沈旭輝

（山西財經(jīng)大學 應用數(shù)學學院，太原 030006）

引 言

在過去的幾十年中，由于在物理學、化學、生物學以及其他應用學科中的廣泛應用，反應擴散方程解的爆破現(xiàn)象成為研究的熱點.許多學者研究了解的整體存在、有限時刻爆破及解的定性分析等并取得了一系列有意義的成果(參見文獻[1-4]).眾所周知，當方程的解在有限時刻發(fā)生爆破時，對于爆破時刻的估計具有很大的實際意義.關于爆破時刻的上界已有大量的研究，特別是在文獻[5]中，作者概括性地給出了幾種尋找爆破時刻上界的方法.然而在實際問題中，僅知道爆破時刻的上界是不夠的；從安全地控制實際生產(chǎn)的角度來說，爆破時刻的下界可以給出安全的控制時間，因此研究爆破時刻的下界更加有意義但也更加困難.Payne 等在文獻[6]中首次給出解的爆破時刻的下界.此后，學者們研究解的爆破時刻的下界并取得了豐富的成果[7-12].據(jù)筆者所知，目前許多研究解的爆破時刻下界的工作集中在Ω ?R3上 .關于在Ω ?Rn(n≥2)上，解的爆破時刻下界的研究不多，而對于具有梯度源及非局部源的反應擴散方程的爆破時刻下界的研究則更少.本文研究了下列具有梯度源和非局部源的反應擴散方程解的爆破現(xiàn)象：

其中Ω為 Rn(n≥2)上 帶有光滑邊界的有界凸區(qū)域，為Ω的閉包，t?為 可能發(fā)生的爆破時刻.令 R+=(0,∞)，假設a為正常數(shù)，g(u)∈C1()為 非負函數(shù)，u0∈C1()為初始值且滿足相容性條件.

對于已有的諸多研究，我們主要關注文獻[13-14]中的工作.Song 在文獻[13]中研究了下列問題解的爆破現(xiàn)象：

其中 Ω ?R3為帶有光滑邊界的有界凸區(qū)域.通過使用Sobolev 不等式和微分不等式技術，其給出了爆破現(xiàn)象發(fā)生時解的爆破時刻的下界.Marras、Vernier Piro 等在文獻[14]中討論了下列問題解的爆破現(xiàn)象：

其中區(qū)域Ω ?Rn(n≥2)為有界光滑凸區(qū)域.當Ω ?R3時，作者在合適的假定之下給出解的爆破時刻的下界估計.

受上述文獻工作的啟發(fā)，我們研究了問題(1)解的爆破現(xiàn)象.首先，問題(1)的研究具有重要的理論背景和實際意義，它不僅可以描述一些熱力學問題，而且可以用來解釋一些生活在特定區(qū)域內(nèi)生物種群密度(如細胞、細菌等)的演化問題.對于一個種群而言，物種的密度受種群中個體生長因素的影響，其中個體自身的生長不僅受其自身周邊物種的影響，而且還受到與整個區(qū)域內(nèi)其他物種之間的競爭關系的影響.因此，建立非局部源則更加符合實際.其次，對種群密度而言，個體的意外死亡因素也是不可忽視的，從而可以借助梯度源? |?u|q來描述物種的意外死亡.有關具有梯度源和非局部源的反應擴散方程讀者還可以參考文獻[15-17].再者，據(jù)筆者所知，目前還沒有文獻針對問題(1)的爆破時刻下界進行估計.因此在本文中，我們將考慮具有梯度源和非局部源的反應擴散問題，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，利用微分不等式技術和Sobolev 不等式，分別給出當爆破現(xiàn)象出現(xiàn)時，在Ω ?Rn(n≥3)和 Ω ?R2上解的爆破時刻下界.

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：在第1 節(jié)中，當 Ω ?Rn(n≥3)時，我們給出解的爆破時刻下界；在第2 節(jié)中，當Ω ?R2時，我們導出解的爆破時刻下界；在第3 節(jié)中，我們給出具體的實例應用來解釋文中取得的抽象結(jié)果；第4 節(jié)對全文進行了總結(jié).

1 在Ω ?Rn(n≥3)上解的爆破時刻下界

在本節(jié)中，我們給出有界凸區(qū)域Ω ?Rn(n≥3)上問題解的爆破時刻下界.為此我們假設

其中b為正常數(shù).此外，還假設常數(shù)p>1,q>2且滿足

定義下列輔助函數(shù)：

其中

此外，我們還將使用下列Sobolev 不等式(參見文獻[18])：

這里C=C(n,Ω)為依賴于空間維數(shù)n和區(qū)域Ω的常數(shù).下面給出本節(jié)的主要結(jié)論.

定理1設u是問題(1)的一個非負經(jīng)典解，假設條件(2)～ (4)成立.如果方程的解u在有限時刻爆破，則有爆破時刻的下界為

其中

且ρ0=min?Ω(x·ν)，d=maxΩˉ|x|.

證明使用條件(2)、(4)及散度定理，我們有

運用H?lder 不等式推出

等價于

將式(12)代入式(10)中可得

利用H?lder 不等式和Young 不等式，有

其中 ε1在式(8)中給出.將式(14)、(15)代入式(13)得

使用條件(3)、(4), H?lder 不等式及Young 不等式，我們有

聯(lián)合式(16)～ (19)，得到

其中A1,A2在式(6)中給出，M在式(9)中給出.

接下來，我們估計式(20)中的第四項.使用Sobolev 不等式以及H?lder 不等式得到

我們有

將式(23)、(24)代入式(21)可得

聯(lián)合式(20)及式(25)推導出

對式(26)兩邊從0 到t積分，得

2 在Ω ?R2上解的爆破時刻下界

本節(jié)中，我們在Ω ?R2上給出解的爆破時刻下界.這里仍然假設條件(2)、(3)成立.定義下列輔助函數(shù)：

且

當n=2時，由于式(5)中的嵌入定理不再成立，因此我們使用下列嵌入定理：

即

其中C1=(n,Ω)為依賴于n和Ω的常數(shù).主要結(jié)論陳述如下.

定理2假設u為問題(1)的非負經(jīng)典解，假設條件(2)、(3)和式(28)成立，如果問題的解在有限時刻t?發(fā)生爆破，則有爆破時刻的下界為

其中

證明重復第1 節(jié)中式(10)～ (15)中的計算過程，我們有

對式(36)運用H?lder 不等式和Young 不等式，有

將式(35)～ (37)代入式(34)，推出

對式(38)兩邊從0 到t積分可得

3 應 用

在本節(jié)中，我們給出具體的實例來論述文中的抽象結(jié)論.

例1令u(x,t)為下列問題的非負經(jīng)典解：

其中

例2令u(x,t)為下面問題的非負經(jīng)典解:

其中

4 結(jié) 論

本文通過考慮一類帶有非局部源和梯度源的反應擴散問題，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，利用微分不等式技術和Sobolev 嵌入不等式，分別給出了區(qū)域 Ω ?Rn(n≥3)和 Ω ?R2上解的爆破時刻下界，并通過實例對結(jié)論進行驗證.解決本文的關鍵是通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)和使用Sobolev 不等式，本文的方法可為此類問題研究提供一定的借鑒.同時，關于在非線性邊界條件下具有非局部源和梯度源的反應擴散問題解的爆破時刻討論仍可開展持續(xù)的研究.