姜向前，王 瑩，宋 揚，趙春宇，張 宇

(哈爾濱工業(yè)大學 物理學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

光波遇到障礙物時發(fā)生偏離直線傳播的現(xiàn)象稱為光的衍射，是光波動性的一個重要特征.衍射現(xiàn)象具有兩個鮮明的特點，即限制與擴展[1]，只要光在波前傳播方向受到限制則產(chǎn)生衍射，那么遠處屏上的衍射光強就沿該方向擴展開來.障礙物的尺度與波長之間的關系決定了衍射現(xiàn)象的強弱.只要障礙物的尺寸在λ～103λ之間就會得到明顯衍射現(xiàn)象.

由于衍射結構與衍射圖樣是一一對應的，因此可利用衍射圖樣進行結構分析、形貌表征.大學物理實驗中利用衍射進行測量的簡單例子是光柵衍射測光柵常數(shù)和波長[2,3].激光入射光柵，由衍射光斑即可實現(xiàn)對波長的測量.直尺刻線亦可認為是光柵結構，利用直尺衍射也可實現(xiàn)對光波長的測定.但在測量過程中發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，當入射光斑照射到直尺邊緣或鋼尺表面非刻度區(qū)時衍射屏上出現(xiàn)半圓形衍射光斑.由于衍射光斑與衍射結構一一對應，本文將理論結合實驗針對直尺的衍射現(xiàn)象開展研究.

1 直尺衍射圖樣及其表面形貌

無論對于塑料尺還是鋼尺，如圖1(a)所示，不論入射光照射刻度線側邊緣還是照射非刻度線邊緣都會出現(xiàn)如圖1(c)所示的衍射圖樣.若將激光束入射直尺表面空白區(qū)域如圖1(b)所示，對于塑料尺與亞光鋼尺衍射屏上只有反射光斑，無半圓形衍射光斑出現(xiàn).對于拋光鋼尺，衍射光斑沿x方向向兩側擴展，有半圓形衍射圖樣出現(xiàn)如圖1(d)所示.由此可判斷，對于塑料尺與亞光鋼尺表面無規(guī)則結構, 而對于拋光直尺表面應該存在規(guī)則結構.無論入射鋼尺表面與邊緣都會有半圓形衍射圖樣出現(xiàn)意味著表面與側面具有類似的微觀結構.為了證實這種判斷，將利用光學顯微鏡對直尺表面與側面進行表征, 如圖2所示.

直尺邊緣衍射 直尺表面衍射

拋光鋼尺表面成像 亞光鋼尺表面成像

由表征結果可知，塑料直尺與亞光鋼尺表面并無規(guī)則結構，因此只在反射點處得到一個亮斑，光斑并未發(fā)生擴展.塑料直尺側面與拋光鋼尺表面、側面發(fā)現(xiàn)復雜條形結構.盡管出現(xiàn)規(guī)則的條形結構卻并不能得到明確的周期，但可認為是多套條形光柵的疊加.雖然由表征結果得到了規(guī)則的衍射結構，但這種條形結構的衍射圖樣為什么是半圓形仍不得而知，為了解釋半圓形衍射光斑，下面我們將從簡單的二值光柵的衍射理論出發(fā)給出結果分析.

2 直尺衍射圖樣理論分析

為了解釋直尺側面與拋光鋼尺表面的半圓形衍射圖樣，考慮最簡單的情況，即二值光柵的衍射.文獻中已有很多二值光柵的衍射行為的討論[4-8]，Harvey和Vernold[5]利用方向余弦解決了二值光柵的圓錐衍射問題.基于圓錐衍射我們將討論存在微結構的直尺表面的衍射問題.

首先考慮一束光入射標準光柵如圖3所示，θi為入射角，φ0和φ為方位角，θ0為極角.光柵矢量G平行于α軸，而光柵槽沿β軸，直角坐標系中r(x,y,z)在方向余弦空間中的3個分量為

圖3 方向余弦空間中反射光柵的圓錐衍射

(1)

α,β,γ滿足α2+β2+γ2=1.

入射光與單位球面的交點在αβ平面上的投影為(αi,βi)，由圖可知

(2)

整理得

(3)

由圖3可知β軸方向波矢分量為βm=ky/k0=sinθisinφ，由于入射角θi與方位角φ是確定的值，則β方向波矢分量為定值，即所有衍射級次位于同一個垂直β軸的平面上，進而可得βm+βi=0.由式(3)可得

βm=-sinφ0

(4)

(5)

由式(5)可知αm、γm在半徑為|cosφ0|的圓周上.下面我們進一步討論各衍射級次的間距問題.由光柵方程αm+αi=mλ/d(m為整數(shù)，d為光柵周期)[6]可得

(6)

由式(6)可得

(7)

由式(5)和式(7)可知，所有衍射級次等間距分布在同一圓上.下面給出衍射光斑的尺寸，假定光柵距衍射屏距離為L，考慮特殊情況即入射面為βγ平面，入射角為θi，則有tanθi=L/r，其中r為衍射屏上對應圓衍射光斑的半徑，整理得

(8)

至此，我們已經(jīng)推導了光入射條形光柵各衍射階次的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)對于標準二值光柵各衍射級次離散分布在一個與柵屏距L、入射角θi相關的一個圓上.若入射反射光柵，衍射光斑為半圓；若入射透射光柵，衍射光斑離散分布在整圓上.由二值光柵衍射結果可知，對于存在條形結構分布的直尺側面與表面，均可看成是多套光柵的疊加，疊加的結果導致衍射光斑不再離散分布，而是連續(xù)分布形成一個圓.

為了驗證式(8)，表1給出了兩個入射角下衍射光斑半徑r與衍射屏距離為L的關系.由式(8)可得到衍射角分別為34.7°和65.2°.由表1可看出當改變不同的衍射距離L時，半圓形衍射光斑的半徑隨之改變，二者滿足式(8).

表1 衍射光斑半徑與入射角的關系

3 結論

本文理論結合實驗解釋了直尺表面、邊緣的衍射問題，研究發(fā)現(xiàn)直尺側面與拋光鋼尺表面的衍射光斑呈半圓形.光學顯微鏡觀察直尺側面與鋼尺表面存在類光柵結構.基于二值光柵衍射理論，給出了圓形衍射光斑的定性解釋.直尺表面的類光柵結構可看作是多套二值光柵的疊加，光柵衍射的疊加導致了半圓形衍射光斑的出現(xiàn).另外，對于標準的光柵，衍射光斑并不存在展寬.但直尺表面不同周期的光柵的槽深是不同的.與深槽和淺槽對應的零級衍射斑在衍射屏上的高度不同，因此深淺不一的光柵的衍射導致了衍射光斑在Z方向出現(xiàn)一定程度展寬.