□陳巨峰 倪乃忠

“認(rèn)識(shí)乘法要從數(shù)數(shù)開(kāi)始”可以很好地體現(xiàn)乘法含義的形成過(guò)程。在本課教學(xué)中，教師可讓學(xué)生結(jié)合圖式、連加算式等進(jìn)行群數(shù)，表示數(shù)的結(jié)果“幾個(gè)幾相加”，并在此基礎(chǔ)上凸顯用乘法表示的必要性?！白鴺?biāo)模型①乘法在集合語(yǔ)言下的定義：自然數(shù)a乘自然數(shù)b得到乘積a×b，是指a所代表的集合A，與b所代表的集合B所形成的笛卡爾積的基數(shù)（張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等，《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》，高等教育出版社，2010年版，第27頁(yè)）。這個(gè)定義是建立在直角坐標(biāo)基礎(chǔ)上的，所以筆者把它稱為“坐標(biāo)模型”下的乘法含義，也可以稱為“點(diǎn)陣模型”下的乘法含義?！笔且粋€(gè)融合了乘法算式兩種不同含義的直觀模型。教師可提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)特征。同時(shí)，結(jié)合具體的圖式，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從一般含義延伸到特殊含義，完善對(duì)乘法的認(rèn)知。

一、分層體驗(yàn)，感受乘法產(chǎn)生的背景

通過(guò)“看情境圖→畫(huà)示意圖→找數(shù)據(jù)信息→數(shù)數(shù)”等流程，讓學(xué)生在概括出乘法含義之前，可以積累豐富的有層次的素材。

（一）逐步遞進(jìn)，列加法算式

找到“幾個(gè)幾相加”中“幾個(gè)”和“幾”對(duì)應(yīng)的量，數(shù)出“幾個(gè)”和“幾”，對(duì)后續(xù)乘法模型的建立有很好的鋪墊作用。

教師出示人教版教材二年級(jí)上冊(cè)第47 頁(yè)例1中的“小飛機(jī)”主題圖，請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行以下操作。

1.數(shù)一數(shù)，明確每份中有“幾”。讓學(xué)生數(shù)一數(shù)每架小飛機(jī)里坐著幾個(gè)人，數(shù)出每一個(gè)“3”，從而明確每個(gè)“幾”。

2.圈一圈，圈出“有幾個(gè)幾相加”。學(xué)生在這一主題圖中找到兩條數(shù)學(xué)信息：每架小飛機(jī)坐3 人；有5架小飛機(jī)。教師讓學(xué)生根據(jù)這兩條數(shù)學(xué)信息，在圖中一邊圈一邊數(shù)，數(shù)出“5”和“3”這兩個(gè)數(shù)。

3.畫(huà)一畫(huà)，畫(huà)出“有幾個(gè)幾相加”。用小圓圈代表每一個(gè)坐在小飛機(jī)里的小朋友，把具體情境符號(hào)化，這是將具體情境抽象為數(shù)學(xué)表征的重要步驟。學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，數(shù)一數(shù)，數(shù)出圖中有5個(gè)3。

4.加一加，寫(xiě)出“幾個(gè)幾”。用“3”表示一個(gè)整體，將具體形象的表達(dá)方式轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)的整體表達(dá)，進(jìn)一步過(guò)渡到5 個(gè)3 相加——寫(xiě)出連加算式，并在加法算式下標(biāo)注出“5個(gè)3”（如圖1）。

圖1

通過(guò)在不同形式下反復(fù)地“幾個(gè)幾個(gè)”數(shù)數(shù)，可幫助學(xué)生建立連加與“數(shù)數(shù)”的聯(lián)系，從而積累更多的感性認(rèn)識(shí)。

（二）變換情境，豐富連加例子

利用數(shù)數(shù)與連加表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)，用以上四個(gè)步驟表示教材例1 中“小火車(chē)”和“過(guò)山車(chē)”主題圖中一共的人數(shù)（如圖2）。

圖2

誠(chéng)然，對(duì)于課前已經(jīng)有了乘法認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生而言，依據(jù)圖式可以直接列出乘法算式，但他們并不一定理解其與加法的關(guān)系。因此，筆者有意識(shí)地“回避”乘法的表達(dá)，采用示意圖、連加與說(shuō)清楚圖中“有幾個(gè)幾相加”等方式記錄“數(shù)數(shù)”的過(guò)程，并且不計(jì)算出“數(shù)數(shù)”的結(jié)果。

（三）比較概括，提煉共同特征

相同加數(shù)連加，加數(shù)可以與實(shí)物或圖式在數(shù)量上實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)，這是學(xué)生在經(jīng)歷了“數(shù)一數(shù)”“圈一圈”“畫(huà)一畫(huà)”“加一加”這四個(gè)層層遞進(jìn)的活動(dòng)后積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察以上三個(gè)題目的相同點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它們都是通過(guò)“數(shù)一數(shù)”，得到“有幾個(gè)幾相加”。相同加數(shù)連加只是一種一一對(duì)應(yīng)的群數(shù)表述。

以上過(guò)程，通過(guò)讓學(xué)生結(jié)合具體材料，在不同形式的表征（實(shí)物、示意圖、相同加數(shù)連加算式）下進(jìn)行群數(shù)，得到“幾個(gè)幾”，為乘法含義的認(rèn)識(shí)與乘法表達(dá)形式的構(gòu)建做足了準(zhǔn)備。

二、適時(shí)提煉，體會(huì)乘法含義的表達(dá)

將一種表征形式轉(zhuǎn)化為另一種表征形式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)過(guò)程。教師要讓學(xué)生體會(huì)到用連加表征“有幾個(gè)幾相加”轉(zhuǎn)化為用乘法表征“有幾個(gè)幾相加”的必要性，并經(jīng)歷這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而更深刻地理解乘法的含義。

（一）延伸比較，認(rèn)識(shí)連加缺點(diǎn)

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)感受到用加法表示“有幾個(gè)幾相加”時(shí)，加數(shù)的個(gè)數(shù)有多有少，并且在列加法算式時(shí)需要重新數(shù)出加數(shù)的個(gè)數(shù)。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步延伸“小火車(chē)”問(wèn)題，即如果有10節(jié)車(chē)廂，那么用加法表示要寫(xiě)幾個(gè)6？如果有100節(jié)車(chē)廂，要寫(xiě)幾個(gè)6？在表示10 個(gè)6 相加時(shí)，教師按加法算式進(jìn)行板書(shū)，而在表示100個(gè)6時(shí)，教師只板書(shū)“100 個(gè)6 相加”，不板書(shū)加法算式，并提問(wèn)：為什么老師不寫(xiě)加法算式？學(xué)生自然而然地指出是因?yàn)榧訑?shù)個(gè)數(shù)太多了。

通過(guò)不斷地增加加數(shù)的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)太多時(shí)，相同加數(shù)連加越來(lái)越具有局限性，由此產(chǎn)生運(yùn)用乘法的必要性。

（二）溝通求聯(lián)，形成乘法表達(dá)

教師依據(jù)學(xué)習(xí)材料，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考問(wèn)題：這些加法算式有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？都表示什么？前一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以直接回答，共同點(diǎn)是每個(gè)算式里面的加數(shù)相同，不同點(diǎn)是個(gè)數(shù)不一定相同。后一個(gè)問(wèn)題是對(duì)相同點(diǎn)與不同點(diǎn)的進(jìn)一步提煉，都表示“幾個(gè)幾相加”。

順著學(xué)生的思路，教師在“小飛機(jī)”主題圖中的“5 個(gè)3”下面寫(xiě)上乘法算式，并指導(dǎo)學(xué)生先讀一讀這兩個(gè)算式，再自己寫(xiě)一寫(xiě)，依據(jù)乘法的含義標(biāo)上箭頭（如圖3）。模仿同樣的過(guò)程，讓學(xué)生在其他“幾個(gè)幾相加”的下面添上相應(yīng)的乘法算式。

圖3

在以上教學(xué)過(guò)程中，教師充分照顧零起點(diǎn)學(xué)生的學(xué)習(xí)思路。同時(shí)也讓已經(jīng)有了乘法認(rèn)識(shí)的學(xué)生能夠完整扎實(shí)地經(jīng)歷“相同加數(shù)連加”到“幾個(gè)幾相加”再到“幾乘幾”的過(guò)程，感受到乘法是對(duì)“幾個(gè)幾相加”的符號(hào)化表達(dá)。

（三）對(duì)比整理，豐富乘法含義

通過(guò)以上學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到可以用一個(gè)連加算式概括出“有幾個(gè)幾相加”，也可以用兩個(gè)乘法算式表示“幾個(gè)幾相加”。在此基礎(chǔ)上，教師出示新的情境，讓學(xué)生結(jié)合具體的情境圖，來(lái)理解一個(gè)乘法算式可以有兩個(gè)不同的加法算式，即兩種不同的含義。

教師出示教材第48頁(yè)例2的氣球圖，請(qǐng)學(xué)生按照“畫(huà)一畫(huà)”“加一加”“數(shù)一數(shù)”“寫(xiě)一寫(xiě)”這四個(gè)步驟經(jīng)歷乘法算式形成的過(guò)程（如圖4）。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生與前面學(xué)習(xí)的“小飛機(jī)”圖進(jìn)行比較，說(shuō)一說(shuō)有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

圖4

學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，雖然寫(xiě)出的乘法算式是相同的，但它們的含義是不同的。教師進(jìn)一步概括，像這樣的乘法算式（兩個(gè)乘數(shù)不同），可以對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的加法算式，也就是說(shuō)有兩種不同的含義，如“5×3”既可以表示“5個(gè)3相加”，也可以表示“3個(gè)5相加”，需要依據(jù)實(shí)際情境做出判斷。教師請(qǐng)學(xué)生選擇上一個(gè)環(huán)節(jié)中概括的乘法算式，表述出另外一種意思，用連加算式與圖式分別表示。

概括乘法算式時(shí)，不是直接從“相同加數(shù)連加”的算式概括，而是從“幾個(gè)幾相加”概括，并且只關(guān)注這一種表征形式，不要求計(jì)算出結(jié)果。從而讓學(xué)生更好地感受到乘法是“幾個(gè)幾相加”的一種符號(hào)化記錄，為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)乘法做鋪墊。

三、逐步變式，完善對(duì)乘法含義的認(rèn)識(shí)

通過(guò)以上環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生充分認(rèn)識(shí)了“相同加數(shù)連加”可以概括成“幾個(gè)幾相加”，而“幾個(gè)幾相加”又可以用乘法算式進(jìn)行表達(dá)。“幾個(gè)幾相加”寫(xiě)成乘法算式時(shí)有兩種形式，而一個(gè)乘法算式又有兩種“幾個(gè)幾相加”，也就是說(shuō)可以寫(xiě)成兩種不同的加法算式。當(dāng)然，這些都是在一般情況下發(fā)生的，還有一些特殊的情況。對(duì)特殊情況進(jìn)行認(rèn)識(shí)，可以進(jìn)一步完善對(duì)乘法含義的理解。

（一）回溯辨析，深刻認(rèn)識(shí)含義

教師將前面的氣球圖改為題組（如圖5），先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后反饋或提出問(wèn)題。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，氣球數(shù)在5個(gè)5個(gè)地減少，到了最右邊這張圖只有“1 個(gè)5”，學(xué)生能夠列出乘法算式“5×1”或“1×5”，但在填寫(xiě)加法算式時(shí)出現(xiàn)了分歧，一部分學(xué)生認(rèn)為是“1+1+1+1+1”，另一部分學(xué)生認(rèn)為這不對(duì)，因?yàn)檫@個(gè)加法算式表示的是“5 個(gè)1”，所以沒(méi)有加法算式。

圖5

通過(guò)辨析，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，乘法算式表示“幾個(gè)幾相加”，只“1個(gè)5”時(shí)，也可以用“1×5”表示。

（二）觀察延伸，體會(huì)自乘模型

以“3個(gè)5”的氣球圖為基礎(chǔ)，再增加兩組，成為“5個(gè)5”（如圖6）。依據(jù)之前的思路與格式填寫(xiě)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法算式只能夠填一個(gè)。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將本算式與其他可以寫(xiě)兩個(gè)乘法算式的題目進(jìn)行比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)加數(shù)與加數(shù)的個(gè)數(shù)相同。

圖6

教師進(jìn)一步寫(xiě)出乘法算式4×4、3×3、2×2和1×1，請(qǐng)學(xué)生先說(shuō)一說(shuō)它們的意思，接著獨(dú)立畫(huà)出圖式表示它們的意思，完成后進(jìn)行交流。

通過(guò)上述過(guò)程，學(xué)生完善了對(duì)乘法含義的認(rèn)識(shí)，理解了圖式、加法算式與乘法算式相互對(duì)應(yīng)的一般性與特殊性。

（三）圖式重構(gòu)，感知“坐標(biāo)模型”

教師出示圖7，提出問(wèn)題：圖中一共有多少個(gè)小圓？要求學(xué)生先有規(guī)律地圈一圈、數(shù)一數(shù)，然后列出加法算式與乘法算式。學(xué)生按要求獨(dú)立完成后全班交流。學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)圖式有兩種意思，按照“每行4 個(gè)，有3 行”列出的加法算式是“4+4+4”，而按照“每列3個(gè)，有4列”列出的加法算式是“3+3+3+3”。同時(shí)，這兩個(gè)加法算式，用乘法列出的算式又是相同的，即“4×3”或“3×4”。

圖7

教師進(jìn)一步出示格子圖（如圖8），請(qǐng)學(xué)生分別列出求各個(gè)圖式中小正方形數(shù)的加法算式與乘法算式。學(xué)生獨(dú)立完成后進(jìn)行交流，發(fā)現(xiàn)只可以列一個(gè)加法算式與一個(gè)乘法算式，且最后一個(gè)圖式只有乘法算式。為什么呢？學(xué)生比較后發(fā)現(xiàn)，這是因?yàn)槊恳粋€(gè)圖式的每行個(gè)數(shù)與行數(shù)均相同，組成的形狀是正方形。

圖8

把圖形擺成長(zhǎng)方形與正方形，求其中的單位圖形的個(gè)數(shù)，這屬于“坐標(biāo)模型”，在求總數(shù)時(shí)，需要把它轉(zhuǎn)化成“幾個(gè)幾相加”才可以列出相應(yīng)的加法算式與乘法算式，這是對(duì)乘法含義的進(jìn)一步表達(dá)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算公式打下了基礎(chǔ)。

“認(rèn)識(shí)乘法要從數(shù)數(shù)開(kāi)始”是筆者概括乘法含義的基本思路。圖式與連加提供了“數(shù)數(shù)”的對(duì)象，得到“幾個(gè)幾相加”，進(jìn)而用乘法表達(dá)式記錄“幾個(gè)幾相加”?！白鴺?biāo)模型”則是綜合了乘法兩種含義的重要模型，并對(duì)“長(zhǎng)方形模型”與“正方形模型”的區(qū)別進(jìn)行了明晰。在以上教學(xué)過(guò)程中，筆者沒(méi)有要求學(xué)生標(biāo)注乘法各部分的名稱，只要求在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中說(shuō)明乘法的寫(xiě)法，從而將關(guān)注點(diǎn)集中在對(duì)乘法含義的認(rèn)識(shí)上。