歐忠文,劉俊兵，王月明

(山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原 030006)

自 2019 年底以來，COVID-19 病毒已經(jīng)對全球人民的生命健康造成了巨大的災(zāi)難和威脅，截至2021年8月3日全球被感染人數(shù)達(dá) 198 778 175 人，死亡 4 235 559 人[1].各國人民和政府采取各種措施從不同層面共同抵抗COVID-19 病毒的傳播[2-4].我們知道，通常由于咳嗽、打噴嚏、說話或者呼吸所釋放出的液滴會包含大量致病的微生物，比如細(xì)菌、病毒、真菌等.攜帶病原體的液滴能通過呼吸系統(tǒng)以氣溶膠的形式或者以握手等直接接觸的方式從一個(gè)被感染者轉(zhuǎn)移到一個(gè)健康者身上.建立數(shù)學(xué)和物理模型來解釋和預(yù)估 COVID-19 病毒的空間和時(shí)間傳播屬性也是一個(gè)研究熱點(diǎn)[5-7].在本文的研究中,我們針對不同大小的液滴采用不同的物理模型，分別用牛頓運(yùn)動方程和擴(kuò)散方程來描述液滴的運(yùn)動，計(jì)算液滴在正常呼吸、咳嗽或打噴嚏時(shí)的水平漂移距離、擴(kuò)散距離以及在空氣中的滯留時(shí)間，特別在液滴半徑非常小的時(shí)候我們對空氣黏度進(jìn)行了修正.

1 模型說明

2 豎直方向上的動力學(xué)方程

首先考慮在豎直方向上在重力和黏滯力作用下的動力學(xué)方程，其中液滴半徑為r(0.05～100 μm)，液滴的質(zhì)量為m，液滴的密度ρs=103kg/m3，空氣密度為ρg=1.29 kg/m3，當(dāng)液滴半徑非常小的時(shí)候，其量級接近空氣分子的平均自由程，故要考慮空氣黏度的修正η′=η/(1+b/pr).而當(dāng)液滴的半徑較大時(shí)有η′=η，故我們直接用η′替代η，從而使得黏度的形式不發(fā)生變化，其中空氣的黏度η=1.82×10-5Pa·s，修正系數(shù)b=6.17×10-5m·mmHg，大氣壓強(qiáng)p=760 mmHg，此時(shí)空氣對于球形液滴的黏滯力可以寫為f=6πη′rv，當(dāng)然雷諾數(shù)要滿足Re=ρgvr/η′<1[11]，在后面我們會證明空氣黏滯力的形式在大范圍內(nèi)是準(zhǔn)確的.從而我們可以寫出牛頓動力學(xué)方程:

(1)

考慮到人體通過正常呼吸或是咳嗽、打噴嚏排出的液滴在豎直方向上沒有初速度，即方程的初始條件為v(0)=0 m/s，這樣我們便可以得到豎直方向速度的含時(shí)解為

(2)

圖1 收尾速度以及達(dá)到收尾速度時(shí)的雷諾數(shù)

從上面的圖1中可以看出液滴的半徑r<50 μm時(shí)，在此范圍內(nèi)滿足雷諾數(shù)Re<1，即在此范圍內(nèi)黏滯力的形式是準(zhǔn)確的.而當(dāng)50

根據(jù)上面的結(jié)果,可以假設(shè)一個(gè)勻速運(yùn)動時(shí)間t.從人口腔排出液滴的一般高度為h=1.7 m，我們暫時(shí)忽略液滴在空氣中的向下加速過程，下面我們會證明這個(gè)假設(shè)是合理的，此時(shí)我們假設(shè)全程以收尾速度運(yùn)動，其運(yùn)動的時(shí)間t=h/vs，同時(shí)根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果知道弛豫時(shí)間τ，即到達(dá)(1-1/e)vs所需時(shí)間.圖 2給出了不同半徑下t和τ的變化趨勢圖.

圖2 不同半徑液滴的勻速運(yùn)動時(shí)間和弛豫時(shí)間

從圖 2 中可以看到弛豫時(shí)間和勻速運(yùn)動時(shí)間不在同一個(gè)量級，可以看出勻速運(yùn)動時(shí)間t>>τ，即可以忽略弛豫時(shí)間或者說是加速到收尾速度這一段時(shí)間，此時(shí)在豎直方向上液滴的運(yùn)動可以近似為一段以收尾速度做勻速運(yùn)動的過程[10].同時(shí)根據(jù)下面的表格(T是考慮到加速過程的運(yùn)動時(shí)間),可以看出當(dāng)液滴半徑很小的時(shí)候，有T=t，而在液滴半徑接近100 μm時(shí)，有T≈t.也可以看出下落時(shí)間隨液滴半徑逐漸增大而減小，且當(dāng)液滴半徑在病毒尺寸時(shí)，可以在空氣中停留長達(dá)25 天，當(dāng)然前提是病毒在空氣中的壽命可以達(dá)到這個(gè)時(shí)間.當(dāng)半徑r=1 μm時(shí)，液滴在空氣停留的時(shí)間為3.7 h，而當(dāng)半徑到了100 μm時(shí)停留時(shí)間只有1.5 s，此時(shí)液滴會在短時(shí)間內(nèi)下落到地面.

表1 不同半徑液滴各種時(shí)間的比較

3 水平方向上的動力學(xué)方程

接下來我們繼續(xù)考慮液滴在水平方向上的動力學(xué)方程，可以知道水平方向只受到黏滯力作用，且通過人體正常呼吸排出液滴的速度一般為v1=1 m/s，通過咳嗽或者打噴嚏排出的液滴速度一般大小為v2=5 m/s[10]，即可以得到水平方向的初始條件為vy(0)=v2，同時(shí)根據(jù)初始速度v2=5 m/s和液滴半徑r=100 μm，可以計(jì)算得到最大的雷諾數(shù)Re=36.當(dāng)1

(3)

(4)

(5)

根據(jù)水平速度的表達(dá)式，可以看出水平方向的速度呈指數(shù)衰減，當(dāng)t=τ時(shí)，vy=vy(0)/e ,根據(jù)前面計(jì)算可知，τ遠(yuǎn)小于運(yùn)動時(shí)間T，所以我們可以將水平運(yùn)動最遠(yuǎn)距離寫為ymax=vy(0)τ，圖 3 給出了不同速度和半徑的液滴在水平方向上運(yùn)動的最大距離.

圖3 不同半徑液滴的水平運(yùn)動最大距離

3.1 擴(kuò)散方程

(6)

(7)

(8)

圖4中的結(jié)果是在經(jīng)過沉降時(shí)間T后得到的溶度分布，其中相對溶度是指相對y=0處的溶度，可以看到對于一定半徑的液滴，其擴(kuò)散溶度會迅速減少，而隨半徑的增大，能夠擴(kuò)散到的范圍也會逐漸減少，當(dāng)r>1 μm時(shí)，可以擴(kuò)散的范圍y<2 mm，也就是說r>1 μm時(shí)擴(kuò)散效應(yīng)可以忽略，關(guān)于這一點(diǎn)前面已經(jīng)說明.當(dāng)r=0.1 μm時(shí)，擴(kuò)散范圍也可以達(dá)到6 cm，而當(dāng)半徑r=0.05 μm，即達(dá)到病毒線度時(shí)，水平方向上的擴(kuò)散范圍最大可達(dá)到17 cm，此時(shí)擴(kuò)散效應(yīng)已經(jīng)相當(dāng)明顯 , 當(dāng)然此時(shí)我們并沒有考慮到豎直方向擴(kuò)散效應(yīng)對液滴沉降時(shí)間的影響,通過后面的數(shù)值計(jì)算我們將說明這是合理的.

圖4 經(jīng)過沉降時(shí)間T水平方向液滴的擴(kuò)散分布

3.2 數(shù)值計(jì)算

從上面可以看出當(dāng)r<1 μm時(shí)，擴(kuò)散效應(yīng)已經(jīng)不能忽略，此時(shí)必須考慮在豎直方向上擴(kuò)散效應(yīng)對沉降時(shí)間的影響，而沉降時(shí)間又會影響水平擴(kuò)散分布.根據(jù)前面分析可知此區(qū)間的液滴在豎直方向會迅速達(dá)到收尾速度，即此時(shí)在豎直方向上∑Fi-γvs=0，其中Fi為外力，γ=6πη′v，而在水平方向上速度也會迅速減為零，這都是上面已有的分析結(jié)果.考慮到布朗運(yùn)動，此時(shí)我們利用朗之萬方程[15,16]:

(9)

(10)

其中初始條件為xi(0)=0和yi(0)=0，考慮到粒子運(yùn)動時(shí)間過長以及步長對BD方法模擬無影響[18,19]，故我們選擇的步長Δt=1 000 s，當(dāng)有一個(gè)微粒在豎直方向運(yùn)動的距離x=h=1.7 m時(shí)，我們便停止計(jì)算，經(jīng)過數(shù)值計(jì)算[17,18]，得到下列結(jié)果(見圖5，圖6).

圖5 經(jīng)過沉降時(shí)間T后半徑r=0.1 μm 液滴的模擬結(jié)果

圖6 經(jīng)過沉降時(shí)間T后半徑r=0.05 μm液滴的模擬結(jié)果

從圖中我們可以得r=0.1 μm時(shí)，液滴在空氣中的擴(kuò)散時(shí)間在7.7×105s左右，水平方向上有少數(shù)液滴可以擴(kuò)散到5 cm處，大部分?jǐn)U散范圍在3 cm；對于r=0.05 μm的液滴，液滴在空氣中的擴(kuò)散時(shí)間在2.0×106s左右，在水平方向上有少數(shù)液滴可以擴(kuò)散到15 cm，大部分?jǐn)U散范圍在10 cm以內(nèi).我們可以看到理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果幾乎是一致的，同時(shí)也可以得到這樣的結(jié)果，即擴(kuò)散效應(yīng)對沉降時(shí)間并無多大影響.

從圖中我們可以得r=0.1 μm時(shí)，液滴在空氣中的擴(kuò)散時(shí)間在8×105s左右，水平方向上有少數(shù)液滴可以擴(kuò)散到5 cm處，大部分?jǐn)U散范圍在3 cm；對于r=0.05 μm的液滴，液滴在空氣中的擴(kuò)散時(shí)間在2.2×106s左右，在水平方向上有少數(shù)液滴可以擴(kuò)散到15 cm，大部分?jǐn)U散范圍在10 cm以內(nèi).我們可以看到理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果幾乎是一致的，同時(shí)也可以得到這樣的結(jié)果，即擴(kuò)散效應(yīng)對沉降時(shí)間并無多大影響.

4 總結(jié)

通過上面的理論計(jì)算和數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，我們關(guān)注的半徑r范圍是0.05～100 μm，當(dāng)r>10 μm時(shí)，通過正常呼吸或者咳嗽排出的攜帶病毒液滴在空氣中停留的時(shí)間為1.5～140 s, 但是通過咳嗽和打噴嚏可以將病毒運(yùn)送到0.61 m處，而通過正常呼吸，病毒在水平方向的運(yùn)動距離為0.12 m.而對于半徑在1 μm