李小蛟

(四川省成都市樹德中學(xué) 610091)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的).

A.0 B.1 C.-1 D.2

2.集合A={x|-2m-4},B={x|x2+11x+10<0}，所有使得A?B成立的m的取值構(gòu)成集合C.則集合C的真子集個(gè)數(shù)為( ).

A.3 B.7 C.15 D.63

3.某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)名的程序，其流程如圖1.RAND表示[0,1]內(nèi)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[3.2]=3.每一次輸出的值代表某位同學(xué)的學(xué)號(hào)(0-39號(hào)).要使每個(gè)同學(xué)被抽到的概率相等，則“?”處應(yīng)填入的內(nèi)容是( ).

圖1

A.a=[9a] B.a=[10a]

C.a=[3a] D.a=[4a]

4.函數(shù)f(x)=ex-1，過(guò)(2,f(2))作關(guān)于y=f(x)的切線l，求y=f(x)與l與y軸所圍成的圖形的面積為( ).

5.f(x)=cosx+2|cosx|,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是( ).

A.充分不必要條件 B.充要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

8.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有( ).

(1)空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合，構(gòu)成半徑為r的球.

(2)M是兩條異面直線m,n外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與m,n都平行的平面有且只有一個(gè).

(3)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，則l∥m∥n.

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

A.14.2J/(mol·K) B.12.9J/(mol·K)

C.13.6J/(mol·K) D.10.8J/(mol·K)

10.a，b，c為單位向量，且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0，則|a+b-c|的最大值為( ).

A.b>a>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)求Sn.

18.(理科)如圖2，AB=AD=2,△ABD為等腰直角三角形.ΔABF為正三角形.E，F(xiàn)分別位于平面ABD兩側(cè)，EC⊥平面ABD，且EC中點(diǎn)G在平面ABD上，CD=BC，二面角B-EC-D為60°，EC=2.

圖2

(2)在(1)的條件下，求多面體EABGDF體積.

(文科)在如圖3所示的多面體中，ABCD是正方形，A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，AF∥面CDE.

圖3

(1)求證：BF∥面CDE；

19.(理科)2020年初，新型冠狀病毒在中國(guó)肆虐橫行.為防止疫情進(jìn)一步擴(kuò)散，人人居家防疫，出門戴口罩.同時(shí)，為緩解口罩供不應(yīng)求的情況，多數(shù)企業(yè)紛紛轉(zhuǎn)戰(zhàn)口罩生產(chǎn).然而，不合格的口罩非但無(wú)防護(hù)作用，還會(huì)引起皮膚過(guò)敏等一系列不良反應(yīng).為了調(diào)查某企業(yè)生產(chǎn)的口罩質(zhì)量，調(diào)查人員在該企業(yè)第一天內(nèi)生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了40個(gè)，通過(guò)檢測(cè)獲得了各個(gè)樣品的質(zhì)量指數(shù)Z，并繪制成以下表格.

質(zhì)量指數(shù)[1.5,2.5)[2.5,3.5)[3.5,4.5)[4.5,5.5)[5.5,6.5)[6.5,7.5)[7.5,8.5)頻數(shù)16810942

(1)求該批樣品質(zhì)量指數(shù)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值表示).

(2)調(diào)查人員又在該企業(yè)第二天生產(chǎn)的口罩中抽取了3個(gè)，其中質(zhì)量指數(shù)在[1.5,2.5)的個(gè)數(shù)為X.求X的分布列和期望.(將第一天生產(chǎn)的口罩中各質(zhì)量指數(shù)的頻率視為概率)

(3)進(jìn)一步調(diào)查表明，在正常生產(chǎn)狀況下，該企業(yè)一天中生產(chǎn)的口罩指數(shù)Z可近似地看作服從正態(tài)分布N(μ,2.25).期中μ近似為(1)問(wèn)中求出的平均值.

①在正常生產(chǎn)條件下，求P(3.5

②第二天抽取的3個(gè)口罩中，檢測(cè)出了質(zhì)量指數(shù)在(0.5,9.5)之外的口罩，于是調(diào)查人員判斷當(dāng)天生產(chǎn)狀況出現(xiàn)了異常，需進(jìn)一步檢查.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)說(shuō)明該判斷的合理性.

參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ

(文科)某醫(yī)療機(jī)構(gòu)承擔(dān)了某城鎮(zhèn)的新冠疫苗接種任務(wù).現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了前8天每天(用t=1，2，…，8表示)的接種人數(shù)y(單位：百)相關(guān)數(shù)據(jù)，并制作成如圖4所示的散點(diǎn)圖：

圖4

(1)由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；

(2)根據(jù)該模型，求第10天接種人數(shù)的預(yù)報(bào)值；并預(yù)測(cè)哪一天的接種人數(shù)會(huì)首次突破2500人.

(1)求橢圓C的方程,

21.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x+1.

(1)求f(x)在(1,f(1))處的切線方程以及f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)f(x)在(1,+∞)內(nèi)零點(diǎn)為x=x0，曲線y=f(x)在(x0,0)處切線方程為y=g(x).證明：f(x)≥g(x).

(1)求C1的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M,N在C1上，點(diǎn)P在C2上(異于極點(diǎn))，M,N,P在第一象限.若O,M,P,N四點(diǎn)依次在同一條直線l上，且|MP|,|OP|,|PN|成等比數(shù)列，求l的極坐標(biāo)方程.

23.【選修4-5：不等式選講】設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，證明：

參考答案

2.B.(1)若A=φ,則3-m≤-2m，得m≤-3.又m>-4,m∈Z,故m=-3.

3.D.由b=[10b]可知0≤b≤9.又因?yàn)镾=10a+b，所以0≤a≤3.而[x]表示不大于x的最大整數(shù)，所以a=[4a]才滿足要求.

4.B.因?yàn)閒′(x)=ex-1,所以f′(2)=e.

所以直線l方程為y=ex-e.所以f(x)與切線的圖象如圖5所示，所圍圖形即陰影.

圖5

5.A.因?yàn)閒(x)=cosx+2|cosx|,x∈[0,2π],

f(x)=cosx+2cosx=3cosx.

所以當(dāng)1

8.D.①構(gòu)成的是半徑是r的球面，而不是球，故錯(cuò)誤；②在直線m上取一點(diǎn)P，過(guò)P作直線l//n，則直線m,l確定一個(gè)平面α，取M∈α，則過(guò)點(diǎn)M不能作平面同時(shí)與m,n平面平行，故錯(cuò)誤；③正方體中相交的兩個(gè)側(cè)面同時(shí)與底相交，但得到的三條交線并不平行，故錯(cuò)誤.

解得1000E=21000.

13.畫出滿足條件的區(qū)域，如圖6：

圖6

2x+y的最小值為1，即y=-2x+a與滿足條件的平面區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)的最小截距為1.

所以y=m=-1.

又因?yàn)锳C≤BC，所以由正弦定理知：

sinB≤sinA.

(2)bn=4an-1·an·an+1,

設(shè)F(1,y0,z0)(z0<0),

平面ABD法向量n(0,0,1),

(2)由EC⊥平面ABD，

所以VEABGDF=VE-ABGD+VF-ABGD

(文科)(1)由ABCD是正方形，可知AB∥DC.

而AB?面CDE，所以AB∥面CDE.

又AF∥面CDE，AB∩AF=A，

所以面ABF∥面CDE.

又BF?面ABF，所以BF∥面CDE.

(2)因?yàn)锳F∥面CDE，AF?面ADEF，

面CDE∩面ADEF=DE，所以AF∥DE.

在線段ED上取點(diǎn)G，使得EG=2，

于是DG=1=AF，而AF∥DG.

所以四邊形ADGF是平行四邊形.

于是EF2=EG2+FG2，即FG⊥EG，則AD⊥ED.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，有AD⊥DC，

而DC∩DE=D，所以AD⊥平面CDE.

故該批樣品質(zhì)量指數(shù)的平均值為5.

故分布列為

X0123P27512135512225512125512

②3個(gè)口罩的質(zhì)量指數(shù)均在(0.5,9.5)之內(nèi)的概率P1=0.99743≈0.9922.故出現(xiàn)該范圍外口罩的概率.P2=1-P1=0.0078.

該概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為當(dāng)天生產(chǎn)可能異常，需進(jìn)一步檢查.

(文科)(1)由題意，得

≈1.667，

20.(1)如圖7，設(shè)P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(-x1-y1)，E(x1,0)，

圖7

由題知 |AB|=2a=4，解得a=2

(2)設(shè)AG:y=k(x+2),BH:y=k′(x-2).

(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0，

顯然Δ>0.

化簡(jiǎn)，得4kk′2+12k2k′-k′-3k=0.

即(4kk′-1)(k′+3k)=0.

易知kk′<0.故k′=-3k.

(2)f(x)=(x-1)lnx-x+1=(x-1)(lnx-1).

故φ(x)在(0,e)單調(diào)遞減，在(e,+∞)單調(diào)遞增.

故φ(x)≥φ(e)=0，即f(x)≥g(x).

同理有x2′≥x2.

由-x1′+1=m，得x1′=1-m.

22.(1)C1直角坐標(biāo)方程(x-a)2+y2=3.

即x2+y2-2ax+a2-3=0.

由x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,

得ρ2-2aρcosθ+a2-3=0.

又因?yàn)閍>0，故a=2.

故極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+1=0.

(2)l的極坐標(biāo)方程θ=x(ρ∈R)，

設(shè)M(ρ1,α)，N(ρ2,α)，P(ρ3,α)，

則ρ1<ρ2.

則ρ1+ρ2=4cosα，ρ1ρ2=1.

因?yàn)閨MP|,|OP|,|PN|成等比數(shù)列，

即2cos2α=4cos2α-1,

當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

(2)由(1)知

當(dāng)a=b=c取等號(hào).