陳秀艷, 石鈉月

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

近年來,石墨烯由于其出色的熱學(xué)、電學(xué)和光學(xué)特性,在導(dǎo)電導(dǎo)熱納米復(fù)合材料、超薄碳膜、傳感器、光電探測器等領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值[1-5]。無論是石墨烯的光學(xué)應(yīng)用還是電學(xué)應(yīng)用,都離不開石墨烯的電導(dǎo)率。潘登科等[6]討論了石墨烯在微波至可見光波段的電磁特性,文中具體討論了石墨烯電導(dǎo)率隨化學(xué)勢及溫度的變化關(guān)系。劉杏[7]討論了基于石墨烯的微波毫米波吸波技術(shù)研究,文中基于Kubo公式討論了石墨烯的電導(dǎo)率特性。邢睿[8]基于石墨烯的新型波導(dǎo)和可調(diào)微納光器件進(jìn)行研究,文中提到了Drude公式,但并沒有進(jìn)行具體分析。截止目前,沒有人對于石墨烯的Kubo公式及Drude公式進(jìn)行過具體的比較分析,因此,考慮到石墨烯電導(dǎo)率對于石墨烯研究的重要性,本文總結(jié)了2種主要用來計(jì)算石墨烯電導(dǎo)率的模型,分別為Kubo公式[9-13]及Drude公式[14-15]。基于這2個(gè)公式分別計(jì)算了微波波段石墨烯的電導(dǎo)率、介電常數(shù)及折射率,將2個(gè)得到的結(jié)果進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明,由2個(gè)公式得到的電導(dǎo)率幾乎相等,但得到的介電常數(shù)的實(shí)部有著明顯差異,虛部完全相同。Kubo公式計(jì)算出來的介電常數(shù)實(shí)部是隨著頻率的增加趨近于Drude公式計(jì)算出來的結(jié)果的?？赡苁且?yàn)镵ubo公式與Drude公式之間所差的帶間躍遷的表達(dá)式及Drude公式的過于簡化造成這種差異。折射率的變化趨勢相同,并沒有受到介電常數(shù)結(jié)果的影響,因此Kubo公式和Drude公式均可用來計(jì)算石墨烯的折射率,但Drude公式更便于計(jì)算。

1 石墨烯電導(dǎo)率模型

在微波波段,石墨烯的電導(dǎo)率為復(fù)數(shù)σ=σ′-iσ″。石墨烯的電導(dǎo)率可由Kubo公式和Drude近似公式2種類型的公式表達(dá),Kubo公式適用于微波至可見光波段,而Drude近似公式只適用于微波波段。因此接下來對2個(gè)公式進(jìn)行介紹與分析。

1.1 Kubo公式

根據(jù)Kubo公式,石墨烯的電導(dǎo)率可以分為帶內(nèi)電導(dǎo)率σintra和帶間電導(dǎo)率σinter兩部分,由以下公式描述:

化學(xué)勢μc可由載流子濃度ns[13]給出

(4)

式中:vF=9.5×105m·s-1是費(fèi)米速度;為能量;fd()為費(fèi)米達(dá)拉克分布。該函數(shù)表達(dá)為

fd()

(5)

載流子濃度能夠通過化學(xué)摻雜或柵極偏壓等方式進(jìn)行調(diào)節(jié)。

1.2 Drude近似公式

Drude近似公式主要有2個(gè)參數(shù):D(Drude重量)和Γ(散射率)。當(dāng)光波頻率較低時(shí),始終有?ω<2EF,其中EF為費(fèi)米能級,因此泡利不相容原理禁止了石墨烯的帶間躍遷[16],此時(shí)石墨烯電導(dǎo)率表達(dá)式為

(6)

其中D=e2μc/?2,于是有

(7)

相比于Kubo公式,Drude近似公式不僅不需要考慮帶間電導(dǎo)率,而且更加簡化了公式本身的復(fù)雜度,更便于計(jì)算。但相應(yīng)帶來的缺點(diǎn)就是Drude近似公式受到頻率的限制,只能在頻率較低時(shí)使用,而Kubo公式可以在任意波段使用。由于Drude公式簡單,忽略帶間躍遷,損耗很小且只適用于低頻率,因此該公式更適合用來計(jì)算石墨烯等離子體。

2 結(jié)果與討論

為了將2種公式進(jìn)行比較和分析,分別計(jì)算了石墨烯的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)及折射率。石墨烯的相對介電常數(shù)表達(dá)為[17]

(8)

式中:σ為石墨烯的電導(dǎo)率;ω為角頻率;ε0為真空介電常數(shù);Δ為石墨烯的厚度,值為0.335 nm[18]。

石墨烯的折射率的表達(dá)式為[7]

(9)

由于Drude公式只適用于頻率較低的時(shí)候,因此選擇在0.1～1.0 GHz波段分別根據(jù)2種公式計(jì)算出石墨烯的電導(dǎo)率、介電常數(shù)和折射率隨頻率的變化,以此更好比較和分析2種公式的結(jié)果。

2.1 電導(dǎo)率的比較與分析

比較τ=0.1ps[6],T=300 K,μc=0.5 eV時(shí)2種公式的電導(dǎo)率實(shí)部與虛部在0.1～1.0 GHz 頻率范圍內(nèi)隨頻率變化的關(guān)系, 如圖1和圖2所示。 圖1為電導(dǎo)率實(shí)部的比較, 圖2為電導(dǎo)率虛部的比較。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式圖1 2種公式計(jì)算的電導(dǎo)率實(shí)部隨頻率變化的關(guān)系Fig.1 Relationship between real part of conductivity calculated by two formulas and frequency

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式圖2 2種公式計(jì)算的電導(dǎo)率虛部隨頻率變化的關(guān)系Fig.2 Relationship between imaginary part of conductivity calculated by two formulas and frequency

從圖1中可以看出,2種公式計(jì)算的電導(dǎo)率存在著細(xì)微的差距,Drude近似公式計(jì)算的結(jié)果比Kubo公式的結(jié)果小了約3×10-6S,這個(gè)差值可以忽略不計(jì)。且從圖1可以看出,2種電導(dǎo)率實(shí)部隨頻率的變化趨勢一致,都是隨著頻率的增加而減小。從圖2可以看出,2種結(jié)果相差約1×10-7S,也可以忽略不計(jì),并且2種電導(dǎo)率虛部隨頻率的變化趨勢也一致,都是隨著頻率的增加而減小。由于Drude公式相較于Kubo公式忽略了帶間躍遷,因此這個(gè)極小的差值可能是忽略帶間躍遷造成的。但由于差值可以忽略不計(jì),因此在0.1～1.0 GHz頻率范圍內(nèi),2種公式都適用于石墨烯電導(dǎo)率的計(jì)算。

2.2 介電常數(shù)的比較與分析

將上述電導(dǎo)率數(shù)值代入介電常數(shù)的表達(dá)式中計(jì)算出2種介電常數(shù)在0.1～1.0 GHz頻率范圍內(nèi)隨頻率的變化,如圖3和圖4所示。圖3為介電常數(shù)實(shí)部的比較,圖4為介電常數(shù)虛部的比較。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式圖4 2種公式計(jì)算的介電常數(shù)虛部隨頻率變化的關(guān)系Fig.4 Relationship between imaginary part of dielectric constant calculated by two formulas and frequency

從圖3可以看出,基于2種電導(dǎo)率計(jì)算出的介電常數(shù)實(shí)部有著明顯的差距。雖然2種介電常數(shù)都呈現(xiàn)隨著頻率增加而增加的趨勢,但很明顯,根據(jù)Drude公式計(jì)算出的變化很小,這種變化可以忽略不計(jì),而根據(jù)Kubo公式計(jì)算出的結(jié)果有著明顯的變化,而且隨著頻率的增加,Kubo公式計(jì)算的結(jié)果在趨近于Drude公式計(jì)算的結(jié)果。造成這種情況的原因是介電常數(shù)的實(shí)部是由電導(dǎo)率的虛部決定的,而根據(jù)Drude公式可以看出,電導(dǎo)率的虛部只受頻率的影響,帶入到介電常數(shù)公式中后,這種影響可以忽略不計(jì)。此外,Kubo公式中的帶間躍遷也可能造成這種介電常數(shù)的結(jié)果變化不明顯。從圖4可以看出,雖然二者的介電常數(shù)實(shí)部差距較大,但虛部一致。而介電常數(shù)的虛部受電導(dǎo)率實(shí)部影響,這進(jìn)一步說明了2個(gè)公式計(jì)算出的電導(dǎo)率的實(shí)部是可靠的。

2.3 折射率的比較與分析

根據(jù)折射率的公式,將計(jì)算出的介電常數(shù)代入公式中,計(jì)算出了2種折射率在0.1～1.0 GHz頻率范圍內(nèi)隨頻率的變化,如圖5和圖6所示。圖5為折射率實(shí)部的比較,圖6為折射率虛部的比較。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式圖5 2種公式計(jì)算的折射率實(shí)部隨頻率變化的關(guān)系Fig.5 Relationship between real part of refractive index calculated by two formulas and frequency

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式圖6 2種公式計(jì)算的折射率虛部隨頻率變化的關(guān)系Fig.6 Relationship between imaginary part of refractive index calculated by two formulas and frequency

從圖5和圖6可以看出,根據(jù)2種公式計(jì)算出的石墨烯折射率的實(shí)部和虛部的變化趨勢相同。石墨烯折射率的實(shí)部隨著頻率的增加而減小,虛部隨著頻率的增加而增大。雖然Kubo公式與Drude近似公式計(jì)算出的電導(dǎo)率不完全相等,介電常數(shù)也存在明顯的差異,但二者計(jì)算出的折射率完全相等。這說明,雖然折射率通過介電常數(shù)計(jì)算得到,但結(jié)果并沒有受到介電常數(shù)的影響。這可能是因?yàn)檎凵渎适峭ㄟ^介電常數(shù)開方獲得的,讓本就很小的差異忽略不計(jì)。因此在微波頻段,Kubo公式和Drude公式都可以用來計(jì)算石墨烯的折射率,Drude公式因其公式簡單,更適合用來計(jì)算。

3 結(jié) 語

本文基于Kubo公式及Drude公式2種不同的描述石墨烯電導(dǎo)率的公式對于微波波段石墨烯的電導(dǎo)率、介電常數(shù)及折射率進(jìn)行了計(jì)算,并將得到的結(jié)果進(jìn)行了比較與分析。結(jié)果表明,微波波段2種公式得到的石墨烯電導(dǎo)率相差無幾,但介電常數(shù)實(shí)部有著明顯的差異,虛部則完全相同。這些差異的存在一方面是因?yàn)镈rude公式相比于Kubo公式少了帶間躍遷的部分,另一方面是因?yàn)镈rude公式本身過于簡化。根據(jù)2個(gè)公式計(jì)算的折射率的變化趨勢相同,并沒有受到介電常數(shù)結(jié)果的影響。因此,在對石墨烯進(jìn)行計(jì)算與應(yīng)用時(shí),在微波波段只考慮電導(dǎo)率與折射率的情況下用2種公式都可以,Drude公式更便于計(jì)算,但需要應(yīng)用介電常數(shù)時(shí),Kubo公式更加合適,更能確保得到的介電常數(shù)與實(shí)際相接近。