賈傳果， 潘家富， 李建廣， 馬 麗

(1. 重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045；2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045)

地震時(shí)建筑物內(nèi)高大器物的搖擺、晃動(dòng)，通常會(huì)導(dǎo)致一定的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。據(jù)統(tǒng)計(jì)調(diào)查，室內(nèi)家具帶來的災(zāi)害損失僅次于建筑倒塌，其中以柜類家具的災(zāi)害形態(tài)最為多樣[1]。柜體、冰箱等一般是靠墻壁安放在室內(nèi)地面上，與地面或墻體之間沒有可靠的連接。當(dāng)建筑遭遇地震影響時(shí)，此類家具會(huì)發(fā)生搖擺、滑移、與墻壁碰撞等運(yùn)動(dòng)[2]，甚至?xí)霈F(xiàn)傾倒現(xiàn)象。

自1963年Housner首次提出了剛體搖擺動(dòng)動(dòng)力分析方法并創(chuàng)建了搖擺剛體經(jīng)典模型后，剛體搖擺運(yùn)動(dòng)分析方法和模型得到了很大的發(fā)展與改進(jìn)[3]。近年來，國(guó)外學(xué)者對(duì)偏心單剛體碰壁、碰地等運(yùn)動(dòng)做了許多理論性研究。Pompei等[4]研究了剛體塊結(jié)構(gòu)受強(qiáng)烈水平地面激勵(lì)作用下的滑動(dòng)與搖擺響應(yīng)。Boroschek等[5]對(duì)在水平方向上有偏心的剛體塊結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特征進(jìn)行了研究。Contento等[6]研究了偏心單剛體的偏心距和安全擋塊對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。Wittich等[7]對(duì)偏心單剛體進(jìn)行了試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)水平質(zhì)量偏心對(duì)處于搖擺模式的結(jié)構(gòu)影響最大，并可能增加傾覆的風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)有研究主要是理論分析和數(shù)值模擬，試驗(yàn)研究相對(duì)較少，且未見有考慮碰壁的影響。建筑物內(nèi)家具一般是靠墻放置的，發(fā)生碰壁后，會(huì)導(dǎo)致地震能量向剛體臨空側(cè)(與臨墻側(cè)對(duì)應(yīng)的另一側(cè))積累，從而加劇剛體傾倒的危險(xiǎn)性。另外，剛體在碰地前后，運(yùn)動(dòng)方程發(fā)生改變，若未能準(zhǔn)確地判斷碰撞點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致誤差積累，以致計(jì)算精度大幅降低。隨著剛體搖擺運(yùn)動(dòng)研究的深入與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震的需要[8]，建立切合實(shí)際的剛體搖擺運(yùn)動(dòng)分析方法，提高剛體地震響應(yīng)分析的精度顯得尤為重要。

于此，本文首先利用Lagrange定理建立了偏心單剛體運(yùn)動(dòng)方程；并基于角動(dòng)量守恒進(jìn)行剛體碰撞分析，提出碰地瞬間的恢復(fù)系數(shù)公式，采用Rosenbrock方法建立了偏心單剛體搖擺運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析方法；進(jìn)行了剛體的單側(cè)碰壁試驗(yàn)，驗(yàn)證了剛體動(dòng)力分析方法的可靠性；通過數(shù)值模擬，分析了考慮碰壁影響的必要性。

1 偏心單剛體搖擺運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

在推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程的過程中，借鑒Housner的推導(dǎo)過程[9]，采用了如下假設(shè)：物體和地面均為剛體；物體與地面的接觸面摩擦力足夠大，不會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)；碰撞是非完全彈性碰撞。

本文采用拉格朗日方程推導(dǎo)出偏心單剛體的搖擺運(yùn)動(dòng)方程。偏心單剛體的計(jì)算模型如圖1所示，其中c″為矩形剛體的質(zhì)心，質(zhì)心到幾何中心c的距離為偏心距(沿X軸正方向?yàn)檎?e，e=B/2-b1。R1和R2分別為質(zhì)心到搖擺點(diǎn)O和O′的距離。假定偏心單剛體繞O點(diǎn)搖擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，搖擺角為正；相反，偏心單剛體繞點(diǎn)O′搖擺時(shí)，搖擺角為負(fù)。

圖1 偏心單剛體的計(jì)算模型Fig.1 Computational model of asymmetric rigid block

拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)非常重要的力學(xué)分析方程，它具有以下形式

(1)

式中：T為動(dòng)能；Qk為廣義力。該方程組以N個(gè)廣義坐標(biāo)，q1,q2,…，qN,作為獨(dú)立變量。如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力(保守力)，則廣義力Qk可寫成用質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式

(2)

式中，V為系統(tǒng)勢(shì)能。

假設(shè)地面運(yùn)動(dòng)位移為ug，假設(shè)剛體的搖擺角為θ。剛體質(zhì)心在水平方向上的絕對(duì)位移為u可表示為

u=ug+xc″,xc″=b1-R1sin(α1-θ)

(3)

質(zhì)心在豎直方向上的絕對(duì)位移為yc″可表示為

yc″=R1[cos(α1-θ)-cosα1]

(4)

對(duì)式(4)求導(dǎo)可得水平方向和豎直方向的絕對(duì)速度，依次求出偏心單剛體結(jié)構(gòu)的動(dòng)能T和勢(shì)能V，根據(jù)拉格朗日方程可推得偏心單剛體繞O點(diǎn)搖擺運(yùn)動(dòng)方程。

(5)

同理矩形偏心單剛體繞O′點(diǎn)的搖擺運(yùn)動(dòng)方程

(6)

2 搖擺啟動(dòng)條件分析

當(dāng)?shù)孛孢\(yùn)動(dòng)幅度較小時(shí)，結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生搖擺運(yùn)動(dòng)。為提高計(jì)算效率，需要先判斷是否發(fā)生搖擺，一旦發(fā)生搖擺則開始積分，故有必要分析剛體搖擺的啟動(dòng)條件。通過分析可得偏心單剛體發(fā)生搖擺運(yùn)動(dòng)應(yīng)該滿足兩個(gè)條件：①摩擦力足夠大，不產(chǎn)生滑動(dòng)；②外部激勵(lì)產(chǎn)生的力矩超過自重產(chǎn)生的恢復(fù)力矩。

當(dāng)矩形偏心單剛體擺動(dòng)(即θ>0)時(shí)，其自重產(chǎn)生的恢復(fù)力矩為mgRsin(a1-θ)。當(dāng)搖擺角為零時(shí)，剛體自重產(chǎn)生的恢復(fù)力矩最大為mgRsina1。隨著搖擺角增大，自重產(chǎn)生的恢復(fù)力矩減小，當(dāng)搖擺角達(dá)到臨界值(即θ=α1)時(shí)，自重產(chǎn)生的恢復(fù)力矩為零[10]。一旦搖擺角超過臨界值，剛體無法回到初始平衡位置，即產(chǎn)生傾覆。剛體搖擺時(shí)，恢復(fù)力矩和搖擺角遵循圖2所示關(guān)系，在此過程中不損失能量[11]。剛體搖擺運(yùn)動(dòng)的能量損失主要來源于摩擦耗能和單剛體與地面的碰撞耗能。

圖2 恢復(fù)力矩與搖擺角關(guān)系Fig.2 Relationship of restoring moment and rocking angle

如圖1所示，當(dāng)?shù)孛孢\(yùn)動(dòng)引起的慣性力繞O點(diǎn)的力矩超過自質(zhì)量產(chǎn)生的恢復(fù)力矩，剛體開始擺動(dòng)。由此可見，偏心單剛體繞O點(diǎn)搖擺運(yùn)動(dòng)的啟動(dòng)條件為

(7)

同理可以得到繞O′點(diǎn)的搖擺運(yùn)動(dòng)條件

(8)

對(duì)比式(7)和式(8)可以看出，偏心的矩形單剛體對(duì)不同搖擺點(diǎn)的搖擺啟動(dòng)條件不一致，以靠近質(zhì)心的角點(diǎn)為搖擺點(diǎn)的搖擺運(yùn)動(dòng)更容易被激發(fā)。

當(dāng)?shù)孛孢\(yùn)動(dòng)幅值較小時(shí)，不會(huì)激起剛體的搖擺運(yùn)動(dòng)。這樣可把地震動(dòng)時(shí)程曲線中第一次達(dá)到啟動(dòng)條件之前的部分扣除掉。另外，一般地震動(dòng)時(shí)程曲線尾部，幅值小于啟動(dòng)條件時(shí)，不會(huì)引起過大的搖擺運(yùn)動(dòng)。因此，可以把地震動(dòng)時(shí)程曲線中最后一次達(dá)到啟動(dòng)條件之后的部分扣除掉。

3 理想條件下碰撞恢復(fù)系數(shù)的確定

碰撞是剛體搖擺運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵，其特點(diǎn)是在短時(shí)間內(nèi)速度大小和方向發(fā)生瞬時(shí)變化。碰撞問題也一直是動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題[12]。碰撞問題的關(guān)鍵是碰撞恢復(fù)系數(shù)，關(guān)于碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義尚未統(tǒng)一，而常見的定義有三種：①牛頓定義法：碰撞恢復(fù)系數(shù)為碰撞后與碰撞前物體的速度之比；②沖量定義法：碰撞恢復(fù)階段與壓縮階段的沖量之比；③能量定義法：碰撞恢復(fù)階段與碰撞壓縮階段所釋放及吸收的彈性應(yīng)變能之比。本文中碰地和碰壁過程均采用牛頓定義法，及碰撞前后的速度比。根據(jù)碰撞過程假設(shè)不同，碰撞問題的解決辦法有三種：連續(xù)接觸力法、沖量動(dòng)量法、基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限元法[13]。本文采用沖量動(dòng)量法確定恢復(fù)系數(shù)[14]。

(9)

依據(jù)角動(dòng)量的柯尼希定理，碰撞前的角動(dòng)量為剛體塊對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量和剛體質(zhì)心對(duì)O′的角動(dòng)量之和。故碰撞前角動(dòng)量為

(10)

(11)

根據(jù)碰撞前后角動(dòng)量相等可得偏心單剛體繞O′點(diǎn)的碰撞恢復(fù)系數(shù)

(12)

同理可得偏心單剛體碰地后繞O點(diǎn)(即碰地時(shí)偏心單剛體的O點(diǎn)撞擊地面)的碰撞恢復(fù)系數(shù)

(13)

(14)

碰壁前角動(dòng)量為

(15)

根據(jù)碰撞前后角動(dòng)量相等可得偏心單剛體碰壁時(shí)的碰撞恢復(fù)系數(shù)

(16)

圖3 碰撞前后角動(dòng)量守恒Fig.3 Conservation of angular momentum before and after collision

4 偏心單剛體搖擺響應(yīng)數(shù)值分析

4.1 搖擺運(yùn)動(dòng)方程的求解

Rosenbrock積分方法是在隱式Runge-Kutta算法的基礎(chǔ)之上，通過采用內(nèi)嵌牛頓迭代的方式進(jìn)行顯式化，因此也被稱為線性隱式積分方法[15]。該方法既保留了Runge-Kutta算法的穩(wěn)定性，又避免了迭代，提高了計(jì)算效率。

根據(jù)本文精度和穩(wěn)定性要求，采用具有二階精度的Rosenbrock積分方法L-Stable Real-Time compatible algorithm(LRST2)算法。二階方程不便直接利用Rosenbrock的LRST2方法進(jìn)行求解，為滿足積分方法的要求，需要對(duì)原運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行降階處理。

以式(5)繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為例，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)方程的降階處理，首先把運(yùn)動(dòng)方程式(5)轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

Kθk。

利用Jacobian矩陣對(duì)方程進(jìn)行降階預(yù)處理得到最終表達(dá)式為

(19)

采用Rosenbrock方法時(shí)，將地震動(dòng)時(shí)程曲線總時(shí)間T等分為N個(gè)相等的時(shí)間步Δt，即Δt=T/N。令tk=kΔt，則yk表示在tk時(shí)刻的狀態(tài)變量值。應(yīng)用Rosenbrock方法計(jì)算在tk+1時(shí)刻的狀態(tài)變量值yk+1，則

(20)

yk+1=yk+k2,
k2=[I-γΔtJ]-1(Jyk+fk-Jγk1)Δt

(21)

Jacobian矩陣是多元方程組的一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列而成的矩陣，體現(xiàn)了一個(gè)可微分方程與給出點(diǎn)的最優(yōu)線性逼近[16]，因此，Jacobian矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在進(jìn)行積分計(jì)算的時(shí)候，只需要在每一步更新Jacobian矩陣，這樣就避免了大量的迭代過程，簡(jiǎn)化了計(jì)算。偏心單剛體其他模式的搖擺運(yùn)動(dòng)方程都可通過此方法進(jìn)行降階預(yù)處理，最后將處理后的運(yùn)動(dòng)方程采用Rosenbrock數(shù)值積分方法進(jìn)行求解。

4.2 子步-兩步法

碰撞前后速度發(fā)生變化，碰地時(shí)刻還存在運(yùn)動(dòng)方程的改變。因此為了準(zhǔn)確進(jìn)行搖擺運(yùn)動(dòng)方程求解，需要通過搖擺角來確定偏心單剛體的運(yùn)動(dòng)模式?，F(xiàn)假定碰壁為正向碰壁，即到正向搖擺角超過某一數(shù)值時(shí)，剛體與墻壁發(fā)生碰撞。

將Rosenbrock積分方法用于本文偏心單剛體搖擺運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的問題之中，可以直接對(duì)各種模式處理后的狀態(tài)方程進(jìn)行求解。為了提高碰撞點(diǎn)的判別精度，本文提出了“子步-兩步法”。其原理為在判斷可能發(fā)生碰撞的積分步長(zhǎng)內(nèi)，插入一定數(shù)量的子步，以更小積分步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)再次判別到碰撞點(diǎn)時(shí)，再采用“兩步法”(積分步示意圖如圖4所示)。下面以偏心單剛體與地面碰撞為例，介紹其計(jì)算過程(如圖5所示)。假設(shè)在點(diǎn)A～點(diǎn)B之間發(fā)生了碰撞(搖擺角符號(hào)發(fā)生改變)，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)插入一定數(shù)量的子步(示意圖中只插入了四個(gè)子步)。在以子步步長(zhǎng)計(jì)算的過程中假設(shè)在點(diǎn)C和點(diǎn)D之間發(fā)生了搖擺角符號(hào)改變，此時(shí)假定點(diǎn)C和點(diǎn)D之間搖擺角線性變化，可得到理想碰撞點(diǎn)E。兩步中第一步的積分步長(zhǎng)為ωt，第二步的積分步長(zhǎng)δt-ωt。在C點(diǎn)和D點(diǎn)之間采用“兩步法”(如圖6所示)，更加準(zhǔn)確地識(shí)別碰撞點(diǎn)。

圖4 子步-兩步法積分示意圖Fig.4 Sub-step-two-step integration diagram

圖5 子步1兩步法Fig.5 Sub-step-two-step method

圖6 兩步法Fig.6 Two-step method

4.3 計(jì)算程序與正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證計(jì)算程序的正確性，本文的計(jì)算模型選取的是文獻(xiàn)[17]的模型。該文獻(xiàn)中采用的剛體塊模型高4 m，寬2 m，質(zhì)量為124.8 t，碰撞恢復(fù)系數(shù)取為0.8。地面激勵(lì)采用1976發(fā)生在意大利的Friuli地震，加速度峰值為1.0g，時(shí)間間隔為0.005 s，前12 s的加速度時(shí)程曲線如圖7所示。文獻(xiàn)采用的求解搖擺運(yùn)動(dòng)方程方法為Runge-Kutta積分方法，最大的步長(zhǎng)為0.001 s。本小節(jié)對(duì)同樣的模型采用基于Rosenbrock積分方法的“子步-兩步法”方法進(jìn)行計(jì)算，考慮到在原文獻(xiàn)中積分采用的最大步長(zhǎng)為0.001 s，是五分之一的原始地震動(dòng)時(shí)間間隔，所以在“子步-兩步法”將子步數(shù)ss=5。通過兩種方法計(jì)算得到的搖擺角時(shí)程曲線對(duì)比來驗(yàn)證所本文編寫的MATLAB程序的正確性，其計(jì)算過程循環(huán)示意圖如圖8所示。循環(huán)每一步都包含碰地判斷和碰壁判斷兩個(gè)判斷條件。這兩個(gè)判斷條件互不影響，因?yàn)榕龅睾团霰诓粫?huì)同時(shí)發(fā)生。

圖7 Friuli地震波加速度時(shí)程曲線Fig.7 Acceleration time history curve of Friuli earthquake

圖8 主循環(huán)流程圖Fig.8 Main loop flow chart

圖9顯示了參考文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果與本文“子步-兩步法”的計(jì)算結(jié)果。對(duì)比“子步-兩步”法和參考文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果可以看出，兩條曲線吻合度非常高，趨勢(shì)一致，只在后期存在一些細(xì)微差別。由此可知，Rosenbrock積分算法具有較好的精度和穩(wěn)定性，且“子步-兩步法”可以提高計(jì)算的精度。

圖9 搖擺角計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of calculation results

5 理論計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

試驗(yàn)采用儀器為小型地震振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)(WS-Z30-50)和Vic-2D非觸式動(dòng)力響應(yīng)采集系統(tǒng)。試件參數(shù)見表1。

表1 試驗(yàn)試件的參數(shù)Tab.1 The parameters of experimental specimens

為了滿足碰壁試驗(yàn)的剛度要求，采用兩塊厚5 mm鋼板焊接為L(zhǎng)型。用四根20 mm×20 mm(厚2 mm)的鋁合金方管組成框架作為墻壁的支撐結(jié)構(gòu)。試驗(yàn)試件設(shè)計(jì)如圖10(其中(a)為正視圖，(b)為俯視圖)和圖11所示。

圖10 試驗(yàn)試件設(shè)計(jì) (cm)Fig.10 Dimension of specimens (cm)

圖11 試件配置圖Fig.11 The photos of specimens

進(jìn)行振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)前，為方便試驗(yàn)進(jìn)行，對(duì)試驗(yàn)所有的地震動(dòng)進(jìn)行命名，采用太平洋地震研究中心強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中的NGA序號(hào)命名，如“NGA1493”代表前場(chǎng)效應(yīng)TCU053EW臺(tái)站的地震動(dòng)。通過自由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得了實(shí)際的碰地恢復(fù)系數(shù)0.901，較理論計(jì)算結(jié)果0.873偏大。碰壁恢復(fù)系數(shù)統(tǒng)一取理論推導(dǎo)值1.0。將采用MATLAB編制計(jì)算程序，計(jì)算結(jié)果如圖12和圖13所示。從圖中可以看出無論是在碰壁還是不碰壁的情況下兩次試驗(yàn)曲線幾乎重合，充分證明了試驗(yàn)試件設(shè)計(jì)的合理性以及偏心單剛體振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)的可重復(fù)性。數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比，總體走勢(shì)相近，較試驗(yàn)結(jié)果偏大。導(dǎo)致偏差的原因?yàn)椋簲?shù)值模擬時(shí)假設(shè)剛體作單軸向搖擺運(yùn)動(dòng)，實(shí)際試驗(yàn)過程中不可避免會(huì)發(fā)生微小的滑移、扭轉(zhuǎn)等現(xiàn)象，導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果較模擬結(jié)果偏小?？紤]碰壁影響時(shí)，碰撞過程更為復(fù)雜，不確定性增加，計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的偏差略大。此外，模擬所得的時(shí)程曲線，與試驗(yàn)結(jié)果相比，有相位差。這主要是由于剛體與地面接觸面不平整，導(dǎo)致試件搖擺運(yùn)動(dòng)更早被激發(fā)。表2給出了偏心單剛體在地震動(dòng)作用下試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的搖擺角峰值絕對(duì)值的對(duì)比結(jié)果。本模擬試驗(yàn)結(jié)果相比實(shí)際結(jié)果而言偏大，主要是因?yàn)樵囼?yàn)中考慮的是最不利的情況下的試驗(yàn)結(jié)果。

圖12 NGA1493地震動(dòng)作用下單剛體搖擺角時(shí)程曲線Fig.12 The rocking angle curve of single rigid block under the NGA1493 wave

圖13 NGA1504地震動(dòng)作用下單剛體搖擺角時(shí)程曲線Fig.13 The rocking angle curve of single rigid block under the NGA1504 wave

表2 試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的搖擺角峰值對(duì)比Tab.2 The comparison of the peak rotation angle value between the test and the theory

6 偏心單剛體結(jié)構(gòu)搖擺動(dòng)力響應(yīng)影響因素分析

為了研究偏心單剛體搖擺動(dòng)力響應(yīng)影響因素，參考已有研究選取常用的恒溫箱作為計(jì)算模型[18]，其尺寸參數(shù)見表3。通過設(shè)定偏心單剛體塊距離墻壁的距離，選定地震動(dòng)作用NGA1494、NGA1515、NGA1531進(jìn)行數(shù)值模擬，以偏心單剛體結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)作用下的搖擺角峰值為指標(biāo)來研究碰壁對(duì)剛體搖擺響應(yīng)的影響，計(jì)算結(jié)果如圖14和圖15所示。

表3 模型參數(shù)Tab.3 Geometric and physical characteristics of the model

圖14 對(duì)稱剛體碰壁搖擺角與距壁距離的關(guān)系Fig.14 The relationship between rocking angle and distance from wall of a symmetric rigid body

圖15 偏心單剛體搖擺角峰值與距壁距離的關(guān)系Fig.15 The relationship between rocking angle and distance from wall of an asymmetric rigid body

從圖14和圖15可以看出，由于碰壁的影響，使搖擺角峰值(絕對(duì)值)與無碰壁影響有明顯不同，在部分工況下?lián)u擺角峰值明顯提高，甚至出現(xiàn)了傾倒現(xiàn)象。這主要是當(dāng)偏心單剛體正向搖擺碰撞墻壁瞬間，搖擺角速度方向發(fā)生變化，會(huì)導(dǎo)致地震能量向剛體臨空側(cè)積累，從而加劇剛體向臨空側(cè)傾倒的危險(xiǎn)性。此外，有部分工況搖擺角峰值比不碰壁大幅降低，其原因主要在于碰壁過程伴隨著能量損失，使剛體搖擺響應(yīng)降低。

7 結(jié) 論

以考慮側(cè)壁影響的偏心單剛體地震響應(yīng)為研究對(duì)象，通過對(duì)偏心單剛體的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)、動(dòng)力響應(yīng)分析及單側(cè)碰壁試驗(yàn)的研究，得出以下主要結(jié)論：

(1) 采用Rosenbrock方法建立了偏心單剛體搖擺地震響應(yīng)分析方法，并提出采用“子步-兩步法”將碰撞前后的積分步長(zhǎng)進(jìn)行細(xì)分，與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該方法具有穩(wěn)定性強(qiáng)、精度高的優(yōu)點(diǎn)。

(2) 在有些情況下，考慮剛體塊結(jié)構(gòu)碰壁會(huì)增加其搖擺響應(yīng)，增大了傾覆的可能性。因此，研究家具類器物地震影響時(shí)，有必要考慮碰壁的不利影響。