付志慧, 周 末

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

項(xiàng)目反應(yīng)理論(item response theory, IRT)[1]是在經(jīng)典測量理論受到了局限性限制的背景下逐漸發(fā)展起來的一種新的現(xiàn)代測量理論[2]。模型參數(shù)估計(jì)問題是IRT中比較重要的部分,當(dāng)前主要采用的估計(jì)方法是期望最大化(expectation maximization,EM)算法[3-5]和馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo, MCMC)算法[6],最簡單的MCMC算法之一是Gibbs抽樣[7-8],相比于其它算法具有幾何遍歷性和收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。Albert(1992)[9]首次將Gibbs抽樣應(yīng)用于IRT模型中。Fu等(2009)[10]基于增加數(shù)據(jù)的Gibbs抽樣方法,提出了一種估計(jì)多維3PL模型的貝葉斯方法。然而,針對3PL模型,關(guān)于項(xiàng)目參數(shù)的先驗(yàn)分布對該抽樣方法的估計(jì)效果的影響研究甚少。本文基于增加數(shù)據(jù)的Gibbs抽樣方法針對3PL模型討論了項(xiàng)目參數(shù)取不同的先驗(yàn)分布時對估計(jì)結(jié)果的影響,并進(jìn)一步研究了不同的樣本容量(N)及不同的測試長度(n)下估計(jì)結(jié)果的差異。

1 3PL模型介紹和先驗(yàn)假設(shè)

假設(shè)N個被試,n個題目,yij表示第j個被試回答第i個題目的得分,當(dāng)回答正確時等于1,回答錯誤時等于0。令pij為第j個被試對于第i個題目正確作答的概率,3PL模型的表達(dá)式為

其中:i=1,2,…,n;j=1,2,…,N;θj為第j個被試的能力參數(shù);ai為題目i的區(qū)分度參數(shù);bi為題目i的難度參數(shù);ci為題目i的猜測度參數(shù),是模型的下漸近線。令

則有

(1)

2 引進(jìn)潛變量和Gibbs抽樣過程

Gibbs抽樣是常用的MCMC方法之一,主要適用于模型聯(lián)合分布比較復(fù)雜而無法直接得出每個參數(shù)后驗(yàn)分布的情形。在本文研究的3PL模型中,對于反應(yīng)數(shù)據(jù)yij,通過引進(jìn)2個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量rij和uij,其中rij～Binomial(1,ci),uij～Uniform(0,1),從而模型各個參數(shù)的滿條件分布都簡單易得。具體地,令

(2)

又由

可把式(2)取期望即得到式(1)。令ξ=(θj,ai,bi,ci),隨著潛變量rij和uij的引入,(ξ,rij,uij)的聯(lián)合后驗(yàn)密度為

由此可得出uij,rij,ci,bi,θj,ai的滿條件分布(具體過程參見附錄,詳見[12])。

3 模擬實(shí)驗(yàn)

按照上述抽樣過程,在本節(jié)模擬分析中考慮以下3個影響因素,即樣本容量N(N=1 000,2 000,5 000),測試長度n(n=10,20,40),項(xiàng)目參數(shù)的先驗(yàn)分布(假定共2×3=6種先驗(yàn),詳見表1),

總計(jì)3×

表1 項(xiàng)目參數(shù)的先驗(yàn)分布Table 1 Prior distribution of item parameters

3×6=54種模擬條件。進(jìn)一步,能力參數(shù)(θ)和難度參數(shù)(b)的真值從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)中產(chǎn)生,區(qū)分度參數(shù)(a)的真值從對數(shù)正態(tài)分布中產(chǎn)生,即lna～N(0,0.2),猜測度參數(shù)(c)的真值從貝塔分布中產(chǎn)生,即c～Beta(8,32)。上述每種情形重復(fù)進(jìn)行R=20次實(shí)驗(yàn)。

在估計(jì)結(jié)果匯報中,使用均方根誤差(rootmeansquarederror,RMSE)和偏差(bias)評估項(xiàng)目參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性[13]。RMSE和bias的定義如下:

其中:τ為項(xiàng)目參數(shù)(ai,bi,ci)的真值;tr為第r(r=1,…,R)次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的估計(jì)值。

表2 區(qū)分度參數(shù)(a)的RMSE和biasTable 2 RMSE and bias of discrimination parameter (a)

表3 難度參數(shù)(b)的RMSE和biasTable 3 RMSE and bias of difficulty parameter (b)

表4 猜測度參數(shù)(c)的RMSE和biasTable 4 RMSE and bias of guessing parameter (c)

4 結(jié)果分析

1) 對于題目區(qū)分度參數(shù)(a),隨著樣本容量N的增加,RMSE的值逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為N(0,1)I(a>0),測試長度n=10時,樣本容量N=(1 000,2 000,5 000),對應(yīng)的RMSE值為(0.306 9,0.231 2,0.126 1),同時,隨著測試長度n的增加,RMSE的值也逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為N(0,1)I(a>0),樣本容量N=1 000時,測試長度n=(10,20,40),對應(yīng)的RMSE值為(0.306 9,0,291 4,0.243 0)。

2) 對于題目難度參數(shù)(b),隨著樣本容量N的增加,RMSE的值也逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為N(0,1),測試長度n=20時,樣本容量N=(1 000,2 000,5 000),對應(yīng)的RMSE值為(0.444 5,0.287 5,0.154 9),同時,隨著測試長度n的增加,RMSE的值也逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為N(0,1),樣本容量N=2 000時,測試長度n=(10,20,40),對應(yīng)的RMSE值為(0.290 7,0.287 5,0.277 6)。

3) 同樣地,對于題目猜測度參數(shù)(c),隨著樣本容量N的增加,RMSE的值也逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為Beta(5,17),測試長度n=40時,樣本容量N=(1 000,2 000,5 000),對應(yīng)的RMSE值為(0.064 9,0.059 3,0.045 3),同時,隨著測試長度n的增加,RMSE的值也逐漸減小。例如:當(dāng)先驗(yàn)分布為Beta(5,17),樣本容量N=5 000時,測試長度n=(10,20,40),對應(yīng)的RMSE值為(0.059 8,0.051 1,0.045 3)。

4) 在不同的先驗(yàn)假定下,隨著先驗(yàn)方差的增大,對應(yīng)參數(shù)的RMSE值逐漸增加。例如:對于題目區(qū)分度參數(shù)(a),當(dāng)測試長度n=10,樣本容量N=1 000時,取先驗(yàn)為N(0,1)I(a>0)的RMSE值為0.306 9,取先驗(yàn)為N(0,25)I(a>0)的RMSE值為0.423 9;對于題目難度參數(shù)(b),當(dāng)測試長度n=20,樣本容量N=2 000時,取先驗(yàn)為N(0,1)的RMSE值為0.287 5,取先驗(yàn)為N(0,25)的RMSE值為0.303 0;同樣地,對于題目猜測度參數(shù)(c),當(dāng)測試長度n=40,樣本容量N=5 000時,取先驗(yàn)為Beta(5,17)的RMSE值為0.045 3,取先驗(yàn)為Beta(1,1)的RMSE值為0.056 4。

5) 對于題目區(qū)分度參數(shù)(a),bias的絕對值最大為0.143 9,最小為0.000 1;對于題目難度參數(shù)(b),bias的絕對值最大為0.301 1,最小為0.002 7;對于題目猜測度參數(shù)(c),bias的絕對值最大為0.076 4,最小為0.000 1。在本文的模擬設(shè)置下,得出的這些估計(jì)結(jié)果都在可接受的范圍內(nèi)。

5 結(jié) 語

本文基于增加數(shù)據(jù)的Gibbs抽樣方法針對3PL模型探討了在不同模擬設(shè)置條件下的估計(jì)效果。模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,隨著樣本容量或測試長度的增加,估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性將會有所提高,并且對于項(xiàng)目參數(shù)的先驗(yàn)分布采用方差較小的先驗(yàn)時,獲得的估計(jì)結(jié)果比較準(zhǔn)確。本文只考慮了樣本容量為1 000,2 000和5 000的情況,對于小樣本(比如500)和大樣本(比如10 000)的情況還有待研究。進(jìn)一步的,這種數(shù)據(jù)增加的Gibbs抽樣方法也可以推廣到4PL模型[14]和多級評分模型[15]中。

附錄

在給定yij,rij,ξ下,uij的滿條件分布為

在給定yij,uij,ξ下,rij的滿條件分布為

在給定rij下,ci的滿條件分布為

給定其他所有參數(shù)和uij,rij,yij下,bi的滿條件分布為

其中

同理,θj的滿條件分布為

(a5)

其中

給定其他所有參數(shù)和uij,rij,yij下,ai的滿條件分布為

(a6)

其中

具體的Gibbs抽樣步驟為從(a1)～(a6)中依次抽取uij,rij,ci,bi,θj,ai。