張紫辰， 王根會(huì)， 樊 江

(1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070； 2.甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院股份有限公司，蘭州 730070)

波形鋼腹板組合工字梁具有良好的力學(xué)性能，目前已廣泛應(yīng)用于中國(guó)、法國(guó)和日本等國(guó)家的土木工程建設(shè)之中[1-3]。與平鋼腹板橋梁相比，波形鋼腹板抗剪性能優(yōu)越，具有更高的面外剛度及較強(qiáng)的景觀美感，同時(shí)波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)也提高了預(yù)應(yīng)力施加效率，有效解決了溫度應(yīng)力和徐變等因素帶來(lái)的結(jié)構(gòu)病害[4-6]，因此波形鋼腹板組合梁是當(dāng)前土木建設(shè)的熱門(mén)之一，具有廣闊的發(fā)展前景。然而，這種組合工字梁在對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)，其翼緣板內(nèi)彎曲正應(yīng)力呈現(xiàn)不均勻分布，即存在剪力滯后現(xiàn)象，受剪力滯后和腹板褶皺效應(yīng)的影響，波形鋼腹板組合工字梁的彎曲力學(xué)性能求解較為復(fù)雜[7]。近年來(lái)，眾多學(xué)者針對(duì)其靜力特性開(kāi)展了大量研究，部分研究成果已在組合梁的設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用[8-11]。針對(duì)波形鋼腹板組合工字梁的振動(dòng)問(wèn)題也有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道[12]，但研究方向主要集中在自由振動(dòng)方面，關(guān)于這類(lèi)結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的研究較少，且既有文獻(xiàn)均未同時(shí)考慮Timoshenko剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件以及腹板褶皺效應(yīng)等多重因素對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，因而其計(jì)算具有一定的局限性。由于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率是計(jì)算其動(dòng)力特性的基礎(chǔ)[13]，而結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的破壞也主要源于強(qiáng)迫振動(dòng)，所以較為準(zhǔn)確地分析波形鋼腹板組合工字梁的振動(dòng)特性十分重要。

本文基于能量變分法和Hamilton原理，綜合考慮上述多重因素的影響，推導(dǎo)出組合工字梁的動(dòng)力學(xué)彈性控制微分方程和自然邊界條件，利用有限元分析結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性，結(jié)合數(shù)值算例詳細(xì)分析了組合工字梁的振動(dòng)特性。本文理論為該類(lèi)組合結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的精細(xì)化分析提供了新方法，對(duì)該類(lèi)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

1 組合工字梁振動(dòng)控制微分方程

1.1 組合工字梁的勢(shì)能和動(dòng)能

波形鋼腹板組合工字梁截面如圖1所示。圖1中：b1為上翼板寬度；b2為下翼板寬度；t1為上翼板混凝土厚度；t2為下翼板混凝土厚度；tw為波形鋼腹板厚度；h1和h2分別為上翼板和下翼板到形心軸的距離；y軸為組合工字梁的高度方向；x軸為組合工字梁的寬度方向。

圖1 波形鋼腹板組合工字梁Fig.1 Composite I-beam with corrugated steel webs

在對(duì)稱(chēng)彎曲狀態(tài)下設(shè)結(jié)構(gòu)的跨度為l，結(jié)構(gòu)的豎向動(dòng)撓度為w(z,t)，則剪力滯效應(yīng)引起組合梁上、下翼板的翹曲位移可表示為[14]

?1(x,y,z,t)=[α-yf1(x)]u1(z,t)

(1)

?2(x,y,z,t)=[α-yf2(x)]u2(z,t)

(2)

式中：f1(x)和f2(x)分別為組合工字梁上、下翼板不均勻分布函數(shù)，且f1(x)=cos[(πx)/(2b1)]；0≤x≤b1；f2(x)=cos[(πx)/(2b2)];0≤x≤b2；u1(z,t)和u2(z,t)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)剪力滯效應(yīng)引起的組合梁上、下翼板的縱向動(dòng)位移差函數(shù)；α為組合梁上、下翼板各自滿(mǎn)足應(yīng)力自平衡條件求得的常數(shù)之和。

則組合工字梁上、下翼板應(yīng)力分別翼板

(3)

(4)

下翼板

(5)

(6)

則組合工字梁上、下翼板變形勢(shì)能為

(7)

整理變換，V1可表示為

(8)

其中,

組合工字梁剪切應(yīng)變能為

(9)

波形鋼腹板有效剪切模量Gw為[15]

(10)

式中：L1為平板長(zhǎng)度；L2為斜板長(zhǎng)度；δ為波折角；Es為鋼材彈性模量；υs鋼材泊松比。

組合工字梁荷載勢(shì)能為

(11)

組合工字梁總勢(shì)能為

V=V1+V2+V3

(12)

結(jié)構(gòu)總動(dòng)能為

(13)

1.2 振動(dòng)微分方程及自然邊界條件

(14)

(16)

(17)

相應(yīng)的自然邊界條件為

(18)

(19)

(20)

(21)

1.3 振動(dòng)微分方程求解

根據(jù)組合工字梁的振動(dòng)特點(diǎn)，若結(jié)構(gòu)振動(dòng)圓頻率為ω，則有

q(z,t)=q0(z)sin(ωt+φ)

(22)

同時(shí)，可令

w(z,t)=W(z)sin(ωt+φ)

(23)

u1(z,t)=U1(z)sin(ωt+φ)

(24)

u2(z,t)=U2(z)sin(ωt+φ)

(25)

θ(z,t)=Ο(z)sin(ωt+φ)

(26)

式中,φ為組合工字梁強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的初始相位角。

(27)

對(duì)式(27)進(jìn)行分析可知，其特征方程的解為

r1,2=±n1,r3,4=±n2,r5,6=±n3,r7,8=±n4

根據(jù)微分方程的性質(zhì)，可得式(27)的通解為

W(z)=C1ch(n1z)+C2sh(n1z)+C3ch(n2z)+C4sh(n2z)+

式中，C1～C8為待定常數(shù)，可由相應(yīng)邊界條件求得。

由常微分方程組性質(zhì)和恒等式原理，最終可得O(z)的方程解為

(29)

同理可得U1(z)和U2(z)的方程解為

1.4 常用邊界條件

(1)簡(jiǎn)諧均布力作用下兩端簡(jiǎn)支組合工字梁邊界條件為

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支組合工字梁，若跨間r點(diǎn)作用1個(gè)簡(jiǎn)諧集中力Pr=P0sin(ωt+φ)，且集中力Pr距左右邊界距離為l1和l2，如圖2所示。則r點(diǎn)需引入的連續(xù)邊界條件為

圖2 坐標(biāo)及荷載系統(tǒng)Fig.2 Coordinate and load system

(33)

式中：U11和U12分別為工字梁縱向原點(diǎn)和簡(jiǎn)諧集中力作用點(diǎn)處上翼板最大縱向翹曲動(dòng)位移差函數(shù)；U21和U22分別為工字梁縱向原點(diǎn)和簡(jiǎn)諧集中力作用點(diǎn)處下翼板最大縱向翹曲動(dòng)位移差函數(shù)。

(2)簡(jiǎn)諧均布力作用下兩端固支組合工字梁邊界條件為

對(duì)于兩端固支組合工字梁，若跨間r點(diǎn)作用1個(gè)簡(jiǎn)諧集中力，且集中力Pr距左右邊界距離為l1和l2，則r點(diǎn)需引入的連續(xù)邊界條件同式(33)，若為多個(gè)簡(jiǎn)諧集中力，則按單個(gè)簡(jiǎn)諧集中力計(jì)算后將結(jié)果進(jìn)行疊加。

在求解組合工字梁的自振頻率時(shí)，令均布簡(jiǎn)諧力q(z,t)=0，將式(28)～式(31)或其求導(dǎo)式代入相應(yīng)的邊界條件，可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率方程，再通過(guò)MATLAB軟件求解其特征值方程，從而得到結(jié)構(gòu)的各階振動(dòng)圓頻率ωn，將組合工字梁振動(dòng)的圓頻率轉(zhuǎn)化成豎向自振頻率，計(jì)算式為

(35)

1.5 振動(dòng)方程的退化

(1)為了體現(xiàn)剪滯翹曲應(yīng)力自平衡對(duì)組合工字梁振動(dòng)特性的影響，對(duì)本文振動(dòng)方程進(jìn)行退化，得到不考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡影響的傳統(tǒng)剪力滯理論(雙翹曲動(dòng)位移差函數(shù))振動(dòng)微分方程為

(36)

(38)

(39)

相應(yīng)的自然邊界條件為

(40)

(41)

(42)

(43)

(2)為了體現(xiàn)剪力滯效應(yīng)對(duì)組合工字梁振動(dòng)特性的影響，將傳統(tǒng)剪力滯理論振動(dòng)方程進(jìn)一步退化，得到不考慮剪力滯效應(yīng)影響的Timoshenko梁理論振動(dòng)微分方程為

(44)

(45)

相應(yīng)的自然邊界條件為

(46)

(47)

對(duì)于傳統(tǒng)剪力滯理論和Timoshenko理論的振動(dòng)微分方程的求解方法同上，不再詳述。

2 算 例

如圖1所示波形鋼腹板組合工字梁，梁高1.3 m，其上、下翼板均采用C50混凝土，ρc=2 600 kg/m3，厚度t1=t2=0.15 m，上翼板寬b1=1.6 m，下翼板寬b2=0.8 m；波形鋼腹板厚度為1.8 cm，ρs=7 800 kg/m3，直板L1=6.25 cm，斜板L2=6.23 cm，波折角δ=37°，力學(xué)分析中簡(jiǎn)諧集中力幅值為9 800 N。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]的建模方法，采用ANSYS 15.0軟件建立波形鋼腹板組合工字梁有限元模型，如圖3所示，其中混凝土采用Solid65單元模擬，波形鋼腹板選用Shell63單元模擬，同時(shí)增加目標(biāo)單元TARGE170和接觸單元CONTA175，以實(shí)現(xiàn)鋼混連接部位的MPC(Multipoint Constraints)多點(diǎn)耦合接觸，這樣可對(duì)頂、底板和腹板獨(dú)立劃分網(wǎng)格，從而保證了模擬的精度。

圖3 有限元模型及局部網(wǎng)格Fig.3 Finite element model and mesh generation

根據(jù)本文推導(dǎo)公式和其他算法可計(jì)算出不同邊界條件下組合工字梁的自振頻率值，計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示，相應(yīng)剪力滯效應(yīng)和應(yīng)力自平衡貢獻(xiàn)分布如圖4和圖5所示。

從表1、表2、圖4和圖5可以看出，本文理論計(jì)算所得組合工字梁彎曲自振頻率值與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性，受剪力滯效應(yīng)的影響，組合工字梁的各階固有頻率值普遍減小，隨著頻率階數(shù)的增加，剪力滯后效應(yīng)的影響逐漸增大；與簡(jiǎn)支組合梁相比，兩端固支組合梁的頻率值受剪力滯效應(yīng)的影響更大，如l/2b1=3.75時(shí)，兩端固支梁第4階頻率的剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)達(dá)到16.438%；當(dāng)組合梁跨寬比增大時(shí)，剪力滯后效應(yīng)的影響隨之減小。翹曲應(yīng)力自平衡對(duì)組合梁自振頻率的影響規(guī)律與剪力滯效應(yīng)類(lèi)似，但應(yīng)力自平衡貢獻(xiàn)值普遍小于5%。分析可知，當(dāng)跨寬比一定時(shí)，本文剪力滯理論所得結(jié)構(gòu)自振頻率值<傳統(tǒng)剪滯理論

表1 簡(jiǎn)支組合工字梁的自振頻率Tab.1 Natural frequency of simply supported composite I-beam

表2 兩端固支組合工字梁的自振頻率Tab.2 Natural frequency of composite I-beam with fixed supports at both ends

圖4 剪力滯效應(yīng)貢獻(xiàn)分布圖Fig.4 Distribution diagram of contribution of shear lag effect

圖5 應(yīng)力自平衡貢獻(xiàn)分布圖Fig.5 Distribution diagram of balanced contribution of stress self leveling

組合工字梁跨中截面上G點(diǎn)和H點(diǎn)的坐標(biāo)位置如圖6所示，將式(28)～式(31)或其求導(dǎo)式代入式(32)、式(33)和式(34)后可以得相應(yīng)邊界條件下組合工字梁的強(qiáng)迫振動(dòng)方程，結(jié)合MATLAB編寫(xiě)計(jì)算程序求得(l/2b1=3.75)組合工字梁跨中截面兩點(diǎn)(G點(diǎn)、H點(diǎn))的動(dòng)應(yīng)力幅值如圖7和圖8所示。

從圖7和圖8可以看出，在強(qiáng)迫振動(dòng)分析中，剪力滯效應(yīng)對(duì)組合工字梁翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響很大，當(dāng)簡(jiǎn)諧集中力頻率相同時(shí)，G點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值明顯大于H點(diǎn)，即結(jié)構(gòu)跨中橫截面上各點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值呈不均勻分布，剪力滯后現(xiàn)象明顯，因而動(dòng)力分析時(shí)組合工字梁的平截面假定不再適用；與傳統(tǒng)剪滯理論相比，本文理論明顯提高了翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的計(jì)算精度，如算例中簡(jiǎn)支組合梁跨中作用簡(jiǎn)諧集中力頻率為15 Hz時(shí)，G點(diǎn)和H點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力幅值分別增大了9.21%和6.14%；兩端固支組合梁跨中作用簡(jiǎn)諧集中力頻率為28 Hz時(shí)，G點(diǎn)和H點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力幅值分別增大了10.13%和7.06%。雖然由傳統(tǒng)理論計(jì)算所得組合工字梁的基頻值與本文理論值相差較小，但G點(diǎn)和H點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值相差很大，因而在進(jìn)行波形鋼腹板組合工字梁強(qiáng)迫振動(dòng)分析時(shí)翹曲應(yīng)力自平衡是不可忽略的。

圖6 G點(diǎn)和H點(diǎn)的坐標(biāo)位置Fig.6 Coordinate position of G and H points

圖7 簡(jiǎn)支組合梁G點(diǎn)和H點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值Fig.7 Dynamic stress amplitudes at G and H points of simply supported composite beam

圖8 兩端固支組合梁G點(diǎn)和H點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值Fig.8 Dynamic stress amplitudes at G and H points of composite beams with fixed ends

3 結(jié) 論

(1)以能量變分法和Hamilton原理為基礎(chǔ)，提出一種能準(zhǔn)確分析波形鋼腹板組合工字梁彎曲振動(dòng)特性的解析法，計(jì)算結(jié)果與ANSYS有限元計(jì)算值吻合良好，且計(jì)算精度明顯提高，因而本文方法具有一定的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

(2) 忽略剪力滯效應(yīng)影響時(shí)，計(jì)算所得組合工字梁各階頻率值普遍較大，說(shuō)明剪力滯效應(yīng)降低了組合梁豎向剛度，隨著頻率階數(shù)升高，剪力滯效應(yīng)的影響增大；與簡(jiǎn)支組合梁相比，兩端固支組合梁的頻率值受剪力滯效應(yīng)的影響更大，當(dāng)組合梁跨寬比增大時(shí)，剪力滯后效應(yīng)的影響隨之減小。

(3)組合工字梁跨中橫截面上各點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值受剪力滯效應(yīng)的影響較大，動(dòng)力分析時(shí)平截面假定不再適用，雖然翹曲應(yīng)力自平衡對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率的貢獻(xiàn)值小于5%，但對(duì)翼板動(dòng)應(yīng)力幅值的影響最大可達(dá)10%以上，因而在進(jìn)行組合工字梁動(dòng)力反應(yīng)分析時(shí)不可忽略翹曲應(yīng)力自平衡的影響。