符小東，潘洪峰，房洪蓮，向練

（1 蘇州大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

（2 中天通信技術(shù)有限公司，江蘇 南通 226000）

（3 中天寬帶技術(shù)有限公司，江蘇 南通 226463）

0 引言

光纖自1966年誕生，經(jīng)過四十多年的發(fā)展，已成為世界信息交互的基石。從單模光纖到多模光纖，從單波長到多波長光纖，光纖通信的發(fā)展在穩(wěn)步前進(jìn)。然而隨著云計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)等技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)于通信網(wǎng)絡(luò)的容量要求也越來越高，常規(guī)的單模單芯光纖在時(shí)間、頻率、波長、偏振等物理維度的充分利用，已逐漸逼近非線性香農(nóng)理論的傳輸極限值100 Tbit/s［1］?，F(xiàn)如今信息獲取方式呈現(xiàn)爆炸式的增加，預(yù)計(jì)在不久的將來將會(huì)出現(xiàn)容量緊縮問題。為了超越香農(nóng)極限容量的限制，達(dá)到更高的流量數(shù)據(jù)吞吐量，研究的重點(diǎn)只能轉(zhuǎn)移到還沒有被利用的維度，即空間維度。從物理上講，增加并充分利用空間維度是進(jìn)一步提高光纖容量的唯一手段。將空分復(fù)用技術(shù)應(yīng)用在光纖中，主要有三種方式：多芯光纖（Multi-core Fiber，MCF）、少模光纖和少模多芯光纖［2-4］。MCF 具有良好的應(yīng)用前景，如今也慢慢發(fā)展起來，但在有限的包層空間內(nèi)放入多根纖芯，導(dǎo)致各纖芯之間距離很小，使得傳輸在纖芯的光信號(hào)會(huì)對(duì)相鄰其他纖芯造成影響，相鄰纖芯之間會(huì)產(chǎn)生模式耦合現(xiàn)象，出現(xiàn)芯間串?dāng)_（Inter-core Crosstalk，ICXT），影響光纖通信的質(zhì)量。因此，研究MCF 過程中，如何抑制相鄰纖芯的串?dāng)_是一個(gè)值得關(guān)注的問題。

對(duì)弱耦合MCF 串?dāng)_的研究大多數(shù)都是基于耦合模理論（Coupled Mode Theory，CMT）和耦合功率理論（Coupled Power Theory，CPT）［5-10］?；贑MT，HAYASHI T 等［5］提出了勻質(zhì)弱耦合MCF 中ICXT 縱向演化的離散變化模型（Discrete Changes Model，DCM），該模型包含彎曲和扭轉(zhuǎn)擾動(dòng)影響。利用DCM 進(jìn)行串?dāng)_估計(jì)與實(shí)驗(yàn)吻合較好，因此可以作為一種典型的ICXT 估計(jì)模型，但由于該模型不適用于非相位匹配區(qū)以及異質(zhì)MCF 中，而實(shí)際的MCF，由于生產(chǎn)設(shè)備的誤差，其纖芯參數(shù)并不完全相同，因此DCM 的準(zhǔn)確性會(huì)受到嚴(yán)重影響。LI Mingjun 等［6］利用CMT 推導(dǎo)了勻質(zhì)和異質(zhì)雙芯光纖的一般串?dāng)_公式，但在實(shí)際中，MCF 并不是完全均勻的，不同纖芯的參數(shù)略有不同，并且其方程忽略了彎曲和扭轉(zhuǎn)擾動(dòng)影響，因此是不符合實(shí)際的。LIN Gan 等［7］提出一種優(yōu)化后的數(shù)值解法，通過結(jié)合四階龍格庫塔法和辛普森積分法來直接求解修正的耦合模方程，然而數(shù)值解法耗時(shí)較長，不能得出統(tǒng)一的串?dāng)_解析式。在實(shí)際鋪設(shè)及使用過程中，光纖會(huì)存在彎曲和應(yīng)力起伏而引起的不規(guī)則性，在這種情況下，MARCUSE D［8］提出多模光纖的耦合功率理論，但該理論未考慮光纖彎曲和扭轉(zhuǎn)影響的局部耦合情況，僅考慮了平均串?dāng)_。針對(duì)上述存在的問題，針對(duì)CMT 和CPT 兩種理論的基礎(chǔ)上，需要提出改進(jìn)的方法。

本文從耦合模理論入手，對(duì)原有的耦合模理論加入光纖彎曲和扭轉(zhuǎn)的影響，并采用分段法推導(dǎo)出光信號(hào)功率和串?dāng)_的解析表達(dá)式，將此模型稱為優(yōu)化耦合模理論模型（Optimized Coupled Mode theoretical Model，OCMM）。在此基礎(chǔ)上由耦合模理論引出耦合功率理論，并對(duì)耦合功率理論進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化的功率耦合系數(shù)，并得出光信號(hào)串?dāng)_解析表達(dá)式，將此模型稱為優(yōu)化耦合功率理論模型（Optimized Coupled Power theoretical Model，OCPM）。最后對(duì)比OCMM 和OCPM，對(duì)兩種模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 基于耦合模理論的串?dāng)_估計(jì)

在多芯光纖中，當(dāng)兩個(gè)波導(dǎo)之間距離相互接近時(shí)，波導(dǎo)之間會(huì)發(fā)生相互作用，我們將這種現(xiàn)象稱為波導(dǎo)間的耦合作用。在弱耦合多芯光纖中，可以忽略纖芯間自耦合，因此在平行多芯光纖中耦合模方程可以表示為

式中，A為電場的慢變復(fù)振幅，N為纖芯數(shù)量，Kmn為從纖芯n到纖芯m的模式耦合系數(shù)，βm和βn分別為m和n芯的傳播常數(shù)。在無擾平行多芯光纖下，纖芯間的功率耦合呈正弦式振蕩分布，如圖1 所示為雙芯光纖之間在不同情況下的功率耦合情況，其耦合量大小和兩個(gè)纖芯的傳播常數(shù)有關(guān)。圖1（a）是在傳播常數(shù)完全相同情況下，功率完全耦合轉(zhuǎn)化，圖1（b）是在傳播常數(shù)有微小偏差情況下的功率轉(zhuǎn)化情況。

圖1 纖芯間功率耦合轉(zhuǎn)換圖Fig.1 Power coupling conversion diagram between cores

然而實(shí)際光纖在傳輸時(shí)，由于光纖的彎曲和應(yīng)力起伏的影響，會(huì)對(duì)光纖傳輸存在擾動(dòng)。需要對(duì)式（1）耦合模方程進(jìn)行優(yōu)化。在存在光纖彎曲和扭轉(zhuǎn)的情況下，假設(shè)這兩個(gè)模式耦合系數(shù)沿縱向演化時(shí)傳播常數(shù)不同。因此，在傳播常數(shù)受光纖彎曲和扭曲擾動(dòng)的線性傳播區(qū)域內(nèi)MCF 的修正耦合模態(tài)方程為［11-12］

式中，z為傳輸距離，Δβeq，mn(z′)為在宏觀彎曲和扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)波動(dòng)下的纖芯m和n的等效相位失配，可以表示為

式中，βeq，m(z)和βeq，n(z)是纖芯m和n的等效傳播常數(shù)，其與光纖的彎曲和扭轉(zhuǎn)有關(guān)，可以表示為［13］

式中，βc為光纖芯的無擾動(dòng)傳播常數(shù)，Rb為彎曲半徑，其彎曲方向可為三維空間的任意方向。(r，θ)為彎曲徑向方向?yàn)棣?0 的MCF 截面上的局部極坐標(biāo)，表示為θ(z)=φz+?，其中φ和?分別為扭轉(zhuǎn)度和扭轉(zhuǎn)偏移量。光纖的彎曲和扭轉(zhuǎn)示意圖如圖2 所示。

圖2 七芯光纖彎曲和扭轉(zhuǎn)原理圖Fig.2 Schematic diagram of bending and torsion of seven core optical fiber

為了推導(dǎo)出真實(shí)均勻MCF 中ICXT 的縱向演化的一般模型，采用沿縱向演化的隨機(jī)相移。為了簡化式（2）修正耦合模方程中的積分項(xiàng)，選擇將光纖分成N個(gè)等長、不相關(guān)的均勻段d，其雙芯光纖等效原理如圖3所示。當(dāng)分段段長d足夠小時(shí)，纖芯的等效傳播常數(shù)在該段內(nèi)可看作為一個(gè)常數(shù)，因此式（2）中纖芯間的等效相位失配Δβeq，mn(z)也可簡化為一個(gè)常數(shù)［14］。因此，對(duì)于m和n兩根纖芯，第i段中的修正耦合模態(tài)方程可簡化為

圖3 段長為d 的雙芯光纖模式耦合原理圖Fig.3 Schematic diagram of mode coupling of dual core fiber with segment length d

假設(shè)第i-1 段為第i段初始入射功率時(shí)，由式（5）可得到解析解的矩陣式為

式中，

式中，gi=假設(shè)初始時(shí)從纖芯m注入歸一化功率，n芯為干涉纖芯，在弱耦合條件下，每一段干涉纖芯n的耦合功率可以忽略，纖芯m功率保持為1，在這種情況下，式（6）變?yōu)?/p>

由功率計(jì)算表達(dá)式P=|A(z)|2和式（7）、（8）可知，第i段兩個(gè)纖芯的歸一化功率可以表示為

由上述理論模型可知，在弱耦合條件下，在纖芯的N個(gè)段長中，激勵(lì)纖芯的功率可以近似看成1，最終的ICXT 由每一段的串?dāng)_的疊加。由串?dāng)_的定義可得N段纖芯累加的ICXT 為

2 基于優(yōu)化耦合功率理論的串?dāng)_估計(jì)

在CMT 中，各個(gè)纖芯中光功率沿z方向不斷進(jìn)行波動(dòng)性的相互耦合。然而，當(dāng)光纖實(shí)際長度超過幾十米后，由于實(shí)際鋪設(shè)及使用過程中彎曲和應(yīng)力起伏引起的不規(guī)則性，使得光纖耦合不再呈現(xiàn)這種波動(dòng)性［8］。在這種情況下，CPT 更加有效和精確。

考慮到實(shí)際使用過程中彎曲和應(yīng)力起伏引起的不規(guī)則性，由式（1）可知，重新定義的耦合模方程組可以寫為［8］

式中，f(z)是描述實(shí)際彎曲（彎曲半徑為Rb）和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)（扭轉(zhuǎn)率為φ）的相位函數(shù)。串?dāng)_采用指數(shù)自相關(guān)函數(shù)模擬，經(jīng)過一系列推導(dǎo)可得耦合功率方程為［8］

式（12）即為功率耦合方程。令

hmn為光波導(dǎo)m和n之間的功率耦合系數(shù)。假設(shè)在雙芯光纖情況下，從纖芯m注入歸一化功率，n芯為干涉纖芯，求解式（12）并由串?dāng)_定義式XT=Pn(z)/Pm(z)可得，兩個(gè)纖芯之間的串?dāng)_為

由上述可知，推導(dǎo)耦合功率方程的起點(diǎn)是重新定義的耦合模方程。然而式（12）耦合功率方程只能體現(xiàn)平均功率耦合情況，在實(shí)際光纖傳輸中，想要了解光纖縱向的變化，即局部耦合功率方程，需要對(duì)耦合功率理論加以修改，在耦合模方程的相位信息中加入彎曲和扭轉(zhuǎn)的影響。因此對(duì)于式（11）中的傳播常數(shù)βm，在z=z′時(shí)定義本地等效傳播常數(shù)為［15］

式中，xm和ym分別為m芯中點(diǎn)在z=0（初始狀態(tài)）處的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，βm為纖芯未受擾動(dòng)的傳播常數(shù)，Rb為彎曲半徑，φ為扭轉(zhuǎn)率。同樣和類似。因此等效傳播常數(shù)差為

式中，

因此優(yōu)化后的功率耦合系數(shù)h′mn為

式（18）與式（13）基本一樣，唯一區(qū)別就是式（18）中等效傳播常數(shù)差Δβ′mn包含彎曲和扭轉(zhuǎn)的擾動(dòng)信息，而式（13）中傳播常數(shù)不包含擾動(dòng)信息。為了避免耦合功率方程的數(shù)值解，功率耦合系數(shù)h′mn在扭轉(zhuǎn)率φ上平均值為［16］

式中，

根據(jù)式（12）耦合功率方程及式（19）優(yōu)化后的平均耦合功率系數(shù)求解得到ICXT 為

3 仿真對(duì)比

上述推導(dǎo)了基于OCMM 和OCPM 的多芯光纖串?dāng)_計(jì)算方程，本節(jié)通過仿真與DCM 模型［5］和參考實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［17］進(jìn)行比較，來驗(yàn)證上述串?dāng)_計(jì)算的精度。表1 總結(jié)了階躍型七芯MCF 的參數(shù)。

表1 階躍型七芯MCF 的主要參數(shù)Table 1 Main parameters of step seven core MCF

在勻質(zhì)MCF 中，假設(shè)芯m和芯n的本征有效折射率為一樣的。DCM 在纖芯完全勻質(zhì)條件下是可靠的，因此將OCMM 和OCPM 的串?dāng)_估算與其比較。圖4 所示為MCF 在三種模型下串?dāng)_隨距離的變化情況。串?dāng)_隨著MCF 長度的增加而增加，呈線性上升趨勢(shì)，可以看出串?dāng)_是不斷積累的。圖4 左側(cè)可以看出，OCMM 與OCPM 的仿真結(jié)果與DCM 和實(shí)驗(yàn)結(jié)果［17］非常吻合，其中OCPM 與DCM 結(jié)果幾近重合，且隨著光纖傳輸距離增加呈線性平穩(wěn)上升趨勢(shì)。與OCPM 不一樣的是，OCMM 是隨著DCM 波形呈震蕩上升，這是由于在相位匹配點(diǎn)附近，串?dāng)_累積增加，在非相位匹配點(diǎn)附近，串?dāng)_幾乎不變，因此OCMM 可以更好地反應(yīng)光纖物理結(jié)構(gòu)的波動(dòng)情況。

圖4 ICXT 隨MCF 長度變化關(guān)系Fig.4 ICXT as a function of the MCF length

圖5（a）、5（b）顯示了DCM、OCMM 和OCPM 在實(shí)際勻質(zhì)和實(shí)際非勻質(zhì)MCF 中ICXT 隨彎曲半徑的變化關(guān)系，光纖長度為200 m，其中實(shí)際勻質(zhì)MCF 指的是實(shí)際光纖生產(chǎn)的勻質(zhì)多芯光纖，但由于生產(chǎn)過程的誤差會(huì)導(dǎo)致纖芯的本征折射率有略微的偏差，而實(shí)際非勻質(zhì)MCF 指的是異質(zhì)型多芯光纖。從文獻(xiàn)［18］［19］可以總結(jié)得出，若相鄰纖芯之間的本征有效折射率之差（）大于等于0.046 %，我們將該多芯光纖稱為異質(zhì)多芯光纖。如圖5 所示，對(duì)于非完全同質(zhì)多芯光纖，存在一個(gè)彎曲半徑使平均功率耦合系數(shù)達(dá)到最大值，因此通常將該點(diǎn)定義為臨界彎曲半徑，用Rpk表示。當(dāng)=0.012% 和0.020% 時(shí)，為實(shí)際勻質(zhì)MCF，其臨界彎曲半徑分別為Rpk1=250 mm 和150 mm。當(dāng)=0.046%和0.092%時(shí)，為實(shí)際非勻質(zhì)MCF，其臨界彎曲半徑分別為Rpk1=65 mm 和33 mm。如圖5 所示，在實(shí)際勻質(zhì)和實(shí)際非勻質(zhì)MCF 中，在相位匹配區(qū)（臨界彎曲半徑左側(cè)區(qū)域）時(shí)，其串?dāng)_隨彎曲半徑增大而增大，在非相位匹配區(qū)（臨界彎曲半徑右側(cè)區(qū)域），其串?dāng)_會(huì)隨著彎曲半徑增大而減小，直至收斂到一個(gè)固定值，這是由于傳播常數(shù)的失配引起相位匹配點(diǎn)數(shù)量的減小。由于DCM 僅適用于完全同質(zhì)多芯光纖中，當(dāng)相鄰纖芯傳播常數(shù)不同時(shí)，DCM 已不再適用于大彎曲半徑多芯光纖。由圖5（a）所示，在臨界彎曲半徑左側(cè)，OCMM 和OCPM 仿真結(jié)果比較吻合，在臨界彎曲半徑右側(cè)，OCMM 和OCPM 趨勢(shì)很吻合，但是由于OCPM 是模擬的平均串?dāng)_情況，因此與OCMM略有偏差，在實(shí)際勻質(zhì)MCF 中使用OCMM 更加精確。從圖5（b）中可以看出，在非相位匹配區(qū)，OCPM 的變化是一個(gè)均勻降低的趨勢(shì)，而OCMM 隨彎曲半徑變化在OCPM 曲線上是一個(gè)震蕩降低的過程，但偏差很小。這是由于OCMM 的串?dāng)_估計(jì)是在實(shí)時(shí)擾動(dòng)情況下進(jìn)行的，而OCPM 是對(duì)取得平均擾動(dòng)進(jìn)行串?dāng)_估算的。因此在實(shí)際非勻質(zhì)MCF 中使用OCMM 或者OCPM 都可以。但是OCMM 的串?dāng)_計(jì)算式（10）是根據(jù)每一段的串?dāng)_疊加得出來的，計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算速度較慢，而OCPM 的串?dāng)_計(jì)算式（21）只需要代入光纖參數(shù)進(jìn)去就可以直接計(jì)算出，因此計(jì)算速度會(huì)更快。在兩種模型結(jié)果相似的情況下，因此選擇OCPM 更好一點(diǎn)。

圖5 在實(shí)際勻質(zhì)和實(shí)際非勻質(zhì)MCF 中ICXT 與彎曲半徑的關(guān)系Fig.5 ICXT as a function of the bending radius in actual homogeneous and actual heterogeneous MCF

4 結(jié)論

基于OCMM 和OCPM 兩種理論模型，針對(duì)實(shí)際多芯光纖鋪設(shè)場景下存在彎曲和扭轉(zhuǎn)擾動(dòng)的情況，研究了多芯光纖的芯間串?dāng)_的分布特性，分別推導(dǎo)出芯間串?dāng)_的解析表達(dá)式。通過與離散變化模型仿真驗(yàn)證對(duì)比，驗(yàn)證了理論模型的精度和正確性。仿真結(jié)果表明，在同質(zhì)MCF 中，OCMM 和OCPM 與DCM 結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常吻合，串?dāng)_隨光纖傳輸距離的增大而增大，驗(yàn)證了模型的正確性。實(shí)際MCF 中，OCMM 和OCPM 吻合很好。在相位匹配區(qū)，串?dāng)_隨彎曲半徑的增大而增大；在非相位匹配區(qū)，串?dāng)_隨彎曲半徑增大而減小。在實(shí)際勻質(zhì)MCF 的非相位匹配區(qū)，OCPM 與OCMM 仿真結(jié)果會(huì)有些偏差，這是由于OCPM 是模擬的平均串?dāng)_情況，因此在這種情況下OCMM 更精確。而在實(shí)際非勻質(zhì)MCF 的非相位匹配區(qū)，OCPM 與OCMM 仿真結(jié)果吻合很好，在這種情況下用OCPM 計(jì)算速度會(huì)更快。此外由仿真圖可以看出，OCMM 更能體現(xiàn)光纖實(shí)時(shí)傳輸時(shí)串?dāng)_隨擾動(dòng)波動(dòng)的情況，但是計(jì)算相對(duì)較慢；而OCPM 取平均擾動(dòng)來計(jì)算串?dāng)_，得出具體解析表達(dá)式，計(jì)算速度更快，但不能體現(xiàn)實(shí)時(shí)光纖傳輸情況。因此可以根據(jù)實(shí)際情況采用合適的理論模型。