賴(lài)平民 黃藝超

通過(guò)極坐標(biāo)系可以完美實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中三個(gè)圓錐曲線方程的統(tǒng)一，當(dāng)然極坐標(biāo)系不止方便了對(duì)圓錐曲線的研究，也可以研究很多“美麗”的曲線，比如對(duì)數(shù)螺線、玫瑰線、心臟線、雙紐線等等，這里不做介紹，高中教材對(duì)極坐標(biāo)系中三個(gè)曲線方程的統(tǒng)一形式的要求較低，研究并沒(méi)有深入，一些教師也并不重視，很多學(xué)生幾乎都忘了有這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其實(shí)該知識(shí)點(diǎn)不只是在原來(lái)高考中選考部分應(yīng)用，在選擇題、填空題中一些中檔偏難的題目涉及圓錐曲線的焦半徑的考查也很常見(jiàn)的，因此一些學(xué)有余力或?qū)?shù)學(xué)特別喜歡的學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一方程可以進(jìn)行一些更深入的探討及延伸，不僅對(duì)一些題目可以起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程、另辟蹊徑的效果，也加深了學(xué)生對(duì)圓錐曲線及極坐標(biāo)方程的認(rèn)識(shí)，本文引用圓錐曲線在極坐標(biāo)系下統(tǒng)一方程的結(jié)論，進(jìn)一步推導(dǎo)統(tǒng)一圓錐曲線焦半徑定比公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

1.圓錐曲線統(tǒng)一方程

2.焦半徑定比公式

由以上四個(gè)類(lèi)型的方程，我們可以進(jìn)一步研究直線過(guò)曲線焦點(diǎn)的各種情況，并得到焦半徑之比與離心率和極角之間的關(guān)系，圓錐曲線焦點(diǎn)弦交曲線所得焦半徑定比公式有多種形式，特別是雙曲線焦半徑定比公式有所不同，以直線所過(guò)焦點(diǎn)為極點(diǎn)，右方向?yàn)闃O軸，建極坐標(biāo)系，根據(jù)不同曲線及極點(diǎn)所在的不同位置有多種情況，不妨設(shè)焦半徑之比

3 焦半徑定比公式的統(tǒng)一

以上四種情況所得到的關(guān)系式對(duì)拋物線及過(guò)焦點(diǎn)的直線與雙曲線兩個(gè)交點(diǎn)在同一支時(shí)同樣適用，但當(dāng)直線l交雙曲線于兩支時(shí)有所不同，情況比較復(fù)雜，由極坐標(biāo)方程推導(dǎo)定比關(guān)系式也不盡相同，具體又有另外八種情況，現(xiàn)以焦點(diǎn)在x軸，中心在原點(diǎn)的雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的兩種情況為例，設(shè)傾斜角為a的直線l與雙曲線左右支的兩個(gè)交點(diǎn)

①雙曲線的右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，若直線l過(guò)極點(diǎn)且傾斜角a∈（0，β）時(shí)與雙曲線的左右兩支交于A，B兩點(diǎn)如圖3，則：

②雙曲線右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，若直線l過(guò)極點(diǎn)且傾斜角α∈（π-β，π）時(shí)與雙曲線兩個(gè)交點(diǎn)在左右兩支時(shí)如圖4，則：

4 焦半徑定比公式的應(yīng)用

例1 （2020年高考福建省質(zhì)檢.10）設(shè)曲線E的方程為y= 6x2，曲線E的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，|AF|=3|BF|，過(guò)A，B分別作E的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是A'，B'，則四邊形AA'B'B的面積等于（ ）.

A. 4√3

B. 8√3

C. 16√3

D. 32√3

分析本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線與己知拋物線的位置關(guān)系、直角梯形的面積，拋物線的定義等知識(shí)點(diǎn)，一般采用的解題方法是假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，由|AF|=3|BF|，通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系求直線方程，進(jìn)一步求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)解題，作為一道選擇題此法運(yùn)算偏繁瑣;也可過(guò)B點(diǎn)作AA'的垂線，把梯形分解為矩形和直角三角形，由拋物線定義結(jié)合幾何關(guān)系解題，線段間的關(guān)系轉(zhuǎn)換比較多，以下通過(guò)焦半徑定比公式解題，

分析 本題主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力，一般解題策略是假設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線方程，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線方程，由線段PA與PB乏間的關(guān)系通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解，運(yùn)算相對(duì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，變形過(guò)程技巧較多，以下簡(jiǎn)單介紹焦半徑定比公式的解題方法，

例3 （2020年高三第三次質(zhì)檢福州卷.16）已知梯形ABCD滿(mǎn)足AB∥CD，∠BAD= 45°，以A，D為焦點(diǎn)的雙曲線Γ經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，若|CD|=7 |AB|，則Γ的離心率為_(kāi)___.

分析 本題考查運(yùn)算能力、推理能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，綜合性較強(qiáng)，常規(guī)的聯(lián)立方程根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系解法過(guò)程相對(duì)繁瑣，以下介紹用焦半徑定比公式進(jìn)行解題的方法，

關(guān)于圓錐曲線在極坐標(biāo)系中的研究及定比公式的統(tǒng)一形式，不應(yīng)該作為一種結(jié)論直接讓學(xué)生記憶，一味提倡學(xué)生盲目地模仿、機(jī)械地解題，膚淺地強(qiáng)調(diào)進(jìn)行所謂“秒殺”題目，而應(yīng)該研究各種方程在極坐標(biāo)下的統(tǒng)一過(guò)程，直線與曲線的各種不同相交情形下的焦半徑定比公式的推導(dǎo)以及統(tǒng)一形式的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生共同推演，逐步完善，是一個(gè)很有趣的思維拓展過(guò)程，可以提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)拓展的興趣，豐富解題手段的多樣性，

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