朱建玉

（江蘇省啟東市圩角小學(xué)）

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，乘法分配律是算術(shù)運(yùn)算性質(zhì)方面的重要內(nèi)容，它聯(lián)系了乘和加兩種算術(shù)運(yùn)算，貫穿了四則運(yùn)算教學(xué)的全過程，可用于簡(jiǎn)算，而且與中學(xué)的因式分解內(nèi)容聯(lián)系緊密。乘法分配律內(nèi)涵豐富，其表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c，左邊有兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)（一個(gè)加號(hào)、一個(gè)乘號(hào)）和三個(gè)數(shù)，右邊運(yùn)算符號(hào)（兩個(gè)乘號(hào)、一個(gè)加號(hào)）及數(shù)的個(gè)數(shù)（四個(gè)數(shù)），都發(fā)生了變化。如果重外形記憶，輕本質(zhì)理解，那么學(xué)生受舊知的影響（如加法交換律、結(jié)合律以及乘法交換律、結(jié)合律，等式兩邊運(yùn)算符號(hào)個(gè)數(shù)和數(shù)的種類與個(gè)數(shù)都是一致的），容易產(chǎn)生思維定勢(shì)。應(yīng)用時(shí)學(xué)生出錯(cuò)的現(xiàn)象特別多，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的等式：a×（b+c）=a×b+c。教師往往花費(fèi)大量的精力“糾錯(cuò)”，但收效甚微。要解決這樣的問題，教師就應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，探索小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略，厘清算法背后的算理，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、“形”“質(zhì)”并舉，關(guān)聯(lián)建構(gòu)

如何把人們?cè)诜e累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)中歸納總結(jié)出來的靜態(tài)結(jié)果變?yōu)閯?dòng)態(tài)表達(dá)？如何從本質(zhì)上理解乘法分配律的內(nèi)容是什么、為什么是這樣的？我嘗試將代數(shù)關(guān)系a×c+b×c=（a+b）×c巧妙地融合在兩個(gè)矩形之間的面積關(guān)系之中，從“同數(shù)連加”的角度，借助乘法的意義、結(jié)合律、交換律得到分配律的表達(dá)式，在理解“分”與“配”的過程中，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的內(nèi)在邏輯推理。從單一的運(yùn)算走向多維的運(yùn)算，在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握分配律的“形”，更要理解形背后的“質(zhì)”，“形”“質(zhì)”并舉，關(guān)聯(lián)建構(gòu)。

先出示“貼瓷磚”主題圖：

提出問題：兩面墻上一共貼了多少塊瓷磚？

學(xué)生列出等式（4+6）×9=4×9+6×9。

師：兩個(gè)不同的算式，結(jié)果卻相等，你知道其中的奧秘嗎？結(jié)合圖形說說你的想法。

課件展示圖形的動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生根據(jù)圖形作出解釋。

生：這兩個(gè)算式的結(jié)果之所以相等，是因?yàn)檫@兩個(gè)算式一個(gè)是把4列和6列合起來算，另一個(gè)是把4列和6列分開算。

生：我來補(bǔ)充，豎著看，一列有9塊瓷磚，（4+6）×9先算4加6，共10列，（4+6）×9表示10個(gè)9相加。4×9+6×9是4個(gè)9加6個(gè)9，即4×9+6×9=9+9+9+9+9+9+9+9+9+9，也是10個(gè)9相加，所以結(jié)果相等。

師：你們都是這樣豎著觀察的嗎（邊說邊用手圈出一個(gè)9）？如果橫著觀察，是否也能解釋兩個(gè)算式之間必然存在著相等關(guān)系？

生：如果橫著觀察，一行有1個(gè)4和1個(gè)6相配，9行是9個(gè)4和6的和，（4+6）×9是9個(gè)（4+6）。4×9+6×9是9個(gè)4加9個(gè)6，結(jié)果相等。

師：看來不管是豎著觀察，還是橫著觀察，用乘法的意義都能解釋為什么這兩個(gè)式子存在相等關(guān)系。

師：那上圖中這個(gè)大長方形除了可以分成長9寬4和長9寬6的兩個(gè)長方形外，還有其他的分拆方法嗎？換一種拆分的方法，是否也存在等式？自己動(dòng)手分一分，寫出相應(yīng)的等式。

生：我們是豎分的，又得到了四種分法，等式分別是（1+9）×9=1×9+9×9；（2+8）×9=2×9+8×9；（3+7）×9=3×9+7×9；（5+5）×9=5×9+5×9。

生：我們是橫分的，得到四種不同分法，等式分別是（1+8）×10=1×10+8×10；（2+7）×10=2×10+7×10；（3+6）×10=3×10+6×10；（4+5）×10=4×10+5×10。

師：觀察我們所寫的這些等式的特征，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這些算式都可以合起來算，也可以分開算。

生：等號(hào)兩邊的算式運(yùn)算順序不同，但結(jié)果相等。

生：無論是合起來還是分開算，得數(shù)都一樣。

生：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，可以用兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。

生：可以用字母表達(dá)（a+b）×c=a×c+b×c。

師：你們把這些等式的共同特征都用字母表達(dá)出來了。大家發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律是偶然的巧合還是必然的規(guī)律？

生：假設(shè)把墻面瓷磚分成a列和b列，每列c塊瓷磚，兩個(gè)式子都表示一共的塊數(shù)，所以相等。

生：左邊表示（a+b）個(gè)c，而右邊是a個(gè)c加b個(gè)c，也是（a+b）個(gè)c，因此是相等的。

師：誰聽明白了他要表達(dá)的意思？

生：我聽明白了。這樣的規(guī)律是一定存在的，我們可以借助剛才的長方形圖來解釋，兩個(gè)小長方形的長分別是a、b，寬是c，那么大長方形的面積可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c來表示，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

師：真了不起，大家發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的運(yùn)算定律——“乘法分配律”。

這樣的教學(xué)不僅讓學(xué)生掌握乘法分配律的“形”的特點(diǎn)，還讓學(xué)生知道左右兩邊為什么相等，怎樣轉(zhuǎn)化，從而掌握乘法分配律的內(nèi)在的“質(zhì)”，在頭腦中建立意義上的聯(lián)系，做到有效建構(gòu)，為正確使用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、變式訓(xùn)練，整體融通

四年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生就已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)領(lǐng)域的乘法分配律，在開始學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)領(lǐng)域中的乘法分配律時(shí)，教材僅用了一個(gè)例題、一句“整數(shù)加法、乘法的運(yùn)算律，對(duì)小數(shù)加法、乘法同樣適用”作為具體內(nèi)容。學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，僅憑這種簡(jiǎn)單的語言和個(gè)別案例進(jìn)行過渡的方式，學(xué)生很難實(shí)現(xiàn)思維從整數(shù)到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的遷移。如何幫助學(xué)生整體建構(gòu)乘法分配律，讓規(guī)律在不同的數(shù)領(lǐng)域靈活運(yùn)用，是亟待解決的問題。

心理學(xué)研究表明，前面學(xué)過的知識(shí)會(huì)影響后面學(xué)習(xí)的知識(shí)，產(chǎn)生前攝抑制；后面學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)以前學(xué)過的舊知也會(huì)出現(xiàn)倒干擾或者倒排斥，從而產(chǎn)生倒攝抑制。到了乘法分配律的推廣階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和所有的運(yùn)算律及其運(yùn)用，前攝抑制和倒攝抑制嚴(yán)重影響了學(xué)生合理、靈活地進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算。所以教師應(yīng)充分考慮到這一點(diǎn)，要設(shè)計(jì)一些有針對(duì)性的辨錯(cuò)訓(xùn)練，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)。

如5．4×0．9+0．1和5．4×（0．9+0．1）這兩道題可幫助學(xué)生辨清：不能看到0．9和0．1能配成1就不顧運(yùn)算順序，盲目配成1。前面一題根本不符合使用乘法分配律的條件，并非所有的題都可以簡(jiǎn)便運(yùn)算。125×4×25×8和125×8+25×4這兩道題可幫助學(xué)生辨清什么時(shí)候應(yīng)用乘法結(jié)合律，什么時(shí)候應(yīng)用乘法分配律。這兩道題可幫助學(xué)生辨清什么時(shí)候可以直接把除法轉(zhuǎn)化成乘法，不能一看到除號(hào)，就想直接轉(zhuǎn)化成乘法。1．25×8÷1．25×8和1．25×8÷（1．25×8）這兩道題則可幫助學(xué)生辨清除法性質(zhì)的應(yīng)用。

在辨錯(cuò)訓(xùn)練時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，通過探索、求異的思維活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步理解運(yùn)算律的真正含義，從而掌握簡(jiǎn)便運(yùn)算的精髓。

三、保持敏感，洞察奧秘

教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法分配律并且經(jīng)常應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練背出字母表達(dá)式之后，我發(fā)現(xiàn)并非每個(gè)學(xué)生都真正理解了乘法分配律。學(xué)生之所以在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，究其根本原因就是對(duì)乘法分配律的理解并不透徹。

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)算式認(rèn)真觀察的能力，提高對(duì)算式中一些數(shù)據(jù)的敏感性，區(qū)分一些易混淆的題目是提高學(xué)生簡(jiǎn)便運(yùn)算能力的關(guān)鍵。所以，教師要有意識(shí)地幫助學(xué)生洞察算式的奧秘，使學(xué)生能靈活應(yīng)用定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。我們要力爭(zhēng)使學(xué)生在此過程中體會(huì)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的價(jià)值，把簡(jiǎn)便運(yùn)算當(dāng)做是自發(fā)需求，在此過程中碰撞出創(chuàng)造性思維的火花。

首先，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)熟練轉(zhuǎn)化。整數(shù)運(yùn)算律推廣到小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算后，往往有學(xué)生一看見一道題目中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)或者百分?jǐn)?shù)，就眼花繚亂。這就要求學(xué)生熟練掌握分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化。一些常用的數(shù)據(jù)更須熟記于心。例如，等。

其次，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)巧妙拆數(shù)。在簡(jiǎn)便運(yùn)算中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)拆數(shù)錯(cuò)誤，因此在推廣時(shí)對(duì)拆數(shù)的原則一定要進(jìn)行復(fù)習(xí)。拆數(shù)一般使用加減乘法，運(yùn)用加減法拆數(shù)一般應(yīng)用乘法分配律，運(yùn)用乘法拆數(shù)一般應(yīng)用乘法結(jié)合律。拆數(shù)原則是拆數(shù)前后一定要保持相等，一般把一個(gè)約等于1或約等于整十整百的數(shù)拆成1、10、100加上或減去零頭數(shù)。例如，10．1拆成10+0．1；999拆成1000-1，等等。

最后，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“一眼看穿”。125和8、25和4是非常特殊的兩組數(shù)，遇上了要特別注意（當(dāng)然0．125和0．8、2．5和0．04之類也同樣）。只要題目中有能配成整十、整百、整千數(shù)的，小數(shù)能配成1或其它一些整數(shù)的，分?jǐn)?shù)遇到同分母分?jǐn)?shù)加減的或者除法改寫成乘法后能約分的，都要引起高度重視，這往往就是解此類題的關(guān)鍵所在。

這些專項(xiàng)訓(xùn)練對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維和逆向思維相當(dāng)有益，能使學(xué)生全方位、多角度地思考問題。同時(shí)，這些專項(xiàng)訓(xùn)練也是提高數(shù)學(xué)練習(xí)效率的有效途徑。只要教師充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并尋找解題突破口的方法，及時(shí)歸納題目的共性和異性，學(xué)生解題時(shí)就能融會(huì)貫通，觸類旁通。

教師應(yīng)該充分把握知識(shí)的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引導(dǎo)、智慧啟迪和思維點(diǎn)撥，使學(xué)生不僅能正確、熟練地計(jì)算，還能根據(jù)題目條件尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑去解決問題。