李 柳, 趙 錢(qián), 羅 躍, 卜洋洋

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

電磁層析成像技術(shù)(electro magnetic tomography,EMT)是一種應(yīng)用于工業(yè)無(wú)損探傷、鐵路軌道檢測(cè)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的電層析成像技術(shù),具有低成本、低損耗和無(wú)接觸等優(yōu)點(diǎn)。EMT技術(shù)最早是由Al-Zeibak[1]準(zhǔn)備應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的一種初步的實(shí)驗(yàn)性研究。1993年,曼徹斯特理工大學(xué)的Yu等[2]將EMT技術(shù)應(yīng)用到工業(yè)過(guò)程中。1996年,Peyton等[3-4]設(shè)計(jì)了不同傳感器陣列的EMT系統(tǒng),之后,Korzhenevsky團(tuán)隊(duì)建立了雙極子場(chǎng)模型并用解析表達(dá)式法對(duì)圖像進(jìn)行了重建。2008年,天津大學(xué)開(kāi)始對(duì)EMT技術(shù)進(jìn)行研究,之后劉澤等[5]也先后提出“C”型和“L”型傳感器陣列模型,其中“L”型傳感器模型更適用于工業(yè)探測(cè)。EMT技術(shù)分為正問(wèn)題和逆問(wèn)題研究。正問(wèn)題是已知物場(chǎng)空間分布,測(cè)量檢測(cè)值的過(guò)程;逆問(wèn)題是根據(jù)測(cè)量值,通過(guò)相應(yīng)的圖像重建算法重建被測(cè)物場(chǎng)空間的分布圖像的過(guò)程。因此,圖像重建算法的選擇對(duì)于物場(chǎng)空間重構(gòu)是至關(guān)重要的。

本文以傳統(tǒng)的“O”型16線圈的傳感器陣列模型為研究對(duì)象, 采用控制變量法, 探究4種不同重建算法重建圖像的質(zhì)量, 使用經(jīng)典評(píng)價(jià)手段判斷不同算法的優(yōu)缺點(diǎn), 找到適用于本領(lǐng)域的圖像重建算法。

1 EMT模型建立

構(gòu)建傳統(tǒng)“O”型EMT仿真模型,如圖1所示,物場(chǎng)空間為圓柱體,直徑為40 cm,在其統(tǒng)一平面位置,周圍均勻分布16組空心線圈,形成16組激勵(lì)-檢測(cè)線圈,且每組線圈均由絕緣圓柱體纏繞匝數(shù)為10匝、粗為0.4 cm2的銅絲(其中σ=5.998×107S/m,μ=4π×10-7N·A-2)構(gòu)成。當(dāng)線圈中輸入交變電場(chǎng)后,形成扇形交變磁場(chǎng)。將16組線圈按逆時(shí)針?lè)较蚺判?線圈的位置如圖1(b)所示,每個(gè)線圈單獨(dú)作為激勵(lì)源,其余15個(gè)線圈作為檢測(cè)傳感器,16組線圈依次遍歷,共可獲得15×16=240個(gè)檢測(cè)值[5]。

由于物場(chǎng)空間的檢測(cè)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于需要重建的像素個(gè)數(shù),造成電磁層析成像中常見(jiàn)的軟場(chǎng)問(wèn)題,EMT系統(tǒng)無(wú)法得到解析解。因此,采用有限元數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行正問(wèn)題研究,在COMSOL軟件中構(gòu)建模型,進(jìn)行物場(chǎng)空間有限元剖分;將每個(gè)剖分單元填充被測(cè)物,獲得檢測(cè)值,作為該單元的靈敏度;遍歷所有剖分單元,形成整個(gè)物場(chǎng)空間的靈敏度矩陣,作為圖像重建的重要參數(shù)[6]。

(a) 單個(gè)線圈結(jié)構(gòu); (b)物場(chǎng)空間線圈分布二維分布圖圖1 EMT傳感器模型Fig.1 EMT sensor array distribution

2 圖像重建算法對(duì)比

當(dāng)物場(chǎng)空間參雜未知介質(zhì)(介質(zhì)的性質(zhì)、位置、大小未知)時(shí),重建物場(chǎng)空間不同介質(zhì)的分布稱為EMT技術(shù)的逆問(wèn)題。在解決EMT技術(shù)的逆問(wèn)題時(shí),采用的數(shù)值方法主要有LBP(linear back projection)法、Landweber迭代法、共軛梯度法等[7-9]。

2.1 LBP算法

LBP算法是所有算法中最基本的一種,其通過(guò)將某點(diǎn)的所有投影射線進(jìn)行累加,再反向估算出該點(diǎn)的電導(dǎo)率。算法比較容易實(shí)現(xiàn)且能夠快速成像,其運(yùn)算規(guī)則為

G=ST·U

(1)

其中:G為歸一化像素灰度值向量;S為歸一化靈敏度系數(shù)矩陣;U為歸一化測(cè)量電壓矢量矩陣。該方法計(jì)算量不大,成像速度快,但像素灰度值和測(cè)量電壓值之間為線性關(guān)系,因此,成像質(zhì)量不高。

2.2 Landweber迭代算法

Landweber迭代算法是將LBP或Tikhonov算法得到的重建圖像作為迭代初值,負(fù)梯度方向作為搜索方向不斷迭代得到最優(yōu)值的方法,其目標(biāo)函數(shù)為

(2)

對(duì)L(G)進(jìn)行求導(dǎo),得到梯度方程為

L(G)=STSG-STU=ST(SG-U)

(3)

若選取LBP重建的圖像作為初始迭代值,則Landweber算法的迭代方程為

(4)

其中:k為迭代次數(shù);G0為迭代初值;λk為迭代步長(zhǎng),迭代步長(zhǎng)的選取決定了收斂速度。因此可以根據(jù)固定值法求迭代步長(zhǎng),即收斂條件‖λkSTS‖≤2,直接選取λk=2/αmax,其中αmax為STS的最大特征值。

2.3 傳統(tǒng)共軛梯度算法

圖2 傳統(tǒng)共軛梯度算法流程圖Fig.2 Flow chart of traditional conjugate gradient algorithm

共軛梯度算法是解決大型稀疏矩陣的最優(yōu)化方法,利用已知點(diǎn)處的梯度構(gòu)造一組共軛方向,并沿這組方向進(jìn)行搜素,求出目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。傳統(tǒng)的共軛梯度算法(conjugate gradient,CG)如圖2所示。

其中αk-1為某種非線性搜索確定的步長(zhǎng),常用的非線性搜索主要有:Armijo線性搜索、Wolfe線性搜索和Golklstein線性搜索。一般由Wolfe線性搜索獲得搜索步長(zhǎng),使αk-1滿足Wolfe線搜索規(guī)則

(5)

其中:δ∈(0,0.5),σ∈(δ,1);pk為搜索方向;gk=f(xk);βk為共軛迭代參數(shù),它的值決定著共軛梯度算法的收斂性質(zhì)和數(shù)值效果。目前主要有PRP,HS,DY,CD,LS,FR幾種不同的共軛梯度算法。不同之處在于βk參數(shù)的不同。公式如下:

2.4 修正共軛梯度算法

由于算法的下降性對(duì)于收斂結(jié)果至關(guān)重要,并且傳統(tǒng)的共軛梯度算法不能保證算法的持續(xù)下降,所以很多學(xué)者也根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)合和收斂要求對(duì)其進(jìn)行了修正。為了提高該方法的收斂有效性,本文結(jié)合以上幾種方法的優(yōu)缺點(diǎn)[10-13],基于Wolfe線性搜索原則,對(duì)βk參數(shù)進(jìn)行了修正,使其滿足式(9)的條件[14-19]。具體流程與傳統(tǒng)的共軛梯度算法一致,文章僅對(duì)βk進(jìn)行了優(yōu)化處理。

(7)

2.5 4種算法的重建圖像

為了對(duì)比如以上4種方法在EMT技術(shù)中的圖像重建效果,建立3種物場(chǎng)模型,分別為一個(gè)圓域擾動(dòng)、2個(gè)圓域擾動(dòng)和3個(gè)圓域擾動(dòng)。具體模型如圖3,其中,模型1為1個(gè)圓域擾動(dòng),在物場(chǎng)空間的坐標(biāo)為(-0.11,0.07);模型2為2個(gè)圓域擾動(dòng),位于(-0.11,0.07)和(0,-0.13)點(diǎn);模型3為3個(gè)圓域擾動(dòng),坐標(biāo)分別為(-0.11,0.07),(0,-0.13)和(0.11,0.07)。擾動(dòng)材料為銅,擾動(dòng)目標(biāo)的半徑均為15 mm。激勵(lì)線圈的頻率和電流大小分別為1 MHz和1 A。圖3為重建結(jié)果,并用圖像質(zhì)量(image error,IE)和圖像相關(guān)度(correlation coefficient,CC)參數(shù)[20]評(píng)價(jià)重建圖像,見(jiàn)表1和表2。

圖3 3種模型重建圖像對(duì)比圖Fig.3 Comparison of reconstructed images under the three models

表1 3種模型重建圖像的IE值

表2 3種模型重建圖像的CC值

根據(jù)圖像成像結(jié)果和2種評(píng)價(jià)指標(biāo),可以看出

1) 從圖像重建的整體效果看,修正共軛梯度算法更接近原始模型分布;

2) 從圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)看,單一擾動(dòng)重建圖像質(zhì)量略高于其他2個(gè)模型,并且共軛梯度算法和Landweber算法效果最好;

3) 從圖像相關(guān)度看出,修正共軛梯度算法在3種模型中均高于其他算法。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文建立了“O”型EMT傳感器模型,給定了物場(chǎng)空間參數(shù),包括空間形狀、大小、線圈直徑、匝數(shù)等,調(diào)節(jié)激勵(lì)信號(hào)的頻率和大小分別為1 MHz和1 A。在圖像重建算法中,重點(diǎn)闡述了LBP,Landweber和共軛梯度算法在EMT圖像重建中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上,修正了共軛梯度算法,通過(guò)改變?chǔ)耴參數(shù)來(lái)提高共軛梯度算法的收斂性,并將此方法應(yīng)用到EMT技術(shù)中。建立3種擾動(dòng)模型,對(duì)比4種算法判斷算法的適應(yīng)性,圖像重建效果顯示:單擾動(dòng)比多擾動(dòng)模型成像效果好,物體邊界更接近實(shí)物;由于LBP方法簡(jiǎn)單,其單擾動(dòng)重構(gòu)效果也較好,其方便、快速的特點(diǎn)也滿足一般的需求。對(duì)比圖像重建效果發(fā)現(xiàn),修正共軛梯度算法的收斂性優(yōu)于傳統(tǒng)算法;對(duì)于同一種模型,從圖像質(zhì)量(IE)參數(shù)看,幾種算法的差別不大,但是從圖像相關(guān)度(CC)看,修正共軛梯度算法更有優(yōu)勢(shì)。