陳乾君，蔣 媛，劉子建，譚遠(yuǎn)順

（重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400074）

引 言

自然界中，各個(gè)生物種群之間存在著競(jìng)爭(zhēng)與合作、捕食與被捕食等多種復(fù)雜的相互作用關(guān)系，其中捕食關(guān)系是普遍存在的物種之間相互作用的基本關(guān)系[1-2].1926年，Lotka-Volterra 模型被意大利數(shù)學(xué)家Volterra 在解釋Finme 魚港的魚群數(shù)量變化規(guī)律的文章中提出.迄今為止，Lotka-Volterra 模型仍是生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域中反映捕食者與食餌所構(gòu)成的，兩種群相互作用的最經(jīng)典和最重要的模型.一直以來(lái)，很多專家學(xué)者對(duì)捕食-食餌模型進(jìn)行了研究[3-5]，捕食-食餌模型也應(yīng)用到了經(jīng)濟(jì)學(xué)[6]、物理學(xué)[7]及統(tǒng)計(jì)力學(xué)[8]等各個(gè)方面.

經(jīng)典的Lotka-Volterra 模型在考慮捕食-食餌種群相互作用關(guān)系時(shí)有一些不足之處：未考慮捕食者的捕食能力，即捕食者對(duì)食餌的功能反應(yīng).1965年，Holling[9]在實(shí)驗(yàn)和分析的基礎(chǔ)上提出了三類適應(yīng)不同生物的功能反應(yīng)函數(shù).陳蘭蓀等[10-11]對(duì)具有第二類功能性反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得到了模型正平衡態(tài)的全局穩(wěn)定和極限環(huán)存在唯一的充分條件.為了更真實(shí)地反映自然界發(fā)展的過(guò)程，研究者們通過(guò)脈沖微分方程來(lái)描述在固定或不固定時(shí)刻的快速變化或跳躍的現(xiàn)象.如付勝男等[12]研究了一類具有狀態(tài)脈沖控制的捕食-食餌模型，證明了正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，以及當(dāng)脈沖值大于正平衡點(diǎn)的捕食者密度時(shí)，系統(tǒng)周期解的存在唯一性.Liu 等[13]研究了一個(gè)具有階段結(jié)構(gòu)的脈沖三種群捕食-食餌系統(tǒng)，討論了不同時(shí)刻的脈沖效應(yīng)和捕食者的階段結(jié)構(gòu)因素對(duì)種群動(dòng)力學(xué)行為的影響.

事實(shí)上，生態(tài)環(huán)境復(fù)雜多樣，各種各樣隨機(jī)因素的干擾無(wú)時(shí)不在，不同程度地影響著生物生長(zhǎng)的各個(gè)方面[14].所以在確定性捕食-食餌模型豐富的研究基礎(chǔ)上，提出了各種考慮環(huán)境白噪聲和彩色噪聲的隨機(jī)捕食-食餌模型.Kumar 等[15]研究了隨機(jī)影響下具有Holling 第三類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型，并對(duì)模型的局部和全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.Zhang 等[16]提出了一個(gè)具有跳躍隨機(jī)Holling Ⅱ型的一捕食者兩食餌系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)解的相關(guān)性質(zhì)，并證明出正跳變?cè)肼晫?duì)系統(tǒng)有利但負(fù)跳變?cè)肼晫?duì)系統(tǒng)不利.2009年，一個(gè)具有隨機(jī)擾動(dòng)的修正Leslie-Gower 和Holling Ⅱ型的捕食-食餌模型被Ji 等[17]提出，他們研究了系統(tǒng)解的性質(zhì)，給出了系統(tǒng)滅絕的條件，并得到了系統(tǒng)持久性生存的條件.張樹文[18]研究了一個(gè)具M(jìn)arkov 轉(zhuǎn)換和脈沖擾動(dòng)的捕食-食餌系統(tǒng)，給出了種群滅絕和平均非持續(xù)生存的充分條件.Jiang 等[19]研究了Markov 狀態(tài)切換下隨機(jī)Holling Ⅱ型的捕食-食餌模型，得到了捕食者種群的強(qiáng)持久性和滅絕的充分條件，并得到了它們之間的閾值等結(jié)論.隨機(jī)捕食-食餌模型豐富的研究成果，讓我們能更具體地了解環(huán)境隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)生物種群動(dòng)力學(xué)行為的影響，并應(yīng)用在保護(hù)瀕危物種和害蟲防治及流行病預(yù)防等各個(gè)方面.

在種群生態(tài)學(xué)研究之初，許多的種群模型都假設(shè)生態(tài)系統(tǒng)中物種增長(zhǎng)是線性的.這樣雖然簡(jiǎn)化了模型，便于利用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行研究，但卻與真實(shí)情況不同.因此，為了更好地反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，1973年，Ayala 和Gilpin 等對(duì)logistic 模型進(jìn)行了改進(jìn)，在文獻(xiàn)[20]中提出了如下模型：

他們將 θ參數(shù)引入模型中，使得模型成為非線性系統(tǒng)，增加了研究難度.但是指數(shù)參數(shù) θ消除了經(jīng)典logistic 人口增長(zhǎng)理論的限制，即每一個(gè)種群個(gè)體加入到人口中都會(huì)使人口的增長(zhǎng)率下降一個(gè)常數(shù)，這樣能更好地描述種群生物的相關(guān)種群動(dòng)力學(xué)行為.關(guān)于Gilpin-Ayala 模型各種形式的研究在很多文獻(xiàn)[21-23]中已經(jīng)出現(xiàn)，并取得了豐富的研究成果.2020年，Jiang 等[24]研究了一個(gè)在Markov 切換和脈沖干擾下，允許Gilpin-Ayala 參數(shù)隨狀態(tài)切換變化的Gilpin-Ayala 種群模型：

他們討論了系統(tǒng)全局正解的存在性和唯一性，研究了其種群動(dòng)力學(xué)行為，并且求得了滅絕性和持久性之間的閾值.

本文主要研究在Markov 狀態(tài)切換和脈沖擾動(dòng)下，具有隨機(jī)Gilpin-Ayala 增長(zhǎng)的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為，討論模型如下：

其中x(t)和y(t)表示食餌和捕食者的數(shù)量；r(ξ(t))和m(ξ(t))表示相應(yīng)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；k(ξ(t))和n(ξ(t))表示相應(yīng)種群的密度依賴函數(shù)；c(ξ(t))表示捕食者的捕食率；f(ξ(t))表示營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)轉(zhuǎn)化為捕食者種群繁殖的比率；gk>0 和hk>0 表示補(bǔ)給，gk∈(?1,0)和hk∈(?1,0)表示收獲.

本文主要研究了Markov 狀態(tài)切換和白噪聲及脈沖擾動(dòng)如何影響系統(tǒng)的滅絕性和持久性.第1 節(jié)介紹了本文證明過(guò)程中需要的預(yù)備知識(shí)；第2 節(jié)證明了系統(tǒng)(1)的全局正性；第3 節(jié)討論了系統(tǒng)(1)的滅絕性和持久性；第4 節(jié)討論了系統(tǒng)(1)解的漸近性態(tài)；第5 節(jié)用數(shù)值模擬驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論的有效性；最后為全文結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，除非另有規(guī)定，設(shè) (Ω,F,{Ft}t≥0,P)是 一個(gè)完備的概率空間，其中 {Ft}t≥0是其上滿足通常條件的濾子.白噪聲 (B1(t),B2(t))是 該完備概率空間的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)，且白噪聲強(qiáng)度用 σi=Var(Bi(t))(i=1,2)表示；彩色噪聲 ξ(t)，t≥0是 該概率空間中一個(gè)取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,···,k}的 右連續(xù)的Markov 鏈.令 ξ(t)是從生成元矩陣Q=(qij)m×m中產(chǎn)生的，也就是說(shuō)

其中 Δt>0，對(duì)任意i≠j，qij≥0 稱為從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移率，且本文假設(shè)Markov 鏈 (ξ(t))t≥0是不可約的，即系統(tǒng)能在任意狀態(tài)轉(zhuǎn)換到其他狀態(tài).在此假設(shè)下[25]，Markov 鏈具有唯一的平穩(wěn)分布 π =(π1,π2,···,πm)滿足πQ=0且同時(shí)還假設(shè)Markov 鏈 ξ(t)和 Brown 運(yùn)動(dòng) (B1(t),B2(t))是獨(dú)立的.為討論方便，本文做如下假設(shè)及概念性說(shuō)法：

(H2)脈沖時(shí)刻tk滿 足0 =t0

定義1[26]令x(t)是 系統(tǒng)(1)的解，且 θi是正常數(shù).那么

(ⅰ)若l imt→+∞x(t)=0，則稱x(t)為滅絕；

(ⅱ)若l imt→+∞〈xθi(t)〉=0 (i=1,2)，則稱x(t)為均方非持久；

(ⅲ)若l imsupt→∞x(t)>0，則稱x(t)為均方弱持久.

定義2[19]若對(duì)所有的 ε ∈(0,1)，存在一對(duì)正常數(shù) β1=β1(ε),β2=β2(ε)，使得對(duì)任意初始值x0∈(0,∞)，系統(tǒng)(1)的解x(t)滿足

則系統(tǒng)(1)稱為隨機(jī)持久.

由文獻(xiàn)[27]中定義2，給出了脈沖隨機(jī)微分方程解的定義.

定義3[27]脈沖隨機(jī)微分方程

初始值為x(0)，如果

①x(t)是 Ft適應(yīng)，且在 (0,t1)和每個(gè)間隔 (tk,tk+1)?R+,k∈N上是連續(xù)的.f(t,x(t))∈L1(R+;Rn),G(t,x(t))∈L2(R+;Rn)，其中，對(duì)所有T>0，Lk(R+;Rn)是所有 Rn值可測(cè)量的 Ft適應(yīng)過(guò)程，滿足

② 對(duì)所有的tk,k∈N，x()=x(t)和x()=x(t)存在，且x(tk)=x()概率為1.

③ 對(duì)所有的t∈[0,t1]，x(tk)服從積分

對(duì)所有t∈[tk,tk+1]，x(tk)服從積分

x(t)在 每個(gè)t=tk,k∈N 處 滿足脈沖條件，且概率為1.則隨機(jī)過(guò)程x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T,t∈R+即為系統(tǒng)(2)的解.

2 解的全局正性

本節(jié)中，我們將討論系統(tǒng)(1)全局正解的存在性.

定理1對(duì)任意給定的初值((x(0),y(0))∈)={(x(t),y(t))∈R2|x(0)>0,y(0)>0}，系統(tǒng)(1)在t≥0時(shí)存在唯一正解(x(t),y(t))，且正解將保持在上.

證明考慮具有Markov 狀態(tài)切換無(wú)脈沖的捕食-食餌系統(tǒng)：

初值為 (x(0),y(0)).為了簡(jiǎn)便，將r(ξ(t))，k(ξ(t))等參數(shù)中的t省略.由文獻(xiàn)[28-29]中定理的證明知，系統(tǒng)(3)在t∈[0,τe]上有一個(gè)唯一連續(xù)最大局部解(x(t),y(t))，其中 τe是 爆破時(shí)間.為了證明解是全局的，需要說(shuō)明 τe=∞，應(yīng)用文獻(xiàn)[30-31]中的證明方法，易得此結(jié)論.

令

下面要證(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的解，且初始值為(x(0),y(0)).可以看出(x(t),y(t))在 (0,t1)和每個(gè)間隔(tk,tk+1)?[0,∞),k∈N 上連續(xù).對(duì)t≠tk，有

對(duì)每個(gè)tk∈R+,k∈[0,+∞)，有

即x()=x(tk)+gkx(tk).

同理y()=y(tk)+hky(tk).

下證系統(tǒng)(1)解的唯一性.

對(duì)每一個(gè)t∈(0,t1]，系統(tǒng)(1)的解滿足下列等式：

由于系統(tǒng)(4)的局部Lipschitz 連續(xù)性，由文獻(xiàn)中定理知，系統(tǒng)(4)有唯一解.對(duì)任意t∈(tk,tk+1],k∈Z+，系統(tǒng)(1)滿足

由于系統(tǒng)(5)是局部Lipschitz 連續(xù)的，則系統(tǒng)(5)有唯一解.因此，系統(tǒng)(1)有唯一解，換句話說(shuō)，(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的唯一解，且初值為(x(0),y(0))∈.

3 滅絕性和持久性

本節(jié)中，我們將討論系統(tǒng)(1)中種群的滅絕性和持久性.

定理2定義

若p1<0且p2<0，則系統(tǒng)(1)中種群x(t)和種群y(t)均滅絕，a.s..

證明對(duì)系統(tǒng)(3)使用廣義的It?公式，可得到

其中

對(duì)上面兩個(gè)等式兩端從0 到t積分有

利用Martingale 的強(qiáng)大數(shù)定律，易得

明顯地，由上述分析及x(0)=X(0),y(0)=Y(0)易得

成立.由式(7)有

由Markov 鏈 ξ(t)的遍歷性

和式(6)有

從而有l(wèi) imt→+∞x(t)=0，a.s.，故種群x(t)滅絕，a.s..

對(duì)于任意的ε >0，存在一個(gè)充分大的T，使得當(dāng)t>T時(shí)，有

則式(8)可改寫為

由Markov 鏈 ξ(t)的 遍歷性和ε 的任意性，有

即limt→+∞y(t)=0，a.s..故種群y(t)也滅絕，a.s.，所以定理結(jié)論成立.

定理3系統(tǒng)(1)下述結(jié)論成立：

① 若p1≥0，則有

特別地，若p1=0，則食餌種群x(t)是均方非持久生存，a.s..

② 若p2≥0，則有

特別地，若p2=0，則捕食者種群y(t)是均方非持久生存，a.s..

證明① 對(duì)任意的ε >0，存在T>0使得

將上述不等式代入式(7)，可得

利用文獻(xiàn)[21]中引理3.1 和ε 的任意性，有

因此當(dāng)p1=0時(shí)，有

即食餌種群x(t)是均方非持久生存的，a.s..

② 對(duì)任意的ε >0，存在一個(gè)充分大的T1>T，使得當(dāng)t>T1時(shí)，有

將上述不等式代入式(8)，易得

利用文獻(xiàn)[21]中引理3.1 和ε 的任意性，有

因此當(dāng)p2=0時(shí)，有

即捕食者種群y(t)是均方非持久生存的，a.s..

定理4若p1>0,p2>0，則食餌種群x(t)和捕食者種群y(t)都將均方弱持久生存，a.s..

證明為了證明此結(jié)論，我們需要證明 l imsupt→∞x(t)>0,limsupt→∞y(t)>0.假設(shè)結(jié)論不成立，則P(U)>0，其中

由式(7)知

若對(duì)所有ω ∈U,limsupt→+∞x(t,ω)=0，l imsupt→∞y(t,ω)=0，則

將上述結(jié)果代入式(9)，有

與假設(shè)矛盾.

同理，可以證明l imsupt→∞y(t)>0 .即p1>0,p2>0，食餌種群x(t)和捕食者種群y(t)都將均方弱持久生存，a.s..

注1 定理2～4 有一個(gè)清晰而有趣的生物學(xué)解釋.觀察到食餌種群x(t)和捕食者種群y(t)的滅絕和持久生存僅依賴于表達(dá)式：

若p1>0,p2>0，種群x(t),y(t)是 弱持久生存的.若p1<0,p2<0，種群x(t),y(t)開始滅絕.這也暗示了系統(tǒng)(1)中捕食者和食餌的長(zhǎng)期行為與脈沖條件和白噪聲強(qiáng)度及Markov 切換的平穩(wěn)分布有密切的關(guān)系.

注2通過(guò)p1,p2看出，白噪聲主要影響食餌和捕食者種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，從而影響兩種群的滅絕和持久生存.

引理1[32]對(duì)任意 ε ∈(0,1)，存在一個(gè)正數(shù)M=M(ε)，使得對(duì)任意初值(x(0),y(0))∈={(x,y)∈R2|x>0,y>0}，系統(tǒng)(1)的解(x(t),y(t))對(duì) 所有t≥0滿足

定理5定義

證明由定理1 知，系統(tǒng)(1)有唯一全局正解 (x(t),y(t))，由系統(tǒng)(1)第一個(gè)等式可知

dx(t)≤x(t)[r(ξ(t))?k(ξ(t))xθ1(ξ(t))(t)]dt+σ1(ξ(t))x(t)dB1(t).

考慮如下隨機(jī)方程：

由定理1 知，對(duì)任意ε >0，存在一個(gè)正數(shù)β1=β1(ε)>0，使得φ (t)≤β1.由比較定理可知，x(t)≤φ(t)≤β1.

由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)等式可知

dy(t)≥y(t)[m(ξ(t))?n(ξ(t))xθ2(ξ(t))(t)]dt+σ2(ξ(t))y(t)dB2(t).

考慮如下隨機(jī)方程：

同理可知，對(duì)任意ε >0，存在一個(gè)正數(shù)β2=β2(ε)>0，使得ψ (t)≥β2.由比較定理可知，y(t)≥ψ(t)≥β2.

由引理1 知，對(duì)任意ε ∈(0,1)，有

接下來(lái)，我們選擇 α1(ε)∈(0,ε)，α2(ε)∈(0,ε).令Dε?表示x=α1(ε),y=α2(ε)，x=M(ε),y=M(ε)所圍成的區(qū)域.要證l iminft→∞P{(x(t),y(t))∈Dε}≥1?ε.

由x(t)≤β1知

dy(t)≤y(t)[m(ξ(t))?n(ξ(t))xθ2(ξ(t))(t)+ ˇfβ1]dt+σ2(ξ(t))y(t)dB2(t).

考慮如下沒(méi)有脈沖的隨機(jī)方程：

此處G1為一常數(shù)，用到條件>1/2.再次使用公式，可以得到

令k0>0足 夠大，且對(duì)每個(gè)正數(shù)k>k0，定義停時(shí)當(dāng)k→∞時(shí)，τk→∞.對(duì)式(15)兩端同時(shí)取期望，有

令k→∞，則

即

從而

對(duì)任意ε >0，令

由Chebyshev 不等式可得

于是

換句話說(shuō)

由比較定理可知

即

下證x(t)的 下界.由y(t)≤H知

考慮如下沒(méi)有脈沖的隨機(jī)方程：

存在一個(gè)正數(shù)E(ε)>0，對(duì)所有ω ∈，有x1(t,ω)>E(ε).

假設(shè)結(jié)論不成立，由定理2 知

由Martingale 的強(qiáng)大數(shù)定律，可以得到如下不等式：

當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→∞與式(14)矛盾.再由比較定理知

即

綜上所述，有

4 解的漸近性態(tài)

本節(jié)將研究系統(tǒng)(1)解的漸近性態(tài).

定理6若，且存在兩對(duì)正數(shù)l和L以 及d和D使得

則對(duì)于給定初始值(x(0)>0,y(0)>0)，系統(tǒng)(1)的解(x(t),y(t))滿足

證明由系統(tǒng)(3)對(duì)l nX(t)+lnY(t)使用It?公式有

從0 到t對(duì)上式積分，且由≥1和>有

根據(jù)指數(shù)Martingale 不等式[29]，對(duì)任意的整數(shù)T, α 和β 得到

選取T=n,α=1和 β =2lnn，從而有

則當(dāng)0 ≤t≤n,n≥n0時(shí)，有所以得到

對(duì)n?1≤t≤n，式(18)兩端除以t有

則有

根據(jù)條件(17)有

即可以得到

定理7若存在兩對(duì)正數(shù)l和L以及d和D使得

則系統(tǒng)(1)的解(x(t),y(t))滿足

證明由系統(tǒng)(3)對(duì)eαt(lnX(t)+lnY(t))使用It?公式，有

從0 到t對(duì)上式進(jìn)行積分，可以得到

則有

根據(jù)指數(shù)Martingale 不等式[29]，對(duì)每一個(gè)整數(shù)n≥1有

即當(dāng)n≥n0(ω),0≤t≤n時(shí)，有

對(duì)所有的0 ≤s≤n成 立.系統(tǒng)(3)的解(X(t),Y(t))，存在一個(gè)正常數(shù)C使得

換句話說(shuō)，對(duì)任意的0 ≤s≤n和n>n0(ω)，

因此，當(dāng)n?1≤t≤n及n≥n0(ω)時(shí)，有

即有

令α →0可以得到

根據(jù)條件(17)有

由式(19)和(20)有

注3通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(1)解的漸近性態(tài)的討論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)脈沖擾動(dòng)有界時(shí)，脈沖對(duì)種群的滅絕和持久生存沒(méi)有影響；然而當(dāng)脈沖擾動(dòng)無(wú)界時(shí)，種群的滅絕和持久生存均會(huì)受到影響.

5 數(shù)值模擬

下面，我們將通過(guò)幾個(gè)例子數(shù)值分析白噪聲和Markov 狀態(tài)切換及脈沖擾動(dòng)對(duì)物種生存的影響.簡(jiǎn)便起見，假設(shè)Markov 鏈的狀態(tài)空間為S={1,2}.

例1對(duì)系統(tǒng)(1)可以選取如下參數(shù)：

此時(shí)容易驗(yàn)證其滿足假設(shè)，并且初值條件為(x(0),y(0))=(0．2,0．2).

① 對(duì)系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng) ξ (t)=1選 取參數(shù) σ1(1)=2, σ2(1)=1．5，通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算可知：子系統(tǒng)1 中食餌種群x和捕食種群y均以概率1 滅絕，見圖1(a)，即子系統(tǒng)1 為滅絕狀態(tài).

圖1 不考慮切換，例1 參數(shù)下，兩個(gè)子系統(tǒng)解的軌跡：(a)子系統(tǒng)1，ξ(t)=1；(b)子系統(tǒng)2，ξ(t)=2Fig.1 The trajectories of the solutions to the 2 subsystems of example 1 without switching: (a)subsystem 1, ξ(t)=1; (b)subsystem 2, ξ(t)=2

② 對(duì)系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng) ξ(t)=2選 取參數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算可知：子系統(tǒng)2 中食餌種群x和捕食種群y均隨機(jī)持久，見圖1(b)，即子系統(tǒng)2 是隨機(jī)持久生存狀態(tài).通過(guò)計(jì)算得其唯一的平穩(wěn)分布為π =(0．7,0．3)，捕食-食餌系統(tǒng)(1)可以在子系統(tǒng)1 和2 之間隨機(jī)切換.通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得p1<0,p2<0，由定理2 知食餌種群x和捕食種群y均以概率1 滅絕，見圖2(a).

圖2 考慮切換，例1 參數(shù)下，系統(tǒng)Markov 鏈平穩(wěn)分布時(shí)解的軌跡：(a)π=(0.7，0.3)；(b)π=(1/3，2/3)Fig.2 The trajectories of solutions in stationary distribution of system the Markov chain for example 1 with switching: (a)π=(0.7, 0.3); (b)π=(1/3, 2/3)

顯然，例1 的隨機(jī)切換系統(tǒng)(3)和(4)中食餌種群x和捕食種群y均以概率1 滅絕，但是Markov 狀態(tài)切換可以延長(zhǎng)種群滅絕的時(shí)間.如果切換系統(tǒng)中的種群在滅絕子統(tǒng)1 待的時(shí)間更長(zhǎng)，則食餌種群x和捕食種群y將會(huì)滅絕得更快.即Markov 狀態(tài)切換能在一定時(shí)間內(nèi)抑制物種的滅絕.

例2對(duì)系統(tǒng)(1)可以選取如下參數(shù)：

此時(shí)容易驗(yàn)證其滿足假設(shè)，并且初值條件為(x(0),y(0))=(0．2,0．2).

① 對(duì)系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)ξ(t)=1選取參數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算可知，子系統(tǒng)1 中食餌種群x滅絕，捕食種群y隨機(jī)持久，見圖3(a).

② 對(duì)系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)ξ(t)=2 選取參數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算可知，子系統(tǒng)2 中食餌種群x隨機(jī)持久，捕食種群y滅絕，見圖3(b).

圖3 不考慮切換，例2 參數(shù)下，兩個(gè)子系統(tǒng)解的軌跡：(a)子系統(tǒng)1，ξ(t)=1，(σ(1)，σ(2))=()；(b)子系統(tǒng)2，ξ(t)=2，(σ(1)，σ(2))=()Fig.3 The trajectories of solutions to the 2 subsystems of example 2 without switching: (a)subsystem 1, ξ(t)=1, (σ(1), σ(2))=();(b)subsystem 2, ξ(t)=2, (σ(1), σ(2))=()

明顯地，白噪聲對(duì)種群生存具有很大影響.保持食餌種群和捕食者種群的內(nèi)部增長(zhǎng)率r和m不變，同時(shí)減小噪聲強(qiáng)度 σ1和 σ2，導(dǎo)致種群由滅絕變?yōu)殡S機(jī)持久，見圖1(a)和圖1(b).當(dāng)噪聲強(qiáng)度 σ1不 變時(shí)，減小噪聲強(qiáng)度 σ2，則捕食者種群y由滅絕變?yōu)殡S機(jī)持久，見圖1(a)和圖3(a).同理，當(dāng)噪聲強(qiáng)度 σ2不變時(shí)，減小噪聲強(qiáng)度 σ1，則食餌種群x由滅絕變?yōu)殡S機(jī)持久見圖1(b)和圖3(b).說(shuō)明較大的白噪聲強(qiáng)度可以導(dǎo)致種群滅絕，并且不利于種群的生存.

6 結(jié) 論

本文研究了具有Gilpin-Ayala 增長(zhǎng)的隨機(jī)捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為.首先證明了全局正解的存在性和唯一性，得到了滅絕性和持久性的充分條件.在此基礎(chǔ)上，給出了控制捕食-食餌系統(tǒng)隨機(jī)持久和滅亡的閾值，并且討論系統(tǒng)解的漸近性態(tài)，最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論的有效性.

本文的結(jié)論具有明顯的生物意義.我們從種群滅絕和均方非持久及隨機(jī)持久的充分條件看到了脈沖效應(yīng)和白噪聲及Markov 狀態(tài)切換對(duì)捕食-食餌系統(tǒng)的持久生存均有影響.