袁績海，郭迎清，厲天凱，陳 建

（1.河南水利與環(huán)境職業(yè)學院，鄭州 450011；2.西北工業(yè)大學動力與能源學院，西安 710072；3.解放軍95903 部隊，武漢 432200）

0 引言

伺服電機作為一種常用的控制單元，在諸多領(lǐng)域均能夠看到其身影。由于伺服電機所處的工作環(huán)境往往是高溫高速，因此，如何實現(xiàn)惡劣環(huán)境下的精確控制一直是研究的熱點問題。

內(nèi)?？刂疲↖nternal Model Control，IMC）為分析和設計控制系統(tǒng)提供了一個有效、直觀、簡單的框架，因此，在電機控制中應用廣泛。文獻［6］利用自適應補償策略實現(xiàn)了電機調(diào)速系統(tǒng)的分段控制；文獻［7］考慮到系統(tǒng)跳變，結(jié)合最小二乘支持向量機補償策略，提出了一種內(nèi)?？刂品椒ǎ晃墨I［8］提出了一種雙自由度內(nèi)模控制（2 Degree of Freedom，2DOF-IMC），并且利用改進遺傳算法優(yōu)化其中相應參數(shù)，有效提升了控制效果。不過以上研究給出的控制器性能對參數(shù)與經(jīng)驗有較高依賴性，因而控制水平有限。有的參數(shù)還需在線調(diào)整，為滿足收斂性要求，還需要進行復雜的處理，這對其實際應用產(chǎn)生很不利影響。

滑模變結(jié)構(gòu)控制（Sliding Mode Control，SMC）由于其強大的非線性控制能力得到了廣泛關(guān)注。在各個領(lǐng)域均有應用，例如航空動力、工業(yè)控制、醫(yī)療器械等。不過為提高其跟蹤性能，還需要控制抖振。對具體系統(tǒng)而言，其一般存在未建模動態(tài)，這種情況下在處理時如果基于邊界層解抑制抖振，則會導致恒擾動時的穩(wěn)態(tài)誤差問題，而不滿足精度要求。

本文在研究時對以上控制策略的缺陷進行具體分析，然后引入滑模與內(nèi)?？刂颇Ｐ停医Y(jié)合本系統(tǒng)的控制要求，而建立了基于魯棒滑模控制律的改進內(nèi)?？刂破鳎ㄟ^其對伺服電機進行控制。這種控制器在受擾與模型不確定條件下也可以滿足控制精度要求。該控制器主要基于SMC 結(jié)構(gòu)確定出IMC 控制器的性能，且利用SMC 技術(shù)進行控制，而滿足相應的魯棒性要求。為處理穩(wěn)態(tài)誤差且提高控制魯棒性，而結(jié)合了2DOF-IMC 結(jié)構(gòu)的增強型IMC策略。

1 系統(tǒng)建模

伺服系統(tǒng)的組成單元為交流伺服電機和驅(qū)動器，可通過如下表達式描述其慣性荷載方程：

其中，θ 表示角位移，J 是慣性負載、D（t）對應于未建模干擾；對式（1）進行轉(zhuǎn)換處理，而確定出如下的狀態(tài)空間模型：

假設1.參數(shù)不確定性的邊界已知，即：

假設2.未知干擾d（t）的邊界為：

2 控制器設計

2.1 基于IMC 的標準控制器設計

由式（1）可得伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）為

式中，J和B分別為參數(shù)J 和B 的標稱值，在研究時選擇的IMC 濾波器可表示如下：

其中，R 為參考軌跡?？紤]到R（s）=0，D=0 的調(diào)節(jié)器情況，假設G（s）=G（s），則輸出可表示為：

分析以上公式可知，在輸入擾動恒定條件下，必然導致穩(wěn)態(tài)誤差，因而控制精度受到影響。

2.2 基于SMC 的魯棒SIMC-PD 控制器設計

魯棒滑?？刂平Y(jié)合標準內(nèi)?？刂疲⊿tandard Internal Model Controller，SIMC）的控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示，該控制器可表示為：

圖1 SMC-SIMC-PD 控制器的結(jié)構(gòu)

符合以上條件的u在設計時，可參考文獻［14-15］。以下進行舉例說明，如令g 為平滑函數(shù)

若存在環(huán)境擾動，且模型不確定性，則根據(jù)以上方法提出的SIMC-PD-SMC 模型可滿足系統(tǒng)跟蹤精確性和穩(wěn)定性要求。由于引入了不確定界限，這種情況下式（15）可等效于高增益反饋控制律，由于ε 值和控制帶寬存在負相關(guān)關(guān)系，因而其過小可能導致不穩(wěn)定。為此就需要適當限定ε 值，這樣可確保在原點附近系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

2.3 2DOF-IMC 控制器設計

2DOF-IMC 濾波器為：

為確保恒擾動狀態(tài)下，系統(tǒng)在控制時零穩(wěn)態(tài)誤差，就需要符合如下要求：

令基于2DOF-IMC 的控制器為：

為滿足特定的跟蹤性能要求，就需要引入如下表達式對應的定點濾波器F（s）：

然后，設置濾波參考軌跡R為：

圖2 顯示出上述增強型內(nèi)?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)相關(guān)情況，其控制律可描述如下：

圖2 2DOF-IMC-SMC 控制器的結(jié)構(gòu)

定義另一個跟蹤誤差函數(shù)為：

從p到z的傳遞函數(shù)可以表示為：

由于G（s）是漸進穩(wěn)定的，所以p收斂到零意味著使z也收斂到零。

結(jié)合以上三式，而得到p的動力學模型：

考慮到假設1 和假設2，同樣存在滿足以下條件的u：

定理1：若目標軌跡函數(shù)二階連續(xù)可微分，且對應的約束條件式（22）可確保系統(tǒng)有界。這種情況下可通過如下表達式描述出李亞普諾夫函數(shù)V：

上式滿足：

證明：

聯(lián)立式（6）、式（9）、式（19）、式（20）可得：

對式（32）積分，可得：

由式（29）和式（35）得到V的導數(shù)：

注意到條件（28），則有：

根據(jù)以上分析可知函數(shù)V有界，可很好地控制u 有界。

具體分析定理1 的結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，p對z表現(xiàn)出相同的穩(wěn)定性，由此可判斷出在同樣有限的ε 值條件下，z和p的解可能相一致。不過二者和誤差z的關(guān)系存在明顯差異，這可基于函數(shù)G（s）和G（s）進行解釋。由于k=k，這樣可確定出表達式：

3 仿真結(jié)果

3.1 階躍擾動下的階躍響應

首先進行仿真驗證，給定伺服系統(tǒng)的標稱模型如下所示：

1）SIMC-PD：此種控制器單純基于內(nèi)?？刂疲诳刂七^程中可以方便地確定出其參數(shù)，即k=0.1，k=0.1。

4）2DOF-IMC-SMC：在研究過程中為了進行客觀的對比分析，而控制PID 與2DOF-IMC-PID 控制器的參數(shù)相一致。

首先，輸入階躍擾動，然后進行仿真分析，確定出各控制器的階躍響應性能，在此基礎上對比確定出性能最優(yōu)的控制器。設置階躍響應R（t）=1 rad，階躍擾動大小等于0.3 Nm。目標模型描述為G（s）=G（s）。在此條件下仿真分析確定出結(jié)果如圖3 所示。根據(jù)圖3 可發(fā)現(xiàn)各控制器的定點跟蹤目標都能實現(xiàn)。在有階躍擾動情況下，其中SIMC-SMC 控制器分穩(wěn)態(tài)誤差最低，其和SIMC-PD 控制器的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差都非零。而其余兩個控制器的跟蹤誤差收斂至零，因而可更好地滿足控制精確性要求。根據(jù)圖3結(jié)果還可看出，其中2DOF-IMC-PID 控制器的跟蹤誤差最大為0.1 rad，而2DOF-IMC-SMC 的為0.04 rad。由此可判斷出在前者中引入魯棒滑模控制律，可使得跟蹤誤差進一步減小。帶入?yún)?shù)進行仿真分析還可看出，對SIMC-PD、2DOF-IMC-PID 控制器而言，引入魯棒滑?？刂七M行改進后，對應的擾動都有一定幅度降低，相應的跟蹤精確性提高。在最優(yōu)化條件下跟蹤誤差可利用ε 進行任意的調(diào)節(jié)。

圖3 在階躍擾動下的位置階躍響應

具體分析定理1 可發(fā)現(xiàn)，對有限小的ε，恒擾動情況下，z和p都會產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。而根據(jù)圖4 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在頻率趨于零條件下，相應的G（s）也基本上恒定，G（s）趨于零。由此也說明在同樣條件下，2DOF-IMC-SMC 控制器分穩(wěn)態(tài)誤差可趨于零。在各頻率條件下，G（s）值都低于G（s）。這也可判斷出，在其他參數(shù)同樣條件下，2DOF-IMC-SMC 控制器的瞬態(tài)跟蹤性能更好，且產(chǎn)生的跟蹤誤差低。在頻率很大情況下，二者的跟蹤精度基本相同。

圖4 波德圖

3.2 參數(shù)不確定性時的階躍響應

圖6 J=0.5Jn，B=Bn 時的階躍響應

圖7 B=10Bn，J=Jn 時的階躍響應

圖5 J=2Jn，B=2Bn 時的階躍響應

圖8 B=0.1Bn，J=Jn 時的階躍響應

表1 跟蹤響應的Max|z1|和IAE

不確定性情形下，SIMC-SMC 控制器會產(chǎn)生一定跟蹤誤差。對比分析以上的控制結(jié)果可知，將這種控制結(jié)構(gòu)引入高魯棒性的改進IMC 控制器時，相應的跟蹤性能會明顯提升。

由此說明在模型不確定和外部干擾擾動條件下，本文建立的這種2DOF-IMC-SMC 控制器都表現(xiàn)出良好的控制性能，和其他控制器相比性能更優(yōu)。

4 實驗驗證

4.1 實驗設置

在實驗時建立了如圖9 所示的實驗平臺。對應的軟件主要有監(jiān)控軟件（Twincat 3.0 Scope View）和實時控制軟件。在進行代碼編程時應用了C/C++語言，設置的步長為0.25 ms。根據(jù)系統(tǒng)控制要求和實驗平臺情況而編寫對應的控制代碼，通過實控軟件模擬外界擾動與參數(shù)不確定性。相應的實驗情況具體如下：通過工控機設置控制器，且計算確定參數(shù)，CAN 總線進行數(shù)據(jù)通信，針對伺服電機進行控制。檢測伺服電機的狀態(tài)變量，形成相應的偏差。然后根據(jù)控制目標而確定出控制量，據(jù)此滿足控制要求。

圖9 伺服系統(tǒng)的實驗平臺

4.2 擾動條件下的位置跟蹤

4.3 不確定條件下的位置跟蹤

圖10 階躍擾動下的位置跟蹤誤差

圖11 正弦擾動下的位置跟蹤誤差

表2 階躍擾動下跟蹤Max|z1|和IAE

圖12 正弦型參考軌跡

表3 正弦跟蹤下的Max|z1|和IAE

圖13 情況A 下的位置跟蹤誤差

圖14 情況B 下的位置跟蹤誤差

5 結(jié)論

本文建立了基于魯棒滑模策略的雙自由度增強型內(nèi)模控制器，通過其對不確定性和擾動條件下的伺服電機進行控制，且作了仿真分析和實驗對比研究，所得結(jié)果如下：

1）引入魯棒滑?？刂坡煽娠@著抑制環(huán)境擾動與參數(shù)不確定性，有利于提升系統(tǒng)跟蹤穩(wěn)定性。

2）低頻條件下雙自由度增強型內(nèi)?？刂频男阅芨鼉?yōu)，可提高系統(tǒng)的抗擾性，瞬態(tài)跟蹤性能明顯改善，且跟蹤精確性也提高。

3）結(jié)合以上兩種策略的控制器可明顯改善系統(tǒng)跟蹤漸進穩(wěn)定性，在參數(shù)不確定性和環(huán)境擾動情況下，都有較高的魯棒性，跟蹤性能大幅度提升。