合作用對電阻值的影響。最后，搭建實驗平臺并運用該方法計算平面矩形線圈和DD線圈的電阻值，結果表明，該計算方法在不同頻率范圍內得出的結果與實際測量結果吻合很好，驗證了本文計算方法的有效性和可行性。所提計算方法可以對無線充電系統(tǒng)線圈的優(yōu)化設計提供理論依據(jù)，避免線圈的重復繞制與測量，節(jié)省時間和成本。

2 Litz線空間結構分析

Litz線是由多股相互絕緣的單線絞合而成，其基本組成單位是單股漆包線。通過絞合，Litz線中所有單股線被自由排列，在Litz線的截面上單股線可能處于任意位置。圖1為Litz線空間結構分布與相應單股線的結構。由于扭絞工藝的影響，實際工程應用中使用的均是非理想的Litz線，如圖1(a)所示為實際Litz線，其空間結構介于理想Litz線和平行束導線之間，因此其電阻值也介于理想Litz線和平行束導線之間。圖1(b)為理想Litz線的導線截面結構，其每一股單線均占據(jù)了導線截面上徑向和方位角的每個位置，即每一股單線均占據(jù)了其他單線的所有位置，導致電流在每一股單線中均勻分布，理論上每一股單線的內阻均相等。圖1(c)為平行束導線的導線截面結構，平行束導線的每一股單線位置均保持固定不變，單線之間不會互相交換位置，每一股單線的內阻將根據(jù)單線在Litz線中的位置不同而發(fā)生變化。

圖1 Litz線空間結構分布圖與單線結構圖Fig.1 Spatial distribution of Litz wire and structure of a strand

Litz線繞制線圈的損耗由兩部分組成[19,20]，與損耗相關的電阻值R可以表示為：

R=Rcond+Rprox=Rcond+Rint+Rturn+Rcoup

(1)

式中,Rcond為導通電阻，導通損耗包括線圈的直流損耗和由趨膚效應引起的渦流損耗;Rprox為鄰近電阻，鄰近損耗是由鄰近效應引起的渦流損耗。鄰近電阻由三部分組成，Rint為內部感應電阻，Litz線內單線的交變磁場將會在鄰近的單線中產(chǎn)生渦流損耗，稱之為內部感應損耗；Rturn為匝間感應電阻，線圈中線匝產(chǎn)生的交變磁場會在鄰近線匝中產(chǎn)生渦流損耗，稱之為匝間感應損耗；Rcoup為耦合感應電阻，外部其他線圈產(chǎn)生的交變磁場會在該線圈中產(chǎn)生渦流損耗，稱之為耦合感應損耗。

Rcond和Rint只和Litz線本身的結構參數(shù)、長度、工作頻率有關，和線圈繞制的結構參數(shù)無關，可以定義兩者之和為Litz線的本征電阻Ric，如式(2)所示；Rturn、Rcoup和線圈繞制的結構參數(shù)相關，是由該線圈其他線匝和外部其他線圈產(chǎn)生的交變磁場引起的渦流損耗，可以定義兩者之和為Litz線繞線圈的外部感應電阻Rext，如式(3)所示。

Ric=Rcond+Rint

(2)

Rext=Rturn+Rcoup

(3)

3 Litz線高頻電阻組成與影響因素

通過對Litz線空間結構的分析可知，Litz線繞制線圈的高頻電阻組成可分為Litz線的本征電阻和Litz線繞線圈的外部感應電阻，本節(jié)對這兩部分電阻的計算方法進行分析。

3.1 本征電阻

3.1.1 理想Litz線的本征電阻

對于理想Litz線，單位長度的導通電阻可以表示為：

(4)

式中，ξ為與趨膚深度δ相關的量，m-1；n0為組成Litz線的單線的匝數(shù)；r0為組成Litz線單線的標稱半徑(不包括絕緣漆厚度)，m；σ為導線的電導率，銅的電導率為5.8×107S/m；Φcond(ξr0)為與ξ、r0有關的中間變量，其表達式為：

(5)

(6)

式中，μ為導線的磁導率，H/m;ω為角頻率，rad/s; ber,bei分別為第一類0階開爾文函數(shù)的實部和虛部；ber′,bei′分別為第一類0階開爾文函數(shù)的導數(shù)的實部和虛部。

對于理想Litz線，單位長度的內部感應電阻可以表示為：

(7)

式中,rc為Litz線沒有包覆層時的外徑，由于Litz線天然的柔韌性、彎曲的半徑等都會影響外徑的測量結果，因此外徑是依據(jù)測量的平均值來進行近似測定；Φind(ξr0)為與ξ、r0有關的中間變量，其表達式為：

(8)

式中，ber2，bei2分別為第一類2階開爾文函數(shù)的實部和虛部。

綜上所述，理想Litz線單位長度的本征電阻可以表示為：

Rid,ic,ul=Rid,cond,ul+Rid,int,ul

(9)

3.1.2 平行束導線的本征電阻

在平行束導線中，單線中的電流將根據(jù)單線在Litz線中的位置發(fā)生變化，每一股單線的內阻均不相等。平行束導線的電流分布和損耗與具有相同外徑的實心導線的電流分布和損耗相當，但是實心導線的電導率需要做相應調整，電導率等效依據(jù)為使平行束導線和等效實心導線的直流電阻相等。

因此，在求解平行束導線的固有電阻時，可以將平行束導線等效為半徑為re、電導率為σe的實心導線。等效半徑和等效電導率可以分別表示為：

re=rc

(10)

(11)

等效實心導線為單根導線，因此沒有內部感應損耗，其單位長度的導通電阻即為其單位長度的本征電阻。所以平行束導線單位長度的本征電阻Rpar，ic，ul等于等效實心導線單位長度的導通電阻，如下所示：

(12)

其中

(13)

(14)

式中,ξe為與等效實心導線趨膚深度δe相關的量。

3.2 外部感應電阻

相比于線圈尺寸，Litz線線徑很小，無論是理想Litz線還是平行束導線，由外部磁場引起的渦流損耗幾乎相等，因此在計算外部感應電阻時，可以忽略線圈的內部結構，將實際Litz線視為電流均勻分布的實心導線。

3.2.1 匝間感應電阻

單位長度的匝間感應電阻均可表示為：

(15)

式中，H2為當線圈中通過1 A幅值的正弦電流時，在導線橫截面處按照面積的平均所產(chǎn)生的平方磁場強度。

由于不同位置的導線截面平方磁場強度的面平均值不相等，因此，計算匝間感應電阻時，需要對式(15)進行沿導線方向的線積分，從而線圈的匝間感應電阻為：

今年以來，降低增值稅稅率、擴大增值稅留抵退稅范圍、放寬享受減半征收企業(yè)所得稅優(yōu)惠的小型微利企業(yè)標準、提高企業(yè)研發(fā)費用稅前加計扣除比例、個稅改革等一系列減稅降負措施先后落地。談到稅收優(yōu)惠政策落實，昆藥集團股份有限公司財務人員張佳佳說：“我們每年的研發(fā)投入在1個億左右，享受研發(fā)費用加計扣除政策有效緩解了資金壓力，加大了企業(yè)研發(fā)的信心?！?/p>

(16)

式中，l0為線圈導線的長度；Vcoil為線圈導線的體積；Scoil為線圈導線的截面積；H0為線圈中通過1 A幅值的正弦電流時導線內的磁場強度，對平方磁場強度進行體積分后進一步計算即可得到匝間感應電阻。

線圈的匝間感應損耗可以表示為：

(17)

式中，I0為線圈內通過的電流幅值。

3.2.2 耦合感應電阻

當無線充電系統(tǒng)中有多個線圈時，其他線圈產(chǎn)生的交變磁場會在待求解的線圈中產(chǎn)生渦流損耗。假設除了待求解的線圈外，系統(tǒng)中還有N個其他線圈，設為線圈i,則待求解線圈和線圈i的耦合感應電阻可以表示為：

(18)

式中，Hi為線圈i中通過1 A電流、其他N個線圈中通過0 A電流時，待求解線圈內的磁場強度。

相應地，待求解線圈的所有耦合感應損耗可以表示為：

(19)

式中，I0為待求解線圈內通過的電流幅值；Ii為線圈i內通過的電流幅值。

當待求解線圈和其他線圈i中的電流幅值相等時，待求解線圈的耦合感應電阻為：

(20)

在無線充電系統(tǒng)中，接收線圈和整流器之間連接阻抗匹配網(wǎng)絡，其作用是將等效負載匹配至呈純阻性，提高無線充電系統(tǒng)的傳輸能力。設發(fā)射線圈中的電流為Ip，接收線圈中的電流為Is，發(fā)射線圈和接收線圈之間的互感為M，等效負載為Req，則可以得到：

(21)

由式(21)可知，發(fā)射線圈和接收線圈中的電流相位差為90°，因此式(20)中磁場強度H0和Hi相位差為90°，發(fā)射和接收線圈的耦合感應電阻為零。

4 實際Litz線繞平面線圈高頻電阻計算

由于實際應用中的Litz線空間結構介于理想Litz線和平行束導線之間，因此，為了在理想Litz線和平行束導線的本征電阻求解基礎上求出實際Litz線的本征電阻，可以對電阻Rid,ic,ul和Rpar,ic,ul進行線性擬合來表示實際Litz線單位長度的本征電阻Rλ, ic, ul，如下式所示：

Rλ,ic,ul=λRid,ic,ul+(1-λ)Rpar,ic,ul

(22)

式中，λ為實際Litz線的質量因數(shù)，只與Litz線導線自身結構參數(shù)有關，與外部的磁場等無關，λ=1表示質量最好的理想Litz線，λ=0表示平行束導線。

另外，為了計算DD線圈的外部感應電阻，可以將DD線圈的兩個平面矩形線圈分別進行計算，在計算過程中，需要考慮兩個線圈之間的耦合感應電阻。兩個線圈中的電流方向相反、幅值相等，因此可以先計算其中一個線圈的匝間感應電阻，然后計算另一個線圈與該線圈的耦合感應電阻，匝間感應電阻和耦合感應電阻相加后乘以2即可得到DD線圈的外部感應電阻。DD線圈中的兩個平面矩形線圈電流相位差為180°，所以，在待求解線圈中對應的H0和Hi相位差為0°，代入式(20)即可計算兩個矩形平面線圈的感應耦合電阻，進而得到DD線圈的電阻。

圖2(a)和圖2(b)分別為用于磁場強度計算的平面矩形線圈和DD線圈模型。無論是平面矩形線圈還是DD線圈的磁場強度計算，在分析第i個線圈邊AB處的磁場時，均可做如下假設[11,21]：

圖2 計算磁場強度的線圈模型Fig.2 Coil model for magnetic field calculation

(1)AB邊垂直于軸向，有橫截面積，電流均勻分布于該橫截面，需要分別計算導線內各點的磁場強度并進行體積分。

(2) 第i個線圈的其余3條邊及其他線圈所有的邊是沒有橫截面積的，所有的電流都集中于中心線，即視為所謂的線電流。

基于上述假設的計算結果可在保證精度的同時大大減少計算時間。可以采用文獻[11, 21]的解析方法或有限元仿真軟件來計算磁場強度。

綜上所述，可得到實際Litz線繞制線圈的高頻電阻為：

(23)

式中，l為繞制線圈的Litz線的總長度。

通過測量實際Litz線繞制線圈不同頻率對應的電阻值，同時計算式(23)中各個變量的值，即可通過擬合得到λ值。由于λ值只和導線自身參數(shù)相關，所以得到的λ值可以用于同類Litz線繞制的其他線圈的電阻計算。

5 實驗驗證

為了驗證所提出的實際Litz線繞制線圈高頻電阻計算方法的正確性，采用兩種不同類型的Litz線來繞制平面矩形線圈和DD線圈，并分別對其高頻電阻值進行實驗測量，為了表述方便，可分別定義兩類線圈為m類Litz線和n類Litz線。兩種不同類型Litz線的結構參數(shù)見表1, 采用這兩種Litz線繞制的五種不同線圈的形狀參數(shù)見表2。其中，表2中DD線圈的匝數(shù)是指DD線圈中一個矩形線圈的匝數(shù)，a、b分別為線圈的長和寬，c為繞制線圈的Litz線的總寬度，其物理意義如圖2(a)和圖2(b)所示。

表1 Litz線的參數(shù)Tab.1 Parameters of Litz wire

表2 線圈參數(shù)Tab.2 Parameters of coils

首先，分別采用m類和n類Litz線繞制了形狀尺寸完全相同的平面矩形線圈I和平面矩形線圈II，線圈I和線圈II的結構分布如圖3所示。采用LCR表(Agilent E4980A)分別測量線圈I和線圈II在不同頻率(10～400 kHz)的電阻值，分別計算兩個線圈對應的Rid,ic,ul、Rpar,ic,ul、l、Rext，代入式(23),通過最小二乘法擬合即可得到兩類Litz線的質量因數(shù)。計算得到m類Litz線的質量因數(shù)為λm=0.656，n類Litz線的質量因數(shù)為λn=0.704。結合式(22)，可以分別得到m類Litz線和n類Litz線的單位長度本征電阻值，如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖3 線圈I與線圈Ⅱ空間結構分布Fig.3 Structures of coil I and coil Ⅱ

圖4 Litz線單位長度的本征電阻Fig.4 Intrinsic resistance of Litz wire for per unit of length

其次，基于SAE J2954標準中的WPT1/Z2系統(tǒng)搭建了平面矩形線圈III和平面矩形線圈IV。其中，線圈III使用的是m類Litz線，線圈形狀尺寸和WPT1/Z2中的發(fā)射端線圈相同；線圈IV使用的是n類Litz線，線圈形狀尺寸和WPT1/Z2中的接收端線圈相同。Litz線繞制的線圈III和線圈IV如圖5所示。

圖5 Litz線繞制的平面矩形線圈Fig.5 Planar rectangular coils wound with Litz wire

再次，計算線圈導線內的磁場強度,結合式(23)即可計算線圈Ⅲ和線圈Ⅳ在不同頻率下的電阻值。圖6為Litz線繞制線圈Ⅲ和線圈Ⅳ的測量電阻和計算電阻對比圖，可以看出，高頻電阻的計算值和測量值有很大的吻合度。

圖6 Litz線繞制線圈高頻電阻測量值和計算值Fig.6 Measured and calculated results of frequency-dependent resistance for Litz wire coils

最后，根據(jù)表2中的線圈尺寸參數(shù)，搭建DD線圈Ⅴ，如圖7所示。其中，T2端子和T4端子連接在一起，DD線圈中兩個矩形線圈的電流方向相反。計算對應的線圈導線內磁場強度，結合式(23)即可計算出DD線圈不同頻率下的電阻值。將DD線圈高頻電阻的計算值和實際測量值進行對比，如圖8所示，可以看出高頻電阻的計算值和測量值也有較高的吻合度，說明該方法也同樣適用于DD線圈電阻值的計算。

圖7 Litz線繞制的DD線圈ⅤFig.7 DD coil Ⅴ wound with Litz wire

圖8 線圈Ⅴ高頻電阻測量值和計算值Fig.8 Measured and calculated results of frequency-dependent resistance for Litz wire coil V

6 結論

本文提出了實際Litz線繞平面矩形線圈和DD線圈電阻值的解析計算方法，且考慮了不同線圈之間電磁場的相互耦合作用對電阻的影響，結論包括：

(1)實際Litz線的電阻值介于理想Litz線和平行束導線之間，對理想Litz線和平行束導線的電阻進行擬合即可得到實際Litz線的電阻。

(2)相同規(guī)格的Litz線具有相同的質量因數(shù)，因此可以通過一組線圈得到的質量因數(shù)來預測相同規(guī)格Litz線繞制的其他平面矩形線圈和DD線圈的高頻電阻值。

(3)在10～400 kHz的頻率范圍內，對于平面矩形線圈和DD線圈，所提計算方法得到的高頻電阻計算值和實際實驗測量值具有較高的吻合度。

線圈的高頻電阻值對無線充電系統(tǒng)的傳輸效率有關鍵影響，為了避免重復的繞制線圈進行測量，可以直接采用本文方法來計算平面線圈電阻值，節(jié)省了時間和成本，可以為無線充電系統(tǒng)線圈的優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。