鄒晶，蔣一鳴，胡曉東，趙金濤

（天津大學(xué) 精密儀器與光電子工程學(xué)院，天津 300072）

0 引言

計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)（Computed Tomography，CT）自誕生以來以其非接觸、非破壞、檢測速度快等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于臨床醫(yī)學(xué)、無損檢測、逆向工程等多個(gè)領(lǐng)域。近年來，高分辨檢測及精密測量成為其新的應(yīng)用方向。由此也誕生了醫(yī)學(xué)CT、工業(yè)CT、以及以提高分辨率或測量能力為目的的微米CT 等幾個(gè)分支。在微米CT 的發(fā)展過程中，以平板探測器為X 射線接收器的微米CT 系統(tǒng)（后文簡稱為“平板CT 系統(tǒng)”）具有掃描快、成像空間大等優(yōu)點(diǎn)。以光學(xué)元件與電荷耦合元件（Charge Coupled Device，CCD）耦合而成的探測器為X 射線接收器的微米CT 系統(tǒng)（后文簡稱為“光耦CT 系統(tǒng)”）與平板CT 系統(tǒng)相比，具有更優(yōu)的分辨率（優(yōu)于1 μm），成為微小樣品亞微米分辨無損檢測的重要手段之一。

微米CT 系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到幾何位姿、射束硬化、散射等多種因素的制約。自20 世紀(jì)80年代以來，不同的學(xué)者針對扇形束CT 或錐形束CT，提出了多種幾何位姿參數(shù)估計(jì)方法，主要可以分為多角度投影［1-3］和單角度投影方法［4-6］?；诙嘟嵌韧队胺椒ㄖ饕墙⒉煌嵌饶ｓw投影圖像與幾何位姿參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，從而實(shí)現(xiàn)幾何位姿參數(shù)的估計(jì)。NOO F 等［1］在假設(shè)探測器與旋轉(zhuǎn)軸平行的前提下，通過對模體的多角度成像解析獲得6 個(gè)幾何參數(shù)；SMEKAL L V 等［7］利用模體的多角度投影，提出基于傅里葉分析的所有幾何位姿參數(shù)的估計(jì)方法；YANG Kai 等［8］在假設(shè)探測器面外偏轉(zhuǎn)角不大于2°的前提下，解析獲取了5 個(gè)系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)。上述方法均需要對模體進(jìn)行多角度投影，求解精度易受轉(zhuǎn)臺運(yùn)動誤差的影響。為克服轉(zhuǎn)臺運(yùn)動誤差的應(yīng)的影響，一些學(xué)者提出了單角度投影方法。CHO Y 等［5］通過對設(shè)計(jì)的已知幾何形狀的由24 球組成的模體進(jìn)行單一角度成像，結(jié)合數(shù)學(xué)解析模型，從而求解錐束CT 系統(tǒng)的所有幾何位姿參數(shù)；ZHAO Jintao 等［6］利用設(shè)計(jì)的雙面九球模體及數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了CT 系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)的迭代估計(jì)。此類方法有效消除了轉(zhuǎn)臺運(yùn)動誤差對參數(shù)結(jié)果的影響，但對模體的精度要求較高。最近，XIAO K 等［9］通過構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了CT 幾何位姿參數(shù)的估計(jì)。

上述方法均針對平板CT 系統(tǒng)提出，不能直接應(yīng)用于光耦CT 系統(tǒng)。一方面，由于提高了系統(tǒng)的分辨率，光耦CT 系統(tǒng)的成像視場只有幾毫米甚至亞毫米，因此，需針對該成像范圍設(shè)計(jì)適用的標(biāo)定模體及數(shù)學(xué)模型；另一方面，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，對成像質(zhì)量影響的參數(shù)也不完全一致。因此，設(shè)計(jì)小視場可用的簡單模體、開發(fā)適用于光耦CT 系統(tǒng)的幾何參數(shù)標(biāo)定方法對于提升其成像質(zhì)量尤為重要。

YANG Kai 等［8］指出，當(dāng)探測器繞Y/Z軸偏轉(zhuǎn)角小于2°時(shí)，其對圖像的影響可忽略不計(jì)。由于在光耦CT 系統(tǒng)中，通過精密安裝調(diào)試可以將探測器繞Y/Z軸的偏轉(zhuǎn)角控制在1°以內(nèi)，因此，無需對探測器繞Y/Z軸的偏轉(zhuǎn)角進(jìn)行標(biāo)定；同時(shí)，文獻(xiàn)［10］的研究工作表明，在以提高分辨為目標(biāo)的光耦CT 系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)臺的端跳、徑跳等運(yùn)動誤差對圖像的影響不可忽略。因此，在光耦CT 系統(tǒng)中，需對射線源沿X、Y、Z軸方向偏差，轉(zhuǎn)臺端跳、徑跳，探測器沿X、Y、Z軸偏移，以及繞X軸的偏轉(zhuǎn)等共計(jì)九個(gè)參數(shù)予以標(biāo)定或修正。

基于上述分析，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的轉(zhuǎn)臺運(yùn)動誤差修正系統(tǒng)［10］，本文提出了一種適用于光耦CT 系統(tǒng)的幾何位姿參數(shù)標(biāo)定方法，利用光耦CT 系統(tǒng)對設(shè)計(jì)的雙微球模體進(jìn)行多角度成像，建立投影圖像和幾何位姿參數(shù)之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)幾何位姿參數(shù)的求解。

1 光耦CT 系統(tǒng)介紹

1.1 光耦CT 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)介紹

與平板CT 系統(tǒng)不同，光耦CT 系統(tǒng)能夠更加清晰的分辨樣品內(nèi)部的細(xì)節(jié)，提供更佳的分辨率，采用幾何放大和光學(xué)放大的雙級放大結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。前端為幾何放大部分，與平板CT 系統(tǒng)類似；后端為以光學(xué)元件和制冷型CCD 耦合而成的光學(xué)耦合探測器，其可將經(jīng)閃爍體轉(zhuǎn)化后的可見光像進(jìn)行二次放大，成像至CCD，從而獲取樣品的DR（Digital Radiography）圖像，并經(jīng)數(shù)據(jù)處理與重構(gòu)獲取樣品的三維信息。

圖1 光耦CT 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure diagram of CCD-coupled CT system

1.2 光耦CT 幾何參數(shù)定義

在理想微米CT 系統(tǒng)中，射線源、轉(zhuǎn)臺、探測器三者之間應(yīng)滿足如下理想位置關(guān)系：1）射線源焦斑在探測器上的投影點(diǎn)位于探測器中心；2）轉(zhuǎn)軸在探測器上的投影為中心像素列；3）準(zhǔn)確獲取射線源到轉(zhuǎn)臺中心的距離（Distance of Source to Object，SOD）、射線源到探測器的距離（Distance of Source to Detector，SDD）的值；4）轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動平穩(wěn)，使得轉(zhuǎn)軸保持空間位置不變。

然而，在系統(tǒng)安裝時(shí)總會存在微小誤差，使得上述關(guān)系不能完全成立，此誤差按照來源可以分為：1）射線源沿X、Y、Z方向的偏移誤差；2）轉(zhuǎn)臺端跳、徑跳誤差；3）探測器沿X、Y、Z方向的偏移誤差，以及繞X、Y、Z方向的偏轉(zhuǎn)誤差。而在光耦CT 系統(tǒng)標(biāo)定校準(zhǔn)時(shí)，只需對其中的射線源沿X、Y、Z軸方向偏差，轉(zhuǎn)臺端跳、徑跳，探測器沿X、Y、Z軸偏移，以及繞X軸的偏轉(zhuǎn)等共計(jì)九個(gè)參數(shù)予以標(biāo)定校準(zhǔn)即可。SUN Yi［4］等指出，射線源沿Y、Z方向的誤差可以轉(zhuǎn)化為探測器沿X、Y、Z軸的偏移及偏轉(zhuǎn)誤差，而轉(zhuǎn)臺的端跳、徑跳誤差利用自主搭建的標(biāo)準(zhǔn)圓盤與電容式位移傳感器可以標(biāo)定校準(zhǔn)［10］。因此，需對射線源沿X軸的偏移、探測器沿X、Y、Z軸的偏移以及繞X軸的偏轉(zhuǎn)幾個(gè)誤差予以標(biāo)定。其中，射線源沿X軸的偏移直接影響SOD、SDD 的大小，探測器沿X軸的偏移直接影響SDD 的大小，即只要準(zhǔn)確獲取SOD、SDD 即可，沿Y、Z軸的偏移可用射線源焦斑在探測器上的投影位置坐標(biāo)予以表示。因此，綜合以上分析，待標(biāo)定的參數(shù)為

1）射線源焦斑在探測器上的投影坐標(biāo)u0，v0；

2）探測器繞X軸的偏轉(zhuǎn)角η；

3）射線源焦斑到轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸距離SOD，簡記為R；射線源焦斑到探測器的距離SDD，簡記為D。

待測參數(shù)及坐標(biāo)系的建立如圖2 所示。

圖2 坐標(biāo)系建立示意圖Fig.2 Diagram of coordinate system establishment

2 幾何位姿參數(shù)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

參數(shù)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型的總體思想為：利用系統(tǒng)對雙微球模體進(jìn)行360°旋轉(zhuǎn)成像，其投影圓圓心的連線為橢圓或一條線段，利用最小二乘可求解橢圓方程，建立橢圓方程與幾何位姿參數(shù)之間的關(guān)系，從而求解系統(tǒng)需要標(biāo)定的幾何位姿參數(shù)。

為了更為精確的求解橢圓方程，在擬合橢圓方程之前，首先根據(jù)文獻(xiàn)［10］提出的方法利用電容傳感器對投影圓圓心位置進(jìn)行修正，消除轉(zhuǎn)軸端跳、徑向跳動以及偏擺引入的誤差。

現(xiàn)已知修正后的各投影圓圓心位置，設(shè)球i在角度j下的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為(，每個(gè)球在360°范圍內(nèi)共采樣2N個(gè)，則轉(zhuǎn)軸在探測器上的投影可由點(diǎn)和點(diǎn)連線的交點(diǎn)確定，如圖3 所示。為了更加精確的求取交點(diǎn)坐標(biāo)，采用最小二乘法。

圖3 投影示意圖Fig.3 Projection diagram

式中，(ui，vi)即為轉(zhuǎn)軸通過的點(diǎn)。

通過以上分析，可以獲得轉(zhuǎn)軸與探測器像素列的夾角η，可對已知的投影點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行變換，

式中，(u，v)為直接投影點(diǎn)坐標(biāo)，(u*，v*)為修正后坐標(biāo)。

在對投影點(diǎn)坐標(biāo)變換完畢之后，根據(jù)已知假設(shè)條件可知，此時(shí)投影點(diǎn)組成的橢圓方程可寫為

式中，()為橢圓的中心。

同時(shí)，橢圓方程也可以表示為

式中，

根據(jù)式（5）利用最小二乘可求出p0，p1，p2，p3，進(jìn)而通過上式求出a，b。

如圖2 所示，設(shè)小球i在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(D-R+xi，u0+yi，v0+zi)，根據(jù)幾何關(guān)系有

變形得

即

與式（4）對應(yīng)，即可獲得

可由式（13）求得D，代回式（12），可得

(u0，v0)與()之間存在關(guān)系

對于任何一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球的旋轉(zhuǎn)一周的圖像有

式中，Lmax為投影橢圓中對應(yīng)的第i點(diǎn)和第i+N點(diǎn)之間距離的最大值。由式（16）即可求得R。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

為了驗(yàn)證上述數(shù)學(xué)模型的可行性，本文選用直徑100 μm 的氧化鋯微球作為標(biāo)準(zhǔn)器，對實(shí)驗(yàn)室的光耦CT 系統(tǒng)（如圖4 所示）進(jìn)行幾何位姿參數(shù)的標(biāo)定。在如表1 所示的實(shí)驗(yàn)條件下首先對雙微球模體進(jìn)行360°掃描，得到360 幀投影圖像，然后利用Hough 圓心提取方法，提取各幀圖像中投影圓的圓心坐標(biāo)位置，再根據(jù)轉(zhuǎn)軸誤差修正方法，對所提取的圓心坐標(biāo)位置進(jìn)行修正，得到修正后的圓心坐標(biāo)，如圖5 所示，其中，橫縱坐標(biāo)代表投影圓心在圖像總的像素位置，藍(lán)點(diǎn)（up）為上微球360°投影修正后的圓心位置，紅點(diǎn)（down）為下微球360°投影修正后的圓心位置，最后，根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)求解，得到所求參數(shù)如表2 所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4 Experimental device

表1 實(shí)驗(yàn)條件Table 1 Experiment condition

表2 參數(shù)求解結(jié)果Table 2 Calibration results of the parameters

圖5 圓心提取圖Fig.5 Extraction center

為進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)對圖像重建造成的影響，利用系統(tǒng)對竹纖維樣品進(jìn)行成像。首先利用CT 系統(tǒng)對直徑約為1.6 mm 的竹纖維進(jìn)行成像。假定系統(tǒng)呈理想狀態(tài)，直接對獲得的透視圖像進(jìn)行重建，中心切片圖如圖6（b）所示。將獲取的上述幾何位姿參數(shù)代入重建軟件，再次重建，中心切片圖如圖6（a）所示。圖6（b）中，邊緣細(xì)節(jié)可以看到明顯的邊緣重疊以及模糊，而相應(yīng)的，圖6（a）中，在已知系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)的前提下，將系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)帶入重建系統(tǒng)，圖6（b）中的邊緣重疊及模糊現(xiàn)象得到明顯改善，使得校準(zhǔn)后的圖像細(xì)節(jié)分辨更加清晰，重建效果更好。

為量化評價(jià)幾何位姿參數(shù)對重建圖像的影響，利用能量梯度函數(shù)（Energy of Gradient，EOG）對圖6 所示圖像進(jìn)行評價(jià)。能量梯度函數(shù)將x方向和y方向的相鄰像素的灰度值之差的平方和作為每個(gè)像素點(diǎn)的梯度值，對所有像素梯度值累加作為清晰度評價(jià)函數(shù)值，表示為

校準(zhǔn)前后圖像的能量梯度函數(shù)值如表3 所示。由表3 可知，校準(zhǔn)后圖像能量梯度函數(shù)值大于校準(zhǔn)前，圖像邊緣更加銳利清晰，重建效果更好。

表3 EOG 量化評價(jià)Table 3 Quantitative evaluation of EOG

4 結(jié)論

針對光耦CT 系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了雙微球模體，基于該模體提出一種光耦CT 系統(tǒng)適用的幾何位姿參數(shù)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，以上標(biāo)定方法有效，可以使系統(tǒng)滿足成像需要，從而為后續(xù)的圖像重建提供了基礎(chǔ)，使圖像分辨率更佳，重建質(zhì)量更高。但是，在該方法中，由于探測器成像空間較小，需將射線源焦斑盡量靠近轉(zhuǎn)軸中心，以使雙微球投影中心連線為橢圓狀（否則將會因難以辨別而呈直線）。對于一般的反射靶型射線源，由于焦斑距離射線出射口較遠(yuǎn)（一般十幾毫米），難以滿足上述要求，因此，該方法只適用于具有透射靶型的射線源的CT 系統(tǒng)。研究特定模體固定角度下單一投影的系統(tǒng)標(biāo)定方法，是解決上述問題的關(guān)鍵，將會是我們在這一方向接下來的主要工作。